Una teoría de campo conforme bidimensional es una teoría de campo cuántica en un espacio bidimensional euclidiano , que es invariante bajo transformaciones conformes locales .
En contraste con otros tipos de teorías de campo conforme, las teorías de campo conforme bidimensional tienen álgebras de simetría de dimensión infinita . En algunos casos, esto permite que se resuelvan exactamente, utilizando el método de arranque conforme .
Las teorías de campo conforme bidimensionales notables incluyen modelos mínimos , teoría de Liouville , teorías bosónicas libres sin masa, [1] modelos de Wess-Zumino-Witten y ciertos modelos sigma .
Estructuras basicas
Geometría
Las teorías bidimensionales de campos conformes (CFT) se definen en superficies de Riemann , donde los mapas conformes locales son funciones holomórficas . Si bien es posible que un CFT exista solo en una superficie de Riemann dada, su existencia en cualquier superficie que no sea la esfera implica su existencia en todas las superficies. [2] Dado un CFT, de hecho es posible pegar dos superficies Riemann donde existe y obtener el CFT en la superficie pegada. [2] [3] Por otro lado, algunos CFT solo existen en la esfera. A menos que se indique lo contrario, consideramos CFT en la esfera en este artículo.
Álgebra de simetría
Dada una coordenada compleja local , el espacio vectorial real de mapas conformes infinitesimales tiene la base, con . (Por ejemplo, y generar traducciones.) Relajando la suposición de que es el complejo conjugado de, es decir, al complejizar el espacio de mapas conformes infinitesimales, se obtiene un espacio vectorial complejo con la base .
Con sus conmutadores naturales , los operadores diferenciales generar un álgebra de Witt . Según los argumentos mecánicos cuánticos estándar, el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme debe ser la extensión central del álgebra de Witt, es decir, el álgebra de Virasoro , cuyos generadores son, además de un generador central. En un CFT dado, el generador central toma un valor constante, llamado carga central.
El álgebra de simetría es, por tanto, el producto de dos copias del álgebra de Virasoro: el álgebra holomórfica o de movimiento a la izquierda, con generadores , y el álgebra antiholomórfica o de movimiento a la derecha, con generadores . [1]
Espacio de estados
El espacio de estados , también llamado espectro , de un CFT, es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro. Los valores propios del generador Virasorose interpretan como las energías de los estados. Por lo general, se supone que sus partes reales están limitadas desde abajo.
Un CFT se llama racional si su espacio de estados se descompone en un número finito de representaciones irreducibles del producto de las dos álgebras de Virasoro.
Un CFT se llama diagonal si su espacio de estados es una suma directa de representaciones del tipo, dónde es una representación indescomponible del álgebra de Virasoro izquierda, y es la misma representación del álgebra de Virasoro derecha.
El CFT se llama unitario si el espacio de estados tiene una forma hermitiana definida positiva tal que y son autoadjuntos, y . Esto implica en particular que, y que la carga central es real. El espacio de estados es entonces un espacio de Hilbert . Si bien la unitaridad es necesaria para que un CFT sea un sistema cuántico adecuado con una interpretación probabilística, muchos CFT interesantes son, sin embargo, no unitarios, incluidos los modelos mínimos y la teoría de Liouville para la mayoría de los valores permitidos de la carga central.
Correspondencia de campo de estado
La correspondencia estado-campo es un mapa lineal del espacio de estados al espacio de campos, que conmuta con la acción del álgebra de simetría.
En particular, la imagen de un estado primario de una representación de menor peso del álgebra de Virasoro es un campo primario [4] , tal que
Los campos descendientes se obtienen de los campos primarios actuando con modos de creación.. Los campos degenerados corresponden a estados primarios de representaciones degeneradas. Por ejemplo, el campo degenerado obedece , debido a la presencia de un vector nulo en la correspondiente representación degenerada.
Si es un campo primario para las álgebras de Virasoro izquierda y derecha, con dimensiones de conformidad izquierda y derecha y , luego se llama la dimensión conforme total , yse llama espín conforme .
Funciones de correlación
Un -La función de correlación de puntos es un número que depende linealmente de campos, denotados como con . En la formulación integral de trayectoria de la teoría de campos conforme, las funciones de correlación se definen como integrales funcionales. En el enfoque de bootstrap conforme , las funciones de correlación se definen mediante axiomas. En particular, se supone que existe una expansión del producto del operador (OPE), [4]
dónde es una base del espacio de estados, y los números se denominan coeficientes OPE. Además, se asume que las funciones de correlación son invariantes bajo permutaciones en los campos, en otras palabras, se asume que el OPE es asociativo y conmutativo. (Conmutatividad OPE no implica que los coeficientes OPE sean invariantes bajo , porque expandiendo los campos rompe esa simetría.)
La conmutatividad OPE implica que los campos primarios tienen espines conformales enteros . También existen CFT fermiónicos que incluyen campos fermiónicos con espines conformados de medio entero, que anticonmutar. [5] También existen CFT parafermiónicos que incluyen campos con espines racionales más generales.. No solo los parafermiones no se conmutan, sino que también sus funciones de correlación tienen varios valores.
Teoría del campo conformal quiral
En una teoría de campo conforme bidimensional, las propiedades se denominan quirales si se derivan de la acción de una de las dos álgebras de Virasoro. Si el espacio de estados se puede descomponer en representaciones factorizadas del producto de las dos álgebras de Virasoro, entonces todas las consecuencias de la simetría conforme son quirales. En otras palabras, las acciones de las dos álgebras de Virasoro se pueden estudiar por separado.
Tensor de energía-momento
La dependencia de un campo en su posición se supone que está determinada por
De ello se desprende que el OPE
define un campo localmente holomórfico eso no depende de Este campo se identifica con (un componente de) el tensor de energía-momento . [1] En particular, el OPE del tensor de energía-momento con un campo primario es
El OPE del tensor de energía-momento en sí mismo es
dónde es el cargo central. (Este OPE es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro).
Identidades de barrio conforme
Las identidades de Ward conformadas son ecuaciones lineales a las que obedecen las funciones de correlación como consecuencia de la simetría conforme. [1] Se pueden derivar estudiando funciones de correlación que involucran inserciones del tensor de energía-momento. Sus soluciones son bloques conformes .
Por ejemplo, considere las identidades de Ward conformes en la esfera. Dejar ser una coordenada global compleja en la esfera, vista como Holomorfia del tensor de energía-momento en es equivalente a
Además, insertando en un -función puntual de los rendimientos de campos primarios
De las dos últimas ecuaciones, es posible deducir identidades de Ward locales que expresan-funciones puntuales de campos descendientes en términos de -Funciones puntuales de campos primarios. Además, es posible deducir tres ecuaciones diferenciales para cualquierfunción puntual de los campos primarios, denominada identidades de Ward conformes globales :
Estas identidades determinan cómo las funciones de dos y tres puntos dependen de
donde los coeficientes de proporcionalidad indeterminados son funciones de
Ecuaciones BPZ
Una función de correlación que involucra un campo degenerado satisface una ecuación diferencial parcial lineal llamada ecuación de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov después de Alexander Belavin , Alexander Polyakov y Alexander Zamolodchikov . [4] El orden de esta ecuación es el nivel del vector nulo en la representación degenerada correspondiente.
Un ejemplo trivial es la ecuación de BPZ de orden uno
que se sigue de
El primer ejemplo no trivial involucra un campo degenerado con un vector nulo que desaparece en el nivel dos,
dónde está relacionado con la carga central por
Entonces un -función de punto de y otros campos primarios obedece:
Una ecuación de orden de BPZ para una función de correlación que involucre el campo degenerado se puede deducir de la desaparición del vector nulo y de las identidades de Ward locales . Gracias a las identidades globales de Ward, las funciones de cuatro puntos se pueden escribir en términos de una variable en lugar de cuatro, y las ecuaciones BPZ para funciones de cuatro puntos se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias.
Reglas de fusión
En un OPE que involucra un campo degenerado, la desaparición del vector nulo (más la simetría conforme) restringe qué campos primarios pueden aparecer. Las restricciones resultantes se denominan reglas de fusión . [1] Usando el impulso tal que
en lugar de la dimensión conforme para parametrizar campos primarios, las reglas de fusión son
En particular
Alternativamente, las reglas de fusión tienen una definición algebraica en términos de un producto de fusión asociativo de representaciones del álgebra de Virasoro en una carga central dada. El producto de fusión difiere del producto tensorial de representaciones. (En un producto tensorial, las cargas centrales se suman). En ciertos casos finitos, esto conduce a la estructura de una categoría de fusión .
Bootstrap conforme
El método de bootstrap conformal consiste en definir y resolver CFT usando solo supuestos de simetría y consistencia, reduciendo todas las funciones de correlación a combinaciones de constantes de estructura y bloques conformales. En dos dimensiones, este método conduce a soluciones exactas de ciertos CFT y a clasificaciones de teorías racionales.
Constantes de estructura
Dejar ser un campo primario izquierdo y derecho con dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha y . De acuerdo con las identidades de Ward globales izquierda y derecha, las funciones de tres puntos de tales campos son del tipo
donde el -número independiente se llama constante de estructura de tres puntos . Para que la función de tres puntos sea de un solo valor, las dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha de los campos primarios deben obedecer
Esta condición es satisfecha por bosonic () y fermiónico () campos. Sin embargo, es violado por campos parafermiónicos (), cuyas funciones de correlación, por lo tanto, no son de un solo valor en la esfera de Riemann.
Las constantes de estructura de tres puntos también aparecen en OPE,
Las contribuciones de los campos descendientes, denotadas por los puntos, están completamente determinadas por la simetría conforme. [1]
Bloques conformales
Cualquier función de correlación se puede escribir como una combinación lineal de bloques conformes : funciones que están determinadas por simetría conforme y etiquetadas por representaciones del álgebra de simetría. Los coeficientes de la combinación lineal son productos de constantes de estructura. [4]
En CFT bidimensional, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, y un bloque conforme que involucra campos primarios tiene una factorización holomórfica : es un producto de un factor localmente holomórfico que está determinado por Virasoro que se mueve a la izquierda álgebra, y un factor localmente antiholomórfico que está determinado por el álgebra de Virasoro que se mueve hacia la derecha. Estos factores se denominan en sí mismos bloques conformes.
Por ejemplo, al usar el OPE de los dos primeros campos en una función de cuatro puntos de campos primarios, se obtiene
dónde es un bloque de conformación de cuatro puntos s-canal . Los bloques conformes de cuatro puntos son funciones complicadas que se pueden calcular de manera eficiente utilizando las relaciones recursivas de Alexei Zamolodchikov . Si uno de los cuatro campos está degenerado, los bloques conformes correspondientes obedecen a las ecuaciones de BPZ. Si en particular uno de los cuatro campos es, entonces los bloques conformes correspondientes se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica .
Como explicó Witten por primera vez, [6] el espacio de bloques conformes de un CFT bidimensional se puede identificar con el espacio cuántico de Hilbert de una teoría de Chern-Simons de 2 + 1 dimensiones , que es un ejemplo de una teoría de campos topológicos . Esta conexión ha sido muy fructífera en la teoría del efecto Hall cuántico fraccional .
Ecuaciones de bootstrap conformales
Cuando una función de correlación se puede escribir en términos de bloques conformes de varias formas diferentes, la igualdad de las expresiones resultantes proporciona restricciones en el espacio de estados y en las constantes de estructura de tres puntos. Estas restricciones se denominan ecuaciones de arranque conformes . Mientras que las identidades de Ward son ecuaciones lineales para funciones de correlación, las ecuaciones de arranque conformes dependen de forma no lineal de las constantes de estructura de tres puntos.
Por ejemplo, una función de cuatro puntos se puede escribir en términos de bloques conformes de tres formas desiguales, correspondientes al uso de los OPE ( canal s ),( canal t ) o( canal en U ). La igualdad de las tres expresiones resultantes se llama simetría de cruce de la función de cuatro puntos y es equivalente a la asociatividad del OPE. [4]
Por ejemplo, la función de partición del toro (es decir, la función de punto cero) es una función del módulo del toro, que depende del espacio de estados y no de las constantes de estructura de tres puntos. La función de partición toroidal se puede escribir en términos de los caracteres de las representaciones que aparecen en el espacio de estados. Esto depende de la elección de un bucle en el toro, y cambiar el bucle equivale a actuar sobre el módulo con un elemento del grupo modular . La invariancia de la función de partición bajo la acción del grupo modular es una restricción en el espacio de estados. El estudio de las funciones modulares de partición toro invariante a veces se denomina arranque modular .
La consistencia de un CFT en la esfera equivale a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos. La consistencia de un CFT en todas las superficies de Riemann también requiere la invariancia modular de la función de un punto del toro. [2] Por lo tanto, la invariancia modular de la función de partición del toro no es necesaria ni suficiente para que exista un CFT. Sin embargo, se ha estudiado ampliamente en CFT racionales, porque los caracteres de las representaciones son más simples que otros tipos de bloques conformes, como los bloques conformes de esferas de cuatro puntos.
Ejemplos de
Modelos mínimos
Un modelo mínimo es un CFT cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreductibles del álgebra de Virasoro. Los modelos mínimos solo existen para valores particulares de la carga central, [1]
Existe una clasificación ADE de modelos mínimos. [7] En particular, el modelo mínimo de la serie A con la carga central es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de representaciones degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro. Estas representaciones degeneradas están etiquetadas por pares de números enteros que forman la tabla Kac ,
Por ejemplo, el modelo mínimo de la serie A con describe los correlacionadores de espín y energía del modelo de Ising crítico bidimensional .
Teoría de Liouville
Para cualquier La teoría de Liouville es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de módulos Verma con dimensiones conformes
La teoría de Liouville se ha resuelto, en el sentido de que sus constantes de estructura de tres puntos se conocen explícitamente. La teoría de Liouville tiene aplicaciones a la teoría de cuerdas y a la gravedad cuántica bidimensional.
Álgebras de simetría extendida
En algunos CFT, el álgebra de simetría no es solo el álgebra de Virasoro, sino un álgebra asociativa (es decir, no necesariamente un álgebra de Lie) que contiene el álgebra de Virasoro. Luego, el espectro se descompone en representaciones de esa álgebra, y las nociones de CFT diagonales y racionales se definen con respecto a esa álgebra. [1]
Teorías bosónicas libres sin masa
En dos dimensiones, las teorías bosónicas libres sin masa son conformemente invariantes. Su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín. construido a partir del abeliano, álgebra de Lie de rango uno. El producto de fusión de dos representaciones cualesquiera de este álgebra de simetría produce solo una representación, y esto hace que las funciones de correlación sean muy simples.
Ver los modelos mínimos y la teoría de Liouville como teorías bosónicas libres perturbadas conduce al método del gas de Coulomb para calcular sus funciones de correlación. Además, parahay una familia de teorías bosónicas libres de un parámetro con espectros discretos infinitos, que describen bosones libres compactados , siendo el parámetro el radio de compactación. [1]
Modelos Wess – Zumino – Witten
Dado un grupo de mentiras el modelo de Wess-Zumino-Witten correspondiente es un CFT cuya álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie de Si es compacto, entonces este CFT es racional, su carga central toma valores discretos y su espectro es conocido.
Teorías de campos superconformales
El álgebra de simetría de un CFT supersimétrico es un súper álgebra de Virasoro , o un álgebra más grande. Los CFT supersimétricos son particularmente relevantes para la teoría de supercuerdas.
Teorías basadas en W-álgebras
Las W-álgebras son extensiones naturales del álgebra de Virasoro. Los CFT basados en W-álgebras incluyen generalizaciones de modelos mínimos y teoría de Liouville, respectivamente llamados modelos W-mínimos y teorías de Toda conformes . Las teorías de Conformal Toda son más complicadas que la teoría de Liouville y menos comprendidas.
Modelos sigma
En dos dimensiones, los modelos sigma clásicos son conforme invariantes, pero solo algunas variedades objetivo conducen a modelos sigma cuánticos que son conforme invariantes. Ejemplos de tales variedades objetivo incluyen toros y variedades Calabi-Yau .
Teorías de campo logarítmico conforme
Las teorías logarítmicas de campos conformes son CFT bidimensionales, de modo que la acción del generador de álgebra de Virasoro en el espectro no es diagonalizable. En particular, el espectro no puede construirse únicamente a partir de representaciones de menor peso . Como consecuencia, la dependencia de las funciones de correlación de las posiciones de los campos puede ser logarítmica. Esto contrasta con la dependencia de potencia de las funciones de dos y tres puntos que están asociadas a las representaciones de menor peso.
Crítico -modelo estatal de Potts
El critico El modelo estatal de Potts o el modelo crítico de conglomerados aleatorios es una teoría de campo conforme que generaliza y unifica el modelo crítico de Ising , el modelo de Potts y la filtración . El modelo tiene un parámetro, que debe ser un número entero en el modelo de Potts, pero que puede tomar cualquier valor complejo en el modelo de conglomerado aleatorio. [8] Este parámetro está relacionado con la carga central por
Valores especiales de incluyen: [9]
Modelo estadístico relacionado | ||
---|---|---|
Árbol de expansión uniforme | ||
Filtración | ||
Modelo de ising | ||
Modelo de Ising tricrítico | ||
Modelo de Potts de tres estados | ||
Modelo de Potts tricrítico de tres estados | ||
Modelo Ashkin-Teller |
La función de partición de toro conocida [10] sugiere que el modelo no es racional con un espectro discreto.
Referencias
- ^ a b c d e f g h i P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría del campo conformado , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-94785-X .
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- ^ Witten, E. (1989). "Quantum Field Thory y el polinomio de Jones". Comm. Matemáticas. Phys . 121 (3): 351. Código Bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W . doi : 10.1007 / BF01217730 . S2CID 14951363 .
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- ^ Picco, Marco; Ribault, Sylvain; Santachiara, Raoul (2016). "Un enfoque bootstrap conforme a la percolación crítica en dos dimensiones". Física de Scipost . 1 (1): 009. arXiv : 1607.07224 . Código bibliográfico : 2016ScPP .... 1 .... 9P . doi : 10.21468 / SciPostPhys.1.1.009 . S2CID 10536203 .
- ^ Di Francesco, P .; Saleur, H .; Zuber, JB (1987). "Invarianza modular en teorías conformales bidimensionales no mínimas". Física B nuclear . 285 : 454–480. Código Bibliográfico : 1987NuPhB.285..454D . doi : 10.1016 / 0550-3213 (87) 90349-x . ISSN 0550-3213 .
Otras lecturas
- P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría del campo conformal , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-94785-X .
- La página Conformal Field Theory en String Theory Wiki enumera libros y reseñas.
- Ribault, Sylvain (2014). "Teoría de campos conformales en el plano". arXiv : 1406,4290 [ hep-ésimo ].