La ecuación de Binet , derivada de Jacques Philippe Marie Binet , proporciona la forma de una fuerza central dada la forma del movimiento orbital en coordenadas polares planas . La ecuación también se puede usar para derivar la forma de la órbita para una ley de fuerza dada, pero esto generalmente implica la solución de una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden . Una solución única es imposible en el caso de un movimiento circular alrededor del centro de fuerza.
Ecuación
La forma de una órbita a menudo se describe convenientemente en términos de distancia relativa en función del ángulo . Para la ecuación de Binet, la forma orbital se describe más concisamente por el recíproco como una función de . Defina el momento angular específico como dónde es el momento angular yes la masa. La ecuación de Binet, derivada en la siguiente sección, da la fuerza en términos de la función:
Derivación
La segunda ley de Newton para una fuerza puramente central es
La conservación del momento angular requiere que
Derivados de con respecto al tiempo puede reescribirse como derivados de con respecto al ángulo:
Combinando todo lo anterior, llegamos a
Ejemplos de
Problema de Kepler
Clásico
El problema tradicional de Kepler de calcular la órbita de una ley del cuadrado inverso se puede leer de la ecuación de Binet como la solución a la ecuación diferencial.
Si el ángulo se mide a partir de la periapsis , entonces la solución general para la órbita expresada en coordenadas polares (recíprocas) es
La ecuación polar anterior describe secciones cónicas , conel recto semilato (igual a) y la excentricidad orbital .
Relativista
La ecuación relativista derivada de las coordenadas de Schwarzschild es [1]
dónde es la velocidad de la luz yes el radio de Schwarzschild . Y para la métrica Reissner-Nordström obtendremos
dónde es la carga eléctrica yes la permitividad del vacío .
Problema de Kepler inverso
Considere el problema de Kepler inverso. ¿Qué tipo de ley de fuerza produce una órbita elíptica no circular (o más generalmente una sección cónica no circular ) alrededor de un foco de la elipse ?
Diferenciar el doble de la ecuación polar anterior para una elipse da
Por tanto, la ley de fuerza es
que es la ley del cuadrado inverso anticipada. Coincidiendo con el orbital a valores físicos como o reproduce la ley de Newton de la gravitación universal o la ley de Coulomb , respectivamente.
La fuerza efectiva para las coordenadas de Schwarzschild es [2]
- .
donde el segundo término es una fuerza cuartica inversa correspondiente a los efectos del cuadrupolo, como el desplazamiento angular de la periapsis (también se puede obtener mediante potenciales retardados [3] ).
En el formalismo post-newtoniano parametrizado obtendremos
- .
dónde para la relatividad general y en el caso clásico.
Cotes espirales
Una ley de fuerza del cubo inverso tiene la forma
Las formas de las órbitas de una ley del cubo inverso se conocen como espirales de Cotes . La ecuación de Binet muestra que las órbitas deben ser soluciones a la ecuación
La ecuación diferencial tiene tres tipos de soluciones, en analogía con las diferentes secciones cónicas del problema de Kepler. Cuándo, la solución es la epiespiral , incluido el caso patológico de una línea recta cuando. Cuándo, la solución es la espiral hiperbólica . Cuándola solución es la espiral de Poinsot .
Movimiento circular fuera del eje
Aunque la ecuación de Binet no proporciona una ley de fuerza única para el movimiento circular alrededor del centro de fuerza, la ecuación puede proporcionar una ley de fuerza cuando el centro del círculo y el centro de fuerza no coinciden. Considere, por ejemplo, una órbita circular que pasa directamente por el centro de fuerza. Una ecuación polar (recíproca) para una órbita circular de diámetro es
Diferenciando dos veces y haciendo uso de la identidad pitagórica da
La ley de la fuerza es así
Tenga en cuenta que resolver el problema inverso general, es decir, construir las órbitas de un atractivo ley de fuerza, es un problema considerablemente más difícil porque es equivalente a resolver
que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.
Ver también
Referencias
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2010 . Consultado el 15 de noviembre de 2010 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - La ecuación orbital de primer orden
- ^ Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). "Una explicación relativista espacio-temporal plana para el avance del perihelio de Mercurio". arXiv : astro-ph / 0306611 .