En geometría , un quiliógono ( / k ɪ l i ə ɡ ɒ n / ) o 1.000-gon es un polígono con 1.000 partes. Los filósofos comúnmente se refieren a quiliagones para ilustrar ideas sobre la naturaleza y el funcionamiento del pensamiento, el significado y la representación mental.
Quiliagon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 1000 |
Símbolo de Schläfli | {1000}, t {500}, tt {250}, ttt {125} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 1000 ), orden 2 × 1000 |
Ángulo interno ( grados ) | 179,64 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Quiliagon regular
Un quiliagón regular está representado por el símbolo de Schläfli {1,000} y se puede construir como un 500-gon truncado , t {500}, o un 250-gon dos veces truncado, tt {250}, o un 125-gon tres veces truncado, ttt {125}.
La medida de cada ángulo interno en un quiliagón regular es 179,64 °. El área de un quiliagón regular con lados de longitud a está dada por
Este resultado difiere del área de su círculo circunscrito en menos de 4 partes por millón .
Como 1000 = 2 3 × 5 3 , el número de lados no es un producto de primos de Fermat distintos ni una potencia de dos. Por tanto, el quiliagón regular no es un polígono construible . De hecho, ni siquiera se puede construir con el uso de neusis o un trisector de ángulo, ya que el número de lados no es un producto de primos de Pierpont distintos , ni un producto de potencias de dos y tres. Por tanto, la construcción de un quiliagon requiere otras técnicas como la cuadratriz de Hipias , la espiral de Arquímedes u otras curvas auxiliares. Por ejemplo, primero se puede construir un ángulo de 9 ° con brújula y regla, que luego se puede quintisectar (dividir en cinco partes iguales) dos veces utilizando una curva auxiliar para producir el ángulo interno de 0,36 ° requerido.
Aplicación filosófica
René Descartes usa el quiliagon como ejemplo en su Sexta Meditación para demostrar la diferencia entre intelección pura e imaginación. Dice que, cuando uno piensa en un quiliagón, "no imagina los mil lados ni los ve como si estuvieran presentes" ante él, como hace cuando uno imagina un triángulo, por ejemplo. La imaginación construye una "representación confusa", que no se diferencia de la que construye de un miríagón (un polígono de diez mil lados). Sin embargo, comprende claramente qué es un quiliagón, al igual que comprende qué es un triángulo, y es capaz de distinguirlo de un miríagón. Por lo tanto, el intelecto no depende de la imaginación, afirma Descartes, ya que es capaz de albergar ideas claras y distintas cuando la imaginación no puede hacerlo. [1] El filósofo Pierre Gassendi , contemporáneo de Descartes, fue crítico con esta interpretación, creyendo que si bien Descartes podía imaginar un quiliagon, no podía entenderlo: se podía "percibir que la palabra 'quiliagon' significa una figura con mil ángulos [pero] ese es solo el significado del término, y no se sigue que comprenda los mil ángulos de la figura mejor de lo que los imagina ". [2]
El ejemplo de un quiliagón también es referenciado por otros filósofos, como Immanuel Kant . [3] David Hume señala que es "imposible que el ojo determine que los ángulos de un quiliagón sean iguales a los ángulos rectos de 1996, o hacer alguna conjetura que se acerque a esta proporción". [4] Gottfried Leibniz comenta sobre el uso del quiliagón por John Locke , señalando que uno puede tener una idea del polígono sin tener una imagen de él, y así distinguir las ideas de las imágenes. [5]
Henri Poincaré usa el quiliagon como evidencia de que "la intuición no se basa necesariamente en la evidencia de los sentidos" porque "no podemos representarnos a nosotros mismos un quiliagon, y sin embargo razonamos por intuición sobre polígonos en general, que incluyen al quiliagon como un particular caso." [6]
Inspirándose en el ejemplo del quiliagón de Descartes, Roderick Chisholm y otros filósofos del siglo XX han utilizado ejemplos similares para plantear puntos similares. La " gallina moteada " de Chisholm , que no necesita tener un número determinado de motas para ser imaginada con éxito, es quizás la más famosa de ellas. [7]
Simetría
El quiliagón regular tiene una simetría diédrica Dih 1000 , orden 2000, representada por 1000 líneas de reflexión. Dih 100 tiene 15 subgrupos diedros: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 . También tiene 16 simetrías cíclicas más como subgrupos: Z 1000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , con Z n representando la simetría rotacional π / n radianes.
John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [8] Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir quiliagones irregulares. Solo el subgrupo g1000 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Quiliagrama
Un quiliagrama es un polígono estelar de 1000 lados . Hay 199 formas regulares [9] dadas por símbolos de Schläfli de la forma {1000 / n }, donde n es un número entero entre 2 y 500 que es coprime a 1000. También hay 300 figuras de estrellas regulares en los casos restantes.
Por ejemplo, el polígono de estrella regular {1000/499} está construido por 1000 bordes casi radiales. Cada vértice de la estrella tiene un ángulo interno de 0,36 grados. [10]
Área central con patrones de muaré |
Ver también
- Myriagon
- Megagon
- Filosofía de la mente
- Filosofía del lenguaje
Referencias
- ^ Meditación VI de Descartes (traducción al inglés).
- ^ Sepkoski, David (2005). "Nominalismo y constructivismo en la filosofía matemática del siglo XVII". Historia Mathematica . 32 : 33–59. doi : 10.1016 / j.hm.2003.09.002 .
- ^ Immanuel Kant, "En un descubrimiento", trans. Henry Allison, en Theoretical Philosophy After 1791 , ed. Henry Allison y Peter Heath, Cambridge UP, 2002 [Akademie 8: 121]. En realidad, Kant no usa un quiliagón como su ejemplo, sino que usa una figura de 96 lados , pero está respondiendo a la misma pregunta planteada por Descartes.
- ^ David Hume, Las obras filosóficas de David Hume , Volumen 1, Black y Tait, 1826, p. 101.
- ^ Jonathan Francis Bennett (2001), Aprendiendo de seis filósofos: Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Berkeley, Hume , volumen 2, Oxford University Press, ISBN 0198250924 , pág. 53.
- ^ Henri Poincaré (1900) "Intuición y lógica en matemáticas" en William Bragg Ewald (ed) De Kant a Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas , volumen 2, Oxford University Press, 2007, ISBN 0198505361 , pág. 1015.
- ^ Roderick Chisholm, "El problema de la gallina moteada", Mind 51 (1942): págs. 368-373. "Estos problemas son todos descendientes del argumento 'chiliagon' de Descartes en la sexta de sus Meditaciones" (Joseph Heath, Siguiendo las reglas: razonamiento práctico y restricción deóntica , Oxford: OUP, 2008, p. 305, nota 15).
- ^ Las simetrías de las cosas , Capítulo 20
- ^ 199 = 500 casos - 1 (convexo) - 100 (múltiplos de 5) - 250 (múltiplos de 2) + 50 (múltiplos de 2 y 5)
- ^ 0,36 = 180 (1-2 / (1000/499)) = 180 (1-998 / 1000) = 180 (2/1000) = 180/500
- quiliagon