Variedad proyectiva
En geometría algebraica , una variedad proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n- espacio proyectivo sobre k que es el lugar geométrico cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k , que generan un ideal primordial , el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si puede integrarse como una subvariedad cerrada de Zariski de .
Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es una; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es una menor que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene; en este caso es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo .
se llama el coordinar anillo homogénea de X . Los invariantes básicos de X , como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .
Las variedades proyectivas surgen de muchas formas. Están completos , lo que se puede expresar a grandes rasgos diciendo que no hay puntos "faltantes". Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación de estas dos nociones. Demostrando que es una variedad proyectiva se realiza mediante el estudio de la línea paquetes o divisores de X .
Una característica sobresaliente de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud en la cohomología de la gavilla. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de curvas proyectivas es particularmente rica, incluyendo una clasificación por género de la curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. [1] Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados de con el polinomio de Hilbert prescrito. Esquemas de Hilbert, de los cualesLos Grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de la invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio Teichmüller y las variedades Chow .
Una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, está disponible para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen a X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de los haces de vectores holomórficos (más generalmente haces analíticos coherentes ) sobre X coincide con la de los haces de vectores algebraicos. Teorema de chowdice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar geométrico cero de una familia de funciones holomórficas si y solo si es el lugar geométrico cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge .
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