En física matemática , la cuantificación geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica determinada . Intenta realizar la cuantificación , para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que quedan manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, se debe incorporar la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.
Orígenes
Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl , propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable de mecánica cuántica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert ) con una función de valor real en el espacio de fase clásico . La posición y el impulso en este espacio de fase se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg , y el espacio de Hilbert aparece como una representación de grupo del grupo de Heisenberg . En 1946, HJ Groenewold consideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fase clásico. [1] Esto lo llevó a descubrir el producto estelar del espacio-fase de un par de funciones.
La teoría moderna de la cuantificación geométrica fue desarrollada por Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau en la década de 1970. Una de las motivaciones de la teoría fue comprender y generalizar el método de la órbita de Kirillov en la teoría de la representación.
Cuantificación de deformaciones
De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación de la deformación , donde el producto ★ se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson . Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor), el mapa de Weyl no es satisfactorio. Por ejemplo, el mapa Weyl de la clásica momento cinético-cuadrado no es sólo el momento angular cuántico cuadrado operador, pero contiene además un término constante 3H 2 /2. (Este término adicional es en realidad físicamente significativo, ya que explica el momento angular que no desaparece de la órbita de Bohr en el estado fundamental en el átomo de hidrógeno. [2] ) Sin embargo, como un mero cambio de representación, el mapa de Weyl subyace a la formulación alternativa del espacio de fase. de la mecánica cuántica convencional.
Cuantización geométrica
El procedimiento de cuantificación geométrica se divide en los siguientes tres pasos: precuantización, polarización y corrección metapléctica. La precuantización produce un espacio de Hilbert natural junto con un procedimiento de cuantificación para observables que transforma exactamente los paréntesis de Poisson en el lado clásico en conmutadores en el lado cuántico. Sin embargo, generalmente se entiende que el espacio prequantum de Hilbert es "demasiado grande". [3] La idea es que uno debe seleccionar un conjunto de n variables de conmutación de Poisson en el espacio de fase 2 n- dimensional y considerar funciones (o, más propiamente, secciones) que dependen sólo de estas n variables. Las n variables pueden ser de valor real, lo que da como resultado un espacio de Hilbert de estilo de posición, o de valor complejo, produciendo algo como el espacio de Segal-Bargmann . [a] Una polarización es una descripción independiente de las coordenadas de dicha elección de n funciones de conmutación de Poisson. La corrección metapléctica (también conocida como corrección de media forma) es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales y, a menudo, conveniente para polarizaciones complejas.
Precuantización
Suponer es una variedad simpléctica con forma simpléctica . Supongamos al principio quees exacta, lo que significa que hay un potencial simpléctico definido globalmente con . Podemos considerar el "espacio de Hilbert prequantum" de funciones cuadráticas integrables en(con respecto a la medida de volumen de Liouville). Para cada función suave en , podemos definir el operador precuántico de Kostant-Souriau
- .
dónde es el campo vectorial hamiltoniano asociado a .
De manera más general, suponga tiene la propiedad de que la integral de sobre cualquier superficie cerrada hay un número entero. Entonces podemos construir un paquete de líneas con conexión cuya curvatura 2-forma es . En ese caso, el espacio de Hilbert prequantum es el espacio de secciones integrables cuadradas de, y reemplazamos la fórmula para arriba con
- ,
con la conexión. Los operadores prequantum satisfacen
para todas las funciones suaves y . [4]
La construcción del espacio de Hilbert precedente y los operadores se conoce como precuantización .
Polarización
El siguiente paso en el proceso de cuantificación geométrica es la elección de una polarización. Una polarización es una elección en cada punto de un subespacio lagrangiano del espacio tangente complejo de . Los subespacios deben formar una distribución integrable, lo que significa que el conmutador de dos campos vectoriales que se encuentran en el subespacio en cada punto también debe estar en el campo vectorial en cada punto. El espacio de Hilbert cuántico (en oposición al precuántico) es el espacio de secciones deque son covariantemente constantes en la dirección de la polarización. [5] [b] La idea es que en el espacio cuántico de Hilbert, las secciones deben ser funciones de solo variables en el -Espacio fase clásico dimensional.
Si es una función para la cual el flujo hamiltoniano asociado conserva la polarización, entonces preservará el espacio cuántico de Hilbert. [6] El supuesto de que el flujo depreservar la polarización es fuerte. Normalmente, no muchas funciones satisfarán este supuesto.
Corrección de media forma
La corrección de media forma, también conocida como corrección metapléctica, es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales para obtener un espacio cuántico de Hilbert distinto de cero; también suele ser útil en casos complejos. El paquete de líneas es reemplazado por el producto tensorial de con la raíz cuadrada del paquete canónico de . En el caso de la polarización vertical, por ejemplo, en lugar de considerar funciones de que son independientes de , uno considera objetos de la forma . La fórmula paraluego debe complementarse con un término derivado adicional de Lie. [7] En el caso de una polarización compleja en el plano, por ejemplo, la corrección de la mitad de la forma permite la cuantificación del oscilador armónico para reproducir la fórmula mecánica cuántica estándar para las energías,, con el ""cortesía de las medias formas. [8]
Colectores de Poisson
También se desarrolla la cuantificación geométrica de variedades de Poisson y foliaciones simplécticas. Por ejemplo, este es el caso de los sistemas hamiltonianos parcialmente integrables y superintegrables y la mecánica no autónoma .
Ejemplo
En el caso de que la variedad simpléctica sea la 2-esfera , se puede realizar como una órbita coadjunta en. Suponiendo que el área de la esfera es un múltiplo entero de, podemos realizar una cuantificación geométrica y el espacio de Hilbert resultante tiene una representación irreducible de SU (2) . En el caso de que el área de la esfera sea, obtenemos la representación bidimensional spin-½ .
Ver también
- Mitad de forma
- Foliación lagrangiana
- Método de la órbita de Kirillov
- La cuantificación conmuta con la reducción
Notas
- ^ Ver Hall 2013 , Sección 22.4 para ejemplos simples.
- ^ Consulte la Sección 22.4 del Hall 2013 para ver ejemplos en el caso euclidiano.
Citas
- ^ Groenewold 1946 , págs. 405–460.
- ^ Dahl y Schleich 2002 .
- ^ Pasillo 2013 , sección 22.3.
- ↑ Hall 2013 , Teorema 23.14.
- ^ Pasillo 2013 , sección 23.4.
- ↑ Hall 2013 , Teorema 23.24.
- ↑ Hall 2013 , Secciones 23.6 y 23.7.
- ^ Hall 2013 , ejemplo 23.53.
Fuentes
- Bates, S; Weinstein, A. (1996). Conferencias sobre la geometría de la cuantificación . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-082180798-9.
- Dahl, J .; Schleich, W. (2002). "Conceptos de energías cinéticas radiales y angulares". Physical Review A . 65 (2). arXiv : quant-ph / 0110134 . Código Bibliográfico : 2002PhRvA..65b2109D . doi : 10.1103 / PhysRevA.65.022109 .
- Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, G. (2005). Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica . World Scientific. ISBN 981-256-129-3.
- Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Código Bibliográfico : 1946Phy .... 12..405G . doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 .
- Hall, BC (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. Volumen 267. Springer. ISBN 978-146147115-8.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Kong, K. (2006). De los sistemas microcuánticos a los macro, (un formalismo unificado con reglas de superselección y sus aplicaciones) . World Scientific. ISBN 978-1-86094-625-7.
- Śniatycki, J. (1980). Cuantización geométrica y mecánica cuántica . Saltador. ISBN 0-387-90469-7.
- Vaisman, I. (1991). Conferencias sobre la geometría de los colectores de Poisson . Birkhauser. ISBN 978-3-7643-5016-1.
- Woodhouse, NMJ (1991). Cuantización geométrica . Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-853673-9.
enlaces externos
- La revisión de William Ritter sobre la cuantificación geométrica presenta un marco general para todos los problemas de física y encaja la cuantificación geométrica en este marco arXiv : math-ph / 0208008
- La revisión de John Baez de Geometric Quantization , por John Baez es corta y pedagógica.
- Introducción a la cuantificación geométrica de Matthias Blau , una de las pocas buenas bases (solo en formato ps)
- A. Echeverria-Enriquez, M. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Fundamentos matemáticos de la cuantificación geométrica, arXiv : math-ph / 9904008 .
- G. Sardanashntly , Cuantización geométrica de foliaciones simplécticas, arXiv : math / 0110196 .