Geometría de contacto
En matemáticas , la geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución hiperplana en el paquete tangente que satisface una condición llamada "no integrabilidad completa". De manera equivalente, dicha distribución puede darse (al menos localmente) como el núcleo de una forma única diferencial, y la condición de no integrabilidad se traduce en una condición de no degeneración máxima en la forma. Estas condiciones son opuestas a dos condiciones equivalentes para la ' integrabilidad completa ' de una distribución hiperplana, es decir, que sea tangente a una codimensión una foliación en la variedad, cuya equivalencia es el contenido de laTeorema de Frobenius .
La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , una estructura en ciertas variedades de dimensión par. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico o la hipersuperficie de energía constante, que, siendo codimensión uno, tiene dimensión impar.
Al igual que la geometría simpléctica, la geometría de contacto tiene amplias aplicaciones en física , por ejemplo, óptica geométrica , mecánica clásica , termodinámica , cuantización geométrica , sistemas integrables y teoría de control . La geometría de contacto también tiene aplicaciones en la topología de baja dimensión ; por ejemplo, ha sido utilizado por Kronheimer y Mrowka para probar la conjetura de la propiedad P , por Michael Hutchings para definir un invariante de tres variedades suaves y por Lenhard Ng para definir invariantes de nudos. También fue utilizado porYakov Eliashberg para obtener una caracterización topológica de las variedades de Stein de al menos seis dimensiones.
Una estructura de contacto en una variedad de dimensiones impares es una familia de subespacios de codimensión uno que varía suavemente de cada espacio tangente de la variedad, que satisface una condición de no integrabilidad. La familia puede describirse como una sección de un paquete de la siguiente manera:
Dada una variedad uniforme M n -dimensional y un punto p ∈ M , un elemento de contacto de M con el punto de contacto p es un subespacio lineal ( n − 1) dimensional del espacio tangente a M en p . [1] [2] Un elemento de contacto puede estar dado por el núcleo de una función lineal en el espacio tangente a M en p . Sin embargo, si un subespacio está dado por el núcleo de una función lineal ω, entonces también estará dado por los ceros de λω donde λ ≠ 0 es cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, los núcleos de { λω : λ ≠ 0 } dan todos el mismo elemento de contacto. De ello se deduce que el espacio de todos los elementos de contacto de M se puede identificar con un cociente del paquete cotangente T* M (con la sección cero eliminada), [1] a saber:
Una estructura de contacto en una variedad de dimensiones impares M , de dimensión 2 k +1 , es una distribución uniforme de elementos de contacto, denotada por ξ, que es genérica en cada punto. [1] [2] La condición de genericidad es que ξ no es integrable .
