En geometría algebraica , los divisores son una generalización de subvariedades de codimensión -1 de variedades algebraicas . Dos generalizaciones diferentes son de uso común, los divisores de Cartier y los divisores de Weil (llamados así por Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan en última instancia de la noción de divisibilidad en los campos de números enteros y algebraicos .
El trasfondo es que las subvariedades de codimensión 1 se entienden mucho mejor que las subvariedades de codimensión superior. Esto sucede tanto de manera global como local. Globalmente, cada subvariedad de codimensión-1 del espacio proyectivo se define por la desaparición de un polinomio homogéneo ; Por el contrario, una subvariedad de codimensión- r no necesita ser definida por solo r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no todas las subvariedades del espacio proyectivo son una intersección completa ). Localmente, cada subvariedad de codimensión-1 de una variedad suavese puede definir mediante una ecuación en una vecindad de cada punto. Nuevamente, la declaración análoga falla para las subvariedades de codimensión superior. Como resultado de esta buena propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria analizando sus subvariedades de codimensión-1 y los paquetes de líneas correspondientes .
En variedades singulares, esta buena propiedad puede fallar, por lo que hay que distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una ecuación. Los primeros son divisores de Weil, mientras que los segundos son divisores de Cartier. Topológicamente, los divisores de Weil desempeñan el papel de clases de homología , mientras que los divisores de Cartier representan clases de cohomología . En una variedad suave (o más generalmente un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré dice que los divisores de Weil y Cartier son iguales.
El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes mostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . [1] El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio Dedekind.
Un ciclo algebraico es una generalización de codimensión superior de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.
Divisores en superficie Riemann
A Riemann superficie es un 1-dimensional colector complejo , y por lo que sus subvariedades codimensión-1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en un compacto Riemann superficie X es el grupo abeliano libre en los puntos de X .
De manera equivalente, un divisor en una superficie compacta de Riemann X es una combinación lineal finita de puntos de X con coeficientes enteros . El grado de un divisor en X es la suma de sus coeficientes.
Para cualquier función meromórfica distinta de cero f en X , se puede definir el orden de desaparición de f en un punto p en X , ord p ( f ). Es un número entero, negativo si f tiene un polo en p . El divisor de una función meromórfica f distinta de cero en la superficie compacta de Riemann X se define como
que es una suma finita. Los divisores de la forma ( f ) también se denominan divisores principales . Dado que ( fg ) = ( f ) + ( g ), el conjunto de divisores principales es un subgrupo del grupo de divisores. Dos divisores que se diferencian por un divisor principal se denominan linealmente equivalentes .
En una superficie compacta de Riemann, el grado de un divisor principal es cero; es decir, el número de ceros de una función meromórfica es igual al número de polos, contados con multiplicidad. Como resultado, el grado está bien definido en clases de equivalencia lineal de divisores.
Dado un divisor D en una superficie compacta de Riemann X , es importante estudiar el espacio vectorial complejo de funciones meromórficas en X con polos como máximo dados por D , llamado H 0 ( X , O ( D )) o el espacio de secciones de el haz de línea asociado a D . El grado de D dice mucho sobre la dimensión de este espacio vectorial. Por ejemplo, si D tiene un grado negativo, entonces este espacio vectorial es cero (porque una función meromórfica no puede tener más ceros que polos). Si D tiene un grado positivo, entonces la dimensión de H 0 ( X , O ( mD )) crece linealmente en m para m suficientemente grande. El teorema de Riemann-Roch es una declaración más precisa en este sentido. Por otra parte, la dimensión exacta de H 0 ( X , O ( D )) para divisores D de bajo grado es sutil, y no completamente determinado por el grado de D . Las características distintivas de una superficie compacta de Riemann se reflejan en estas dimensiones.
Un divisor clave en una superficie compacta de Riemann es el divisor canónico . Para definirlo, primero se define el divisor de una forma 1 meromórfica distinta de cero a lo largo de las líneas anteriores. Dado que el espacio de las formas 1 meromórficas es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de las funciones meromórficas, cualesquiera dos formas 1 meromórficas distintas de cero producen divisores linealmente equivalentes. Cualquier divisor en esta clase de equivalencia lineal se llama el divisor canónico de X , K X . El género g de X se puede leer a partir del divisor canónico: es decir, K X tiene grado 2 g - 2. La tricotomía clave entre las superficies compactas de Riemann X es si el divisor canónico tiene grado negativo (por lo que X tiene género cero), grado cero (género uno), o grado positivo (género al menos 2). Por ejemplo, esto determina si X tiene una métrica de Kähler con curvatura positiva , curvatura cero o curvatura negativa. El divisor canónico tiene grado negativo si y solo si X es isomorfo a la esfera de Riemann CP 1 .
Divisores Weil
Sea X un esquema integral localmente noetheriano . Un divisor primo o divisor irreducible en X es un integral subesquema cerrado Z de codimensión 1 en X . Un divisor de Weil en X es una suma formal sobre los divisores primos Z de X ,
donde la coleccion es localmente finito. Si X es cuasi-compacto, la finitud local es equivalente asiendo finito. El grupo de todos los divisores de Weil se denota Div ( X ) . Un divisor de Weil D es efectivo si todos los coeficientes son no negativos. Se escribe D ≥ D ′ si la diferencia D - D ′ es efectiva.
Por ejemplo, un divisor en una curva algebraica sobre un campo es una suma formal de un número finito de puntos cerrados. Un divisor en Spec Z es una suma formal de los números primos con coeficientes enteros y por lo tanto corresponde a un no-cero ideales fraccional en Q . Una caracterización similar es cierta para los divisores endonde K es un campo numérico.
Si Z ⊂ X es un divisor primo, entonces el anillo localtiene Krull dimensión uno. Sies distinto de cero, entonces el orden de desaparición de f a lo largo de Z , escrito ord Z ( f ) , es la longitud deEsta longitud es finita, [2] y es aditiva con respecto a la multiplicación, es decir, ord Z ( fg ) = ord Z ( f ) + ord Z ( g ) . [3] Si k ( X ) es el campo de funciones racionales en X , entonces cualquier f ∈ k ( X ) distinto de cero puede escribirse como un cociente g / h , donde g y h están eny el orden de desaparición de f se define como ord Z ( g ) - ord Z ( h ) . [4] Con esta definición, el orden de fuga es una función ord Z : k ( X ) × → Z . Si X es normal , entonces el timbre locales un anillo de valoración discreto y la función ord Z es la valoración correspondiente. Para una función racional distinta de cero f en X , el divisor de Weil principal asociado af se define como el divisor de Weil
Se puede demostrar que esta suma es localmente finita y, por tanto, define un divisor de Weil. El divisor de Weil principal asociado af también se anota ( f ) . Si f es una función regular, entonces su principal divisor de Weil es efectivo, pero en general esto no es cierto. La aditividad del orden de la función de desaparición implica que
En consecuencia, div es un homomorfismo y, en particular, su imagen es un subgrupo del grupo de todos los divisores de Weil.
Sea X un esquema noetheriano integral normal. Cada divisor D de Weil determina una gavilla coherente en X . Concretamente se puede definir como subgajo del haz de funciones racionales [5]
Es decir, una función racional f distinta de cero es una sección desobre U si y solo si para cualquier divisor primo Z que interseque a U ,
donde n Z es el coeficiente de Z en D . Si D es principal, entonces D es el divisor de una función racional g , entonces hay un isomorfismo
desde es un divisor efectivo y por lo tanto es regular gracias a la normalidad de X . Por el contrario, si es isomorfo a como un -módulo, entonces D es principal. De ello se deduce que D es localmente principal si y solo sies invertible; es decir, un paquete de líneas.
Si D es un divisor efectivo que corresponde a un subesquema de X (por ejemplo, D puede ser un divisor reducido o un divisor primo), entonces la gavilla ideal del subesquema D es igual aEsto conduce a una secuencia exacta corta de uso frecuente,
La cohomología de gavilla de esta secuencia muestra quecontiene información sobre si las funciones regulares sobre D son las restricciones de las funciones regulares sobre X .
También hay una inclusión de gavillas.
Esto proporciona un elemento canónico de es decir, la imagen de la sección global 1. Esto se llama la sección canónica y puede ser denotado s D . Si bien la sección canónica es la imagen de una función racional que no desaparece en ninguna parte, su imagen ense desvanece a lo largo de D debido a que las funciones de transición desaparecen a lo largo de D . Cuando D es un divisor de Cartier uniforme, se puede identificar el cokernel de la inclusión anterior; ver divisores de #Cartier a continuación.
Suponga que X es un esquema separado integral normal de tipo finito sobre un campo. Sea D un divisor de Weil. Luegoes una gavilla reflexiva de rango uno , y desde se define como una subhaz de es una gavilla ideal fraccionada (ver más abajo). A la inversa, cada gavilla reflexiva de rango uno corresponde a un divisor de Weil: la gavilla puede restringirse al locus regular, donde se libera y, por lo tanto, corresponde a un divisor de Cartier (nuevamente, ver más abajo), y porque el locus singular tiene al menos codimensión dos, el cierre del divisor Cartier es un divisor Weil.
Grupo de clase de divisor
El grupo de clases de divisores de Weil Cl ( X ) es el cociente de Div ( X ) por el subgrupo de todos los divisores de Weil principales. Se dice que dos divisores son linealmente equivalentes si su diferencia es principal, por lo que el grupo de clases de divisores es el grupo de divisores módulo de equivalencia lineal. Para una variedad X de dimensión n sobre un campo, el grupo de clase divisor es un grupo Chow ; a saber, Cl ( X ) es el grupo de Chow CH n −1 ( X ) de ( n −1) -ciclos dimensionales.
Deje que Z sea un subconjunto cerrado de X . Si Z es irreducible de una codimensión, a continuación, Cl ( X - Z ) es isomorfo al grupo cociente de Cl ( X ) por la clase de Z . Si Z tiene codimensión al menos 2 en X , entonces la restricción Cl ( X ) → Cl ( X - Z ) es un isomorfismo. [6] (Estos hechos son casos especiales de la secuencia de localización para grupos Chow).
En un esquema noetheriano integral normal X , dos divisores de Weil D , E son linealmente equivalentes si y solo si y son isomorfos como -módulos. Las clases de isomorfismo de las poleas reflexivas en X forman un monoide con el producto dado como el casco reflexivo de un producto tensorial. Luegodefine un isomorfismo monoid del grupo clase divisor Weil de X a la monoid de clases de isomorfismo de rango-uno poleas reflexivos en X .
Ejemplos de
- Sea k un campo y n un entero positivo. Dado que el anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ] es un dominio de factorización único, el grupo de clases de divisores del espacio afín A n sobre k es igual a cero. [7] Desde proyectiva espacio P n sobre k menos un hiperplano H es isomorfo a A n , se deduce que el grupo de la clase divisor de P n es generado por la clase de H . A partir de ahí, es sencillo para comprobar que Cl ( P n ) es, de hecho isomorfo a los números enteros Z , generada por H . Concretamente, esto significa que cada subvariedad de codimensión-1 de P n está definida por la desaparición de un único polinomio homogéneo.
- Sea X una curva algebraica sobre un campo k . Todo punto cerrado p en X tiene la forma Spec E para algún campo de extensión finito E de k , y el grado de p se define como el grado de E sobre k . La extensión de esta por la linealidad da la noción de grado de un divisor de X . Si X es una curva proyectiva sobre k , entonces el divisor de una función racional distinta de cero f en X tiene grado cero. [8] Como resultado, para una curva proyectiva X , el grado da una deg homomorfismo: Cl ( X ) → Z .
- Para la línea proyectiva P 1 sobre un campo k , el grado da un isomorfismo Cl ( P 1 ) ≅ Z . Para cualquier curva proyectiva uniforme X con un punto k - racional , el grado de homomorfismo es sobreyectivo y el núcleo es isomorfo al grupo de k puntos en la variedad jacobiana de X , que es una variedad abeliana de dimensión igual al género de X . De ello se deduce, por ejemplo, que el grupo de clases divisor de una curva elíptica compleja es un grupo abeliano incontable .
- Generalizando el ejemplo anterior: para cualquier variedad proyectiva suave X sobre un campo k tal que X tiene un k -punto racional, el grupo de clase divisor Cl ( X ) es una extensión de un grupo abeliano generado finitamente , el grupo Néron-Severi , por el grupo de k -puntos de un esquema de grupo conectado [9] Para k de característica cero,es una variedad abelian, la variedad Picard de X .
- Para R el anillo de los enteros de un campo de número , el grupo clase divisor Cl ( R ): = Cl (Spec R ) también se llama el grupo ideal de la clase de R . Es un grupo abeliano finito. Comprender los grupos de clases ideales es un objetivo central de la teoría algebraica de números .
- Sea X el cono cuádrico de dimensión 2, definido por la ecuación xy = z 2 en el espacio tridimensional afín sobre un campo. Entonces la línea D en X definida por x = z = 0 no es principal en X cerca del origen. Tenga en cuenta que D puede definirse como un conjunto mediante una ecuación en X , a saber, x = 0; pero la función de x en X se desvanece a lo largo de orden 2 D , y por lo que sólo encontramos que 2 D es Cartier (como se define más adelante) en X . De hecho, el grupo de la clase divisor Cl ( X ) es isomorfo al grupo cíclico Z / 2, generado por la clase de D . [10]El cono cuádrico afín xy = z 2 .
- Sea X el cono cuádrico de dimensión 3, definido por la ecuación xy = zw en el espacio 4 afín sobre un campo. Entonces, el plano D en X definido por x = z = 0 no puede definirse en X por una ecuación cerca del origen, incluso como un conjunto. De ello se deduce que D no es Q-Cartier en X ; es decir, ningún múltiplo positivo de D es Cartier. De hecho, el grupo de la clase divisor Cl ( X ) es isomorfo a los números enteros Z , generada por la clase de D . [11]
El divisor canónico
Sea X una variedad normal sobre un campo perfecto . El locus liso U de X es un subconjunto abierto cuyo complemento tiene codimensión al menos 2. Sea j : U → X el mapa de inclusión, luego el homomorfismo de restricción:
es un isomorfismo, ya que X - T tiene codimensión al menos 2 en X . Por ejemplo, uno puede utilizar este isomorfismo para definir el divisor canónico K X de X : es el divisor Weil (hasta lineal equivalencia) correspondiente a la línea paquete de formas diferenciales de la parte superior grado en U . De manera equivalente, la gavillaen X es la gavilla de imagen directa donde n es la dimensión de X .
Ejemplo : Sea X = P n el n- espacio proyectivo con las coordenadas homogéneas x 0 , ..., x n . Sea U = { x 0 ≠ 0}. Entonces U es isomorfo al n- espacio afín con las coordenadas y i = x i / x 0 . Dejar
Entonces ω es una forma diferencial racional en U ; por lo tanto, es una sección racional deque tiene polos simples a lo largo de Z i = { x i = 0}, i = 1, ..., n . Cambiar a un gráfico afín diferente cambia solo el signo de ω y, por lo tanto, vemos que ω también tiene un polo simple a lo largo de Z 0 . Por tanto, el divisor de ω es
y su clase divisor es
donde [ H ] = [ Z i ], i = 0, ..., n . (Ver también la secuencia de Euler ).
Divisores Cartier
Sea X un esquema noetheriano integral. Entonces X tiene un conjunto de funciones racionales Todas las funciones regulares son funciones racionales, lo que conduce a una breve secuencia exacta
Un divisor de Cartier en X es una sección global de Una descripción equivalente es que un divisor Cartier es una colección dónde es una tapa abierta de es una sección de en y en hasta la multiplicación por una sección de
Los divisores de Cartier también tienen una descripción teórica de la gavilla. Una gavilla ideal fraccionaria es una sub--módulo de Una gavilla ideal fraccionaria J es invertible si, para cada x en X , existe una vecindad abierta U de x en la que la restricción de J a U es igual a dónde y se toma el producto Cada divisor Cartier define una gavilla ideal fraccionaria invertible utilizando la descripción del divisor Cartier como una colección. ya la inversa, las poleas ideales fraccionarias invertibles definen los divisores Cartier. Si el divisor de Cartier se denota D , entonces la gavilla ideal fraccionaria correspondiente se denota O ( D ) o L ( D ).
Por la secuencia exacta anterior, hay una secuencia exacta de grupos de cohomología de gavillas :
Se dice que un divisor de Cartier es principal si está en la imagen del homomorfismoes decir, si es el divisor de una función racional en X . Dos divisores de Cartier son linealmente equivalentes si su diferencia es principal. Cada paquete de líneas L sobre X en un esquema noetheriano integral es la clase de algún divisor de Cartier. Como resultado, la secuencia exacta anterior identifica el grupo Picard de paquetes de líneas en un esquema noetheriano integral X con el grupo de equivalencia lineal módulo de divisores de Cartier. Esto se aplica más generalmente a esquemas noetherianos reducidos, o esquemas cuasi-proyectivos sobre un anillo noetheriano, [12] pero puede fallar en general (incluso para esquemas apropiados sobre C ), lo que disminuye el interés de los divisores de Cartier en total generalidad. [13]
Suponga que D es un divisor de Cartier eficaz. Luego hay una breve secuencia exacta
Esta secuencia se deriva de la secuencia corta exacta relativa las poleas estructura de X y D y la gavilla ideal de D . Debido a que D es un divisor de Cartier, O ( D ) es localmente libre y, por lo tanto, al tensar esa secuencia con O ( D ) se obtiene otra secuencia corta exacta, la anterior. Cuando D es suave, O D ( D ) es el paquete normal de D en X .
Comparación de divisores Weil y divisores Cartier
Se dice que un divisor de Weil D es Cartier si y solo si la gavilla O ( D ) es invertible. Cuando esto sucede, O ( D ) (con su incrustación en M X ) es el paquete de líneas asociado a un divisor de Cartier. Más precisamente, si O ( D ) es invertible, entonces existe una cubierta abierta { U i } tal que O ( D ) se restringe a un paquete trivial en cada conjunto abierto. Para cada U i , elija un isomorfismo La imagen de debajo de este mapa hay una sección de O ( D ) en U i . Dado que O ( D ) se define como una subhaz del conjunto de funciones racionales, la imagen de 1 puede identificarse con alguna función racional f i . La colecciónes entonces un divisor de Cartier. Esto está bien definido porque las únicas opciones involucradas fueron la cobertura y el isomorfismo, ninguno de los cuales cambia el divisor de Cartier. Este divisor de Cartier se puede utilizar para producir una gavilla, que para distinción anotaremos L ( D ). Hay un isomorfismo de O ( D ) con L ( D ) definido trabajando en la cubierta abierta { U i }. El hecho clave para verificar aquí es que las funciones de transición de O ( D ) y L ( D ) son compatibles, y esto equivale al hecho de que todas estas funciones tienen la forma
En la dirección opuesta, un divisor de Cartier en un esquema noetheriano integral, X determina un divisor de Weil en X de forma natural, aplicandoa las funciones f i en los conjuntos abiertos U i .
Si X es normal, un divisor de Cartier está determinado por el divisor de Weil asociado, y un divisor de Weil es Cartier si y solo si es localmente principal.
Un esquema noetheriano X se llama factorial si todos los anillos locales de X son dominios de factorización únicos . [5] (Algunos autores dicen "localmente factorial".) En particular, todo esquema regular es factorial. [14] En un esquema factorial X , cada divisor de Weil D es localmente principal, por lo que O ( D ) es siempre un conjunto de líneas. [7] En general, sin embargo, un divisor de Weil en un esquema normal no necesita ser principal localmente; vea los ejemplos de conos cuádruples arriba.
Divisores Cartier eficaces
Los divisores Cartier efectivos son aquellos que corresponden a poleas ideales. De hecho, la teoría de los divisores de Cartier efectivos se puede desarrollar sin ninguna referencia a haces de funciones racionales o haces ideales fraccionarios.
Sea X un esquema. Un divisor de Cartier efectivo en X es un haz ideal I que es invertible y tal que para cada punto x en X , el tallo I x es principal. Es equivalente a requerir que alrededor de cada x , existe un abierto affine subconjunto U = Spec A tal que U ∩ D = Spec A / ( f ) , donde f es un divisor no es cero en A . La suma de dos divisores de Cartier efectivos corresponde a la multiplicación de haces ideales.
Existe una buena teoría de familias de divisores de Cartier efectivos. Sea φ: X → S un morfismo. Un divisor Cartier eficaz relativa para X sobre S es un eficaz divisor Cartier D en X que es plana sobre S . Debido al supuesto de planitud, para cadahay un retroceso de D paray este retroceso es un divisor de Cartier eficaz. En particular, esto es cierto para las fibras de φ.
Functorialidad
Sea φ: X → Y un morfismo de esquemas integrales localmente noetherianos. A menudo, pero no siempre, es posible utilizar φ para transferir un divisor D de un esquema a otro. Si esto es posible depende de si el divisor es un divisor de Weil o Cartier, si el divisor se debe mover de X a Y o viceversa, y qué propiedades adicionales φ podría tener.
Si Z es un divisor de Weil primo en X , entonceses un subesquema irreducible cerrado de Y . Dependiendo de φ, puede o no ser un divisor principal de Weil. Por ejemplo, si φ es la explosión de un punto en el plano y Z es el divisor excepcional, entonces su imagen no es un divisor de Weil. Por lo tanto, φ * Z se define comosi ese subesquema es un divisor primo y se define como el divisor cero en caso contrario. Extender esto por linealidad, asumiendo que X es cuasi-compacto, definirá un homomorfismo Div ( X ) → Div ( Y ) llamado pushforward . (Si X no es cuasi-compacto, entonces el pushforward puede no ser una suma localmente finita). Este es un caso especial del pushforward en grupos Chow.
Si Z es un divisor de Cartier, entonces bajo hipótesis leves en φ, hay un retroceso φ * Z . En teoría, cuando hay un mapa de retroceso φ −1 M Y → M X , este retroceso se puede utilizar para definir el retroceso de los divisores de Cartier. En términos de secciones locales, el retroceso de se define como . El retroceso siempre se define si φ es dominante, pero no se puede definir en general. Por ejemplo, si X = Z y φ es la inclusión de Z en Y , entonces φ * Z no está definido porque las secciones locales correspondientes serían cero en todas partes. (Sin embargo, se define el retroceso del paquete de líneas correspondiente).
Si φ es plano, entonces se define el retroceso de los divisores de Weil. En este caso, el retroceso de Z es φ * Z = φ −1 ( Z ) . La planitud de φ asegura que la imagen inversa de Z continúe teniendo codimensión uno. Esto puede fallar para morfismos que no son planos, por ejemplo, para una pequeña contracción .
La primera clase Chern
Para un esquema noetheriano integral X , el homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier al de los divisores de Weil da un homomorfismo
conocida como la primera clase Chern . [15] La primera clase de Chern es inyectiva si X es normal, y es un isomorfismo si X es factorial (como se definió anteriormente). En particular, los divisores de Cartier se pueden identificar con los divisores de Weil en cualquier esquema regular, por lo que la primera clase Chern es un isomorfismo para X regular.
Explícitamente, la primera clase Chern se puede definir de la siguiente manera. Para una línea de haz de L en un esquema integral Noetherian X , vamos s ser una sección racional no nulo de L (es decir, una sección sobre algún subconjunto abierto no vacío de L ), que existe por trivialidad local de la L . Defina el ( los ) divisor ( es ) de Weil en X por analogía con el divisor de una función racional. A continuación, la primera clase de Chern de L puede ser definido para ser el divisor ( s ). Cambio de la sección racional s cambios este divisor por lineal equivalencia, ya que ( fs ) = ( f ) + ( s ) para una función diferente de cero racional f y una sección diferente de cero racional s de L . Entonces, el elemento c 1 ( L ) en Cl ( X ) está bien definido.
Para una variedad compleja X de dimensión n , no necesariamente suave o adecuada sobre C , existe un homomorfismo natural, el mapa de ciclo , desde el grupo de clase divisor hasta la homología de Borel-Moore :
Este último grupo se define utilizando el espacio X ( C ) de puntos complejos de X , con su topología clásica (euclidiana). Asimismo, el grupo Picard se mapea a la cohomología integral , por la primera clase Chern en el sentido topológico:
Los dos homomorfismos están relacionados por un diagrama conmutativo , donde el mapa vertical de la derecha es el producto cap con la clase fundamental de X en la homología de Borel-Moore:
For X smooth over C, both vertical maps are isomorphisms.
Secciones globales de paquetes de líneas y sistemas lineales
A Cartier divisor is effective if its local defining functions fi are regular (not just rational functions). In that case, the Cartier divisor can be identified with a closed subscheme of codimension 1 in X, the subscheme defined locally by fi = 0. A Cartier divisor D is linearly equivalent to an effective divisor if and only if its associated line bundle O(D) has a nonzero global section s; then D is linearly equivalent to the zero locus of s.
Let X be a projective variety over a field k. Then multiplying a global section of O(D) by a nonzero scalar in k does not change its zero locus. As a result, the projective space of lines in the k-vector space of global sections H0(X, O(D)) can be identified with the set of effective divisors linearly equivalent to D, called the complete linear system of D. A projective linear subspace of this projective space is called a linear system of divisors.
One reason to study the space of global sections of a line bundle is to understand the possible maps from a given variety to projective space. This is essential for the classification of algebraic varieties. Explicitly, a morphism from a variety X to projective space Pn over a field k determines a line bundle L on X, the pullback of the standard line bundle O(1) on Pn. Moreover, L comes with n+1 sections whose base locus (the intersection of their zero sets) is empty. Conversely, any line bundle L with n+1 global sections whose common base locus is empty determines a morphism X → Pn.[16] These observations lead to several notions of positivity for Cartier divisors (or line bundles), such as ample divisors and nef divisors.[17]
For a divisor D on a projective variety X over a field k, the k-vector space H0(X, O(D)) has finite dimension. The Riemann–Roch theorem is a fundamental tool for computing the dimension of this vector space when X is a projective curve. Successive generalizations, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem and the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, give some information about the dimension of H0(X, O(D)) for a projective variety X of any dimension over a field.
Because the canonical divisor is intrinsically associated to a variety, a key role in the classification of varieties is played by the maps to projective space given by KX and its positive multiples. The Kodaira dimension of X is a key birational invariant, measuring the growth of the vector spaces H0(X, mKX) (meaning H0(X, O(mKX))) as m increases. The Kodaira dimension divides all n-dimensional varieties into n+2 classes, which (very roughly) go from positive curvature to negative curvature.
Divisores "Q"
Let X be a normal variety. A (Weil) Q-divisor is a finite formal linear combination of irreducible codimension-1 subvarieties of X with rational coefficients. (An R-divisor is defined similarly.) A Q-divisor is effective if the coefficients are nonnegative. A Q-divisor D is Q-Cartier if mD is a Cartier divisor for some positive integer m. If X is smooth, then every Q-divisor is Q-Cartier.
If
is a Q-divisor, then its round-down is the divisor
where is the greatest integer less than or equal to a. The sheaf is then defined to be
El teorema del hiperplano de Grothendieck-Lefschetz
The Lefschetz hyperplane theorem implies that for a smooth complex projective variety X of dimension at least 4 and a smooth ample divisor Y in X, the restriction Pic(X) → Pic(Y) is an isomorphism. For example, if Y is a smooth complete intersection variety of dimension at least 3 in complex projective space, then the Picard group of Y is isomorphic to Z, generated by the restriction of the line bundle O(1) on projective space.
Grothendieck generalized Lefschetz's theorem in several directions, involving arbitrary base fields, singular varieties, and results on local rings rather than projective varieties. In particular, if R is a complete intersection local ring which is factorial in codimension at most 3 (for example, if the non-regular locus of R has codimension at least 4), then R is a unique factorization domain (and hence every Weil divisor on Spec(R) is Cartier).[18] The dimension bound here is optimal, as shown by the example of the 3-dimensional quadric cone, above.
Notas
- ^ Dieudonné (1985), section VI.6.
- ^ Stacks Project, Tag 00PF.
- ^ Stacks Project, Tag 02MC.
- ^ Stacks Project, Tag 02MD.
- ^ a b Kollár (2013), Notation 1.2.
- ^ Hartshorne (1977), Proposition II.6.5.
- ^ a b Hartshorne (1977), Proposition II.6.2.
- ^ Stacks Project, Tag 02RS.
- ^ Kleiman (2005), Theorems 2.5 and 5.4, Remark 6.19.
- ^ Hartshorne (1977), Example II.6.5.2.
- ^ Hartshorne(1977), Exercise II.6.5.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Part 4, Proposition 21.3.4, Corollaire 21.3.5.
- ^ Lazarsfeld (2004), Example 1.1.6.
- ^ Stacks Project, Tag 0AFW.
- ^ For a variety X over a field, the Chern classes of any vector bundle on X act by cap product on the Chow groups of X, and the homomorphism here can be described as L ↦ c1(L) ∩ [X].
- ^ Hartshorne (1977), Theorem II.7.1.
- ^ Lazarsfeld (2004), Chapter 1.
- ^ Grothendieck, SGA 2, Corollaire XI.3.14.
Referencias
- Dieudonné, Jean (1985), History of Algebraic Geometry, Wadsworth Mathematics Series, translated by Judith D. Sally, Belmont, CA: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2, MR 0780183
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
- Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), Documents Mathématiques, 4, Paris: Société Mathématique de France, arXiv:math/0511279, Bibcode:2005math.....11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, MR 2171939
- Section II.6 of Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
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- Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
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enlaces externos
- The Stacks Project Authors, The Stacks Project