Estadísticas de Fermi – Dirac

Statistical description for the behavior of fermions

Mecánica estadística
Termodinámica Teoría cinética
Estadísticas de partículas Teorema de estadística de espín Partículas idénticas Maxwell – Boltzmann Bose-Einstein Fermi – Dirac Paraestadísticas Estadísticas de Anyonic Estadísticas de trenza
Conjuntos termodinámicos NVE microcanónico NVT Canonical µVT Gran canónico NPH isoentálpico-isobárico NPT isotermo-isobárico
Modelos Debye Einstein Yo canto Potts
Potenciales Energía interna Entalpía Energía libre de Helmholtz Energía libre de Gibbs Gran potencial / energía libre de Landau
Científicos Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
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La estadística de Fermi-Dirac es un tipo de estadística cuántica que se aplica a la física de un sistema que consta de muchas partículas idénticas que obedecen al principio de exclusión de Pauli . Un resultado es la distribución de partículas de Fermi-Dirac sobre estados de energía . Lleva el nombre de Enrico Fermi y Paul Dirac , cada uno de los cuales derivó la distribución de forma independiente en 1926 (aunque Fermi la derivó antes que Dirac). ^{[1] [2]} La estadística de Fermi-Dirac es parte del campo de la mecánica estadística y utiliza los principios de la mecánica cuántica .

La estadística de Fermi – Dirac (F – D) se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín medio entero (1/2, 3/2, etc.), llamadas fermiones , en equilibrio termodinámico . Para el caso de una interacción insignificante entre partículas, el sistema se puede describir en términos de estados de energía de una sola partícula . Un resultado es la distribución F – D de partículas en estos estados donde no hay dos partículas que puedan ocupar el mismo estado, lo que tiene un efecto considerable en las propiedades del sistema. La estadística F – D se aplica más comúnmente a los electrones , un tipo de fermión con espín 1/2 .

Una contraparte de las estadísticas F – D son las estadísticas Bose – Einstein (B – E) , que se aplican a partículas idénticas e indistinguibles con espín entero (0, 1, 2, etc.) llamadas bosones . En física clásica, la estadística de Maxwell – Boltzmann (M – B) se usa para describir partículas que son idénticas y tratadas como distinguibles. Para las estadísticas B – E y M – B, más de una partícula puede ocupar el mismo estado, a diferencia de las estadísticas F – D.

Historia

Antes de la introducción de las estadísticas de Fermi-Dirac en 1926, era difícil comprender algunos aspectos del comportamiento de los electrones debido a fenómenos aparentemente contradictorios. Por ejemplo, la capacidad calorífica electrónica de un metal a temperatura ambiente parecía provenir de 100 veces menos electrones que en la corriente eléctrica . ^[3] También fue difícil entender por qué las corrientes de emisión generadas al aplicar campos eléctricos elevados a los metales a temperatura ambiente eran casi independientes de la temperatura.

La dificultad que encontró el modelo Drude , la teoría electrónica de los metales en ese momento, se debió a considerar que los electrones eran (según la teoría clásica de la estadística) todos equivalentes. En otras palabras, se creía que cada electrón contribuido a la calor específico una cantidad del orden de la constante de Boltzmann  k _B . Este problema permaneció sin resolver hasta el desarrollo de las estadísticas de F – D.

Las estadísticas de F – D fueron publicadas por primera vez en 1926 por Enrico Fermi ^[1] y Paul Dirac . ^[2] Según Max Born , Pascual Jordan desarrolló en 1925 las mismas estadísticas, a las que llamó estadísticas de Pauli , pero no se publicó de manera oportuna. ^{[4] [5] [6]} Según Dirac, fue estudiado por primera vez por Fermi, y Dirac lo llamó "estadísticas de Fermi" y las partículas correspondientes "fermiones". ^[7]

Las estadísticas de F – D fueron aplicadas en 1926 por Ralph Fowler para describir el colapso de una estrella en una enana blanca . ^[8] En 1927 Arnold Sommerfeld lo aplicó a electrones en metales y desarrolló el modelo de electrones libres , ^[9] y en 1928 Fowler y Lothar Nordheim lo aplicaron a la emisión de electrones de campo de metales. ^[10] Las estadísticas de Fermi-Dirac siguen siendo una parte importante de la física.

Distribución de Fermi – Dirac

Para un sistema de fermiones idénticos en equilibrio termodinámico, el número promedio de fermiones en un estado de una sola partícula i viene dado por una función logística , o función sigmoidea : la distribución de Fermi – Dirac (F – D) , ^[11] que es una caso especial de la integral de Fermi-Dirac completa ,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , T es la temperatura absoluta , ε _i es la energía del estado de una sola partícula i , y μ es el potencial químico total .

La varianza de esta distribución se calcula directamente a partir de la expresión anterior para el número promedio. ^[12]${\displaystyle V(n)}$

${\displaystyle V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle =\langle n\rangle (1-\langle n\rangle )={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}.}$

A temperatura absoluta cero, μ es igual a la energía de Fermi más la energía potencial por fermión, siempre que se encuentre en un entorno de densidad espectral positiva. En el caso de una brecha espectral, como para los electrones en un semiconductor, μ , el punto de simetría, se denomina típicamente nivel de Fermi o, para los electrones , potencial electroquímico , y se ubicará en el medio de la brecha. ^{[13] [14]}

La distribución F – D solo es válida si el número de fermiones en el sistema es lo suficientemente grande como para que la adición de un fermión más al sistema tenga un efecto insignificante en μ . ^[15] Dado que la distribución F – D se derivó utilizando el principio de exclusión de Pauli , que permite que como máximo un fermión ocupe cada estado posible, el resultado es ese . ^{[nb 1]}${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$

• Distribución de Fermi – Dirac
• Dependencia energética. Más gradual a mayor T . cuando . No se muestra que disminuye para una T más alta . ^[dieciséis]${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$${\displaystyle \varepsilon =\mu }$${\displaystyle \mu }$

• Dependencia de la temperatura para .${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

Distribución de partículas sobre energía

Función Fermi con μ = 0,55 eV para varias temperaturas en el rango de 50 K ≤ T ≤ 375 K${\displaystyle F(\varepsilon )}$

La distribución de Fermi-Dirac anterior da la distribución de fermiones idénticos en estados de energía de una sola partícula, donde no más de un fermión puede ocupar un estado. Usando la distribución F – D, se puede encontrar la distribución de fermiones idénticos sobre la energía, donde más de un fermión puede tener la misma energía. ^{[nb 2]}

El número medio de fermiones con energía se puede encontrar multiplicando la distribución F – D por la degeneración (es decir, el número de estados con energía ), ^{[17] [nb 3]}${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

Cuándo , es posible que , ya que hay más de un estado que puede ser ocupado por fermiones con la misma energía .${\displaystyle g_{i}\geq 2}$${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Cuando un cuasi-continuo de energías tiene una densidad de estados asociada (es decir, el número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen ^[18] ), el número promedio de fermiones por unidad de rango de energía por unidad de volumen es${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

donde se llama función de Fermi y es la misma función que se utiliza para la distribución F – D , ^[19]${\displaystyle F(\varepsilon )}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

así que eso

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Regímenes cuánticos y clásicos

La distribución de Fermi-Dirac se aproxima a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de suposiciones ad hoc:

• En el límite de baja densidad de partículas , por lo tanto o de manera equivalente . En ese caso, que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo tanto, la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es nuevamente muy pequeña . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

El régimen clásico, donde las estadísticas de Maxwell-Boltzmann pueden usarse como una aproximación a las estadísticas de Fermi-Dirac, se encuentra considerando la situación que está lejos del límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento de una partícula . Por ejemplo, en física de semiconductores, cuando la densidad de estados de la banda de conducción es mucho mayor que la concentración de dopaje, la brecha de energía entre la banda de conducción y el nivel de fermi podría calcularse utilizando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. De lo contrario, si la concentración de dopaje no es despreciable en comparación con la densidad de estados de la banda de conducción, se debe utilizar la distribución F – D para un cálculo preciso. Entonces se puede demostrar que la situación clásica prevalece cuando elLa concentración de partículas corresponde a una separación media entre partículas que es mucho mayor que la longitud de onda media de De Broglie de las partículas: ^[20]${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

donde h es la constante de Planck y m es la masa de una partícula .

Para el caso de electrones de conducción en un metal típico a T = 300  K (es decir, aproximadamente a temperatura ambiente), el sistema está lejos del régimen clásico porque . Esto se debe a la pequeña masa del electrón y la alta concentración (es decir, pequeña ) de electrones de conducción en el metal. Por tanto, la estadística de Fermi-Dirac es necesaria para los electrones de conducción en un metal típico. ^[20]${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

Otro ejemplo de un sistema que no está en el régimen clásico es el sistema que consiste en los electrones de una estrella que se ha colapsado en una enana blanca. Aunque la temperatura de la enana blanca es alta (típicamente T =10 000  K en su superficie ^[21] ), su alta concentración de electrones y la pequeña masa de cada electrón impiden el uso de una aproximación clásica, y nuevamente se requiere la estadística de Fermi-Dirac. ^[8]

Derivaciones

Gran conjunto canónico

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica sólo a un sistema cuántico de fermiones que no interactúan, se deriva fácilmente del gran conjunto canónico . ^[22] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijado por el reservorio).

Debido a la calidad de no interactuar, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. En otras palabras, cada nivel de una sola partícula es un pequeño gran conjunto canónico separado. Según el principio de exclusión de Pauli, solo hay dos microestados posibles para el nivel de una sola partícula: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε ). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de una sola partícula tiene solo dos términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

y el número medio de partículas para ese subestado de nivel de una sola partícula viene dado por

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Este resultado se aplica a cada nivel de una sola partícula y, por lo tanto, da la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema. ^[22]

La variación en el número de partículas (debido a fluctuaciones térmicas ) también se puede derivar (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Esta cantidad es importante en fenómenos de transporte como las relaciones de Mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico para un gas de electrones, ^[23] donde la capacidad de un nivel de energía para contribuir a los fenómenos de transporte es proporcional a .${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

Conjunto canónico

También es posible derivar estadísticas de Fermi – Dirac en el conjunto canónico . Considere un sistema de muchas partículas compuesto por N fermiones idénticos que tienen una interacción mutua insignificante y están en equilibrio térmico. ^[15] Dado que existe una interacción insignificante entre los fermiones, la energía de un estado del sistema de muchas partículas se puede expresar como una suma de energías de una sola partícula,${\displaystyle E_{R}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}\;}$

donde se llama número de ocupación y es el número de partículas en el estado de una sola partícula con energía . La suma es sobre todos los posibles estados de una sola partícula .${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon _{r}\;}$${\displaystyle r}$

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado , viene dada por la distribución canónica normalizada , ^[24]${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

donde , e se llama factor de Boltzmann , y la suma es sobre todos los estados posibles del sistema de muchas partículas. El valor medio de un número de ocupación es ^[24].${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$}${\displaystyle R'}$${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Tenga en cuenta que el estado del sistema de muchas partículas se puede especificar mediante la ocupación de partículas de los estados de una sola partícula, es decir, especificando de manera que${\displaystyle R}$${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

y la ecuación para se convierte en${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

donde la suma es sobre todas las combinaciones de valores   que obedecen al principio de exclusión de Pauli, y = 0 o 1 para cada uno . Además, cada combinación de valores de satisface la restricción de que el número total de partículas es ,${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.\;}$

Reorganizando las sumas,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

donde   en el signo de suma indica que la suma no ha terminado y está sujeta a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma es  . Tenga en cuenta que todavía depende de through la restricción, ya que en un caso y se evalúa con mientras que en el otro caso y se evalúa con  Para simplificar la notación e indicar claramente que aún depende de through  , defina${\displaystyle ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N,}$${\displaystyle n_{i}=1}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N-1.}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

de modo que la expresión anterior para se pueda reescribir y evaluar en términos de ,${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

La siguiente aproximación ^[25] se utilizará para encontrar una expresión para sustituir .${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

donde      ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Si el número de partículas es lo suficientemente grande como para que el cambio en el potencial químico sea ​​muy pequeño cuando se agrega una partícula al sistema, entonces ^[26]   Tomando la base e antilog ^[27] de ambos lados, sustituyendo y reordenando,${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu \;}$${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.\,}$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación para , y el uso de una definición anterior de a sustituto para , los resultados en la distribución de Fermi-Dirac.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle \beta \;}$${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein, la distribución de Fermi-Dirac también puede derivarse mediante el método de Darwin-Fowler de valores medios (véase Müller-Kirsten ^[28] ).

Conjunto microcanónico

Se puede lograr un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y utilizando multiplicadores de Lagrange . ^[29]

Suponga que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i , cada nivel tiene energía ε _i   y contiene un total de n _i   partículas. Suponga que cada nivel contiene g _i   subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes (es decir, sus momentos pueden estar en direcciones diferentes), en cuyo caso se pueden distinguir entre sí, pero aún pueden tener la misma energía. El valor de g _i   asociado con el nivel i se denomina "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar dicho subnivel.

El número de formas de distribuir n _i partículas indistinguibles entre los g _i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial , utilizando su interpretación combinatoria

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Por ejemplo, la distribución de dos partículas en tres subniveles dará un número de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas, lo que equivale a 3! / (2! 1!).

El número de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n _i es el producto de las formas en que se puede poblar cada nivel de energía individual:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto de n _i para el cual W está maximizado, sujeto a la restricción de que haya un número fijo de partículas y una energía fija. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange que forman la función:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales, tomando la derivada con respecto a n _i , estableciendo el resultado en cero y despejando n _{i, se} obtienen los números de población de Fermi – Dirac:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

Mediante un proceso similar al delineado en el artículo estadístico de Maxwell-Boltzmann , se puede demostrar termodinámicamente que y , de modo que finalmente, la probabilidad de que un estado esté ocupado es:${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la distribución de Fermi-Dirac .

• Gran conjunto canónico
• principio de exclusión de Pauli
• Integral completa de Fermi-Dirac
• Nivel de Fermi
• Fermi gas
• Estadísticas de Maxwell – Boltzmann
• Estadísticas de Bose-Einstein
• Paraestadísticas
• Función logística

Notas

1. Tenga en cuenta quetambién es la probabilidad de que el estadoesté ocupado, ya que no más de un fermión puede ocupar el mismo estado al mismo tiempo y.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$
2. Estas distribuciones sobre energías, en lugar de estados, a veces también se denominan distribución de Fermi-Dirac, pero esa terminología no se utilizará en este artículo.
3. Tenga en cuenta que en la ecuación. (1),ycorresponden respectivamente ayen este artículo. Consulte también la ecuación. (32) en la pág. 339.${\displaystyle n(\varepsilon )}$${\displaystyle n_{s}}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})}$

Referencias

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9. Sommerfeld, Arnold (14 de octubre de 1927). "Zur Elektronentheorie der Metalle" [Sobre la teoría electrónica de los metales]. Naturwissenschaften (en alemán). 15 (41): 824–32. Código Bibliográfico : 1927NW ..... 15..825S . doi : 10.1007 / BF01505083 . S2CID 39403393 . 
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24. ( Reif 1965 , págs. 203–6)
25. Ver, por ejemplo, Derivada - Definición a través de cocientes de diferencia , que da la aproximación f (a + h) ≈ f (a) + f '(a) h .
26. ( Reif 1965 , págs. 341-2) Ver Eq. 9.3.17 y Observación sobre la validez de la aproximación .
27. Por definición, la base e antilogaritmo de A es E ^A .
28. HJW Müller-Kirsten, Fundamentos de la física estadística, 2do. ed., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
29. ( Blakemore 2002 , págs. 343–5)

Otras lecturas

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• Blakemore, JS (2002). Estadísticas de semiconductores . Dover. ISBN 978-0-486-49502-6.
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