Differintegral

La "integración fraccionada" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con la media móvil autorregresiva fraccionalmente integrada .

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En cálculo fraccional , un área de análisis matemático , el diferencial integral es un operador combinado de diferenciación / integración . Aplicado a una función f , el q -differintegral de f , aquí denotado por

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

es la derivada fraccionaria (si q > 0) o la integral fraccionaria (si q <0). Si q = 0, entonces la q -ésima diferencia integral de una función es la función misma. En el contexto de la integración y la diferenciación fraccionarias, existen varias definiciones legítimas de la diferencia integral.

Definiciones estándar

Las cuatro formas más comunes son:

• La diferencia de Riemann-Liouville
  Este es el más simple y fácil de usar y, por lo tanto, es el más utilizado. Es una generalización de la fórmula de Cauchy para la integración repetida en un orden arbitrario. Aquí, .${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$$
• La diferencia entre Grunwald y Letnikov
  La diferencia integral de Grunwald-Letnikov es una generalización directa de la definición de derivada . Es más difícil de usar que la diferencia integral de Riemann-Liouville, pero a veces se puede usar para resolver problemas que la Riemann-Liouville no puede.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$$
• El Weyl diffintegral
  Esto es formalmente similar a la diferencia integral de Riemann-Liouville, pero se aplica a funciones periódicas , con integral cero durante un período.
• El Caputo difiereintegral
  En oposición a la diferencia integral de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo de una constante es igual a cero. Además, una forma de la transformada de Laplace permite evaluar simplemente las condiciones iniciales calculando derivadas finitas de orden entero en el punto .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$$

Definiciones a través de transformaciones

Recuerde la transformada de Fourier continua , aquí denotada :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$$

Usando la transformada de Fourier continua, en el espacio de Fourier, la diferenciación se transforma en una multiplicación:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$$

Entonces,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$$

que se generaliza a

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$$

Bajo la transformada bilateral de Laplace , aquí denotada y definida como , la diferenciación se transforma en una multiplicación${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$$

Generalizando a un orden arbitrario y despejando D ^q f ( t ), se obtiene

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$$

Propiedades formales básicas

Reglas de linealidad

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$$

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$$

Regla cero

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f}$$

Regla del producto

$${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$$

En general, la composición (o semigrupo ) regla está no satisfecha : ^[1]

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$$

Ver también

• Integrador de orden fraccional

Referencias

1. Ver Kilbas, AA; Srivastava, HM; Trujillo, JJ (2006). "2. Integrales fraccionales y derivadas fraccionales §2.1 Propiedad 2.4" . Teoría y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales fraccionales . Elsevier. pag. 75. ISBN 9780444518323.

• Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). Introducción al cálculo fraccional y ecuaciones diferenciales fraccionales . Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
• Oldham, Keith B .; Spanier, Jerome (1974). El cálculo fraccional; Teoría y aplicaciones de la diferenciación e integración al orden arbitrario . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. V . Prensa académica. ISBN 0-12-525550-0.
• Podlubny, Igor (1998). Ecuaciones diferenciales fraccionales. Introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionales, algunos métodos de su solución y algunas de sus aplicaciones . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. 198 . Prensa académica. ISBN 0-12-558840-2.
• Carpinteri, A .; Mainardi, F., eds. (1998). Fractales y cálculo fraccional en mecánica continua . Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X.
• Mainardi, F. (2010). Cálculo fraccional y ondas en viscoelasticidad lineal: una introducción a los modelos matemáticos . Prensa del Imperial College. ISBN 978-1-84816-329-4. Archivado desde el original el 19 de mayo de 2012.
• Tarasov, VE (2010). Dinámica fraccional: Aplicaciones del cálculo fraccional a la dinámica de partículas, campos y medios . Ciencia física no lineal. Saltador. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Uchaikin, VV (2012). Derivadas fraccionales para físicos e ingenieros . Ciencia física no lineal. Saltador. Bibcode : 2013fdpe.book ..... T . ISBN 978-3-642-33910-3.
• West, Bruce J .; Bolonia, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Física de operadores fractales . Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2.

enlaces externos

• MathWorld - Cálculo fraccional
• MathWorld - Derivada fraccional
• Revista especializada: Cálculo fraccional y análisis aplicado (1998-2014) y cálculo fraccional y análisis aplicado (desde 2015)
• Revista especializada: Ecuaciones diferenciales fraccionales (FDE)
• Revista especializada: Communications in Fractional Calculus ( ISSN 2218-3892 ) 
• Revista especializada: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F .; Hartley, Tom T. (2002). "Cálculo fraccional inicializado" . Tecnología de la información . Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• La colección de Igor Podlubny de libros, artículos, enlaces, software, etc.
• Podlubny, I. (2002). "Interpretación geométrica y física de la integración fraccionada y la diferenciación fraccional" (PDF) . Cálculo fraccional y análisis aplicado . 5 (4): 367–386. arXiv : matemáticas.CA / 0110241 . Bibcode : 2001math ..... 10241P .
• Zavada, P. (1998). "Operador de derivada fraccionaria en el plano complejo". Comunicaciones en Física Matemática . 192 (2): 261-285. arXiv : funct-an / 9608002 . Código Bibliográfico : 1998CMaPh.192..261Z . doi : 10.1007 / s002200050299 .