En matemáticas , la representación de Gelfand en el análisis funcional (llamada así por IM Gelfand ) tiene dos significados relacionados:
- una forma de representar álgebras conmutativas de Banach como álgebras de funciones continuas;
- el hecho de que para álgebras C * conmutativas , esta representación es un isomorfismo isométrico.
En el primer caso, se puede considerar la representación de Gelfand como una generalización de largo alcance de la transformada de Fourier de una función integrable. En el último caso, el teorema de representación de Gelfand-Naimark es una vía en el desarrollo de la teoría espectral para operadores normales y generaliza la noción de diagonalizar una matriz normal .
Observaciones históricas
Una de las aplicaciones originales de Gelfand (y una que históricamente motivó gran parte del estudio de las álgebras de Banach [ cita requerida ] ) fue dar una prueba mucho más breve y conceptual de un célebre lema de Norbert Wiener (ver la cita a continuación), que caracteriza los elementos de las álgebras de grupo L 1 ( R ) y cuyas traducciones abarcan subespacios densos en las respectivas álgebras.
El álgebra de modelos
Para cualquier espacio topológico X de Hausdorff localmente compacto , el espacio C 0 ( X ) de funciones continuas de valores complejos en X que se desvanecen en el infinito es de forma natural un álgebra C * conmutativa:
- La estructura del álgebra sobre los números complejos se obtiene considerando las operaciones puntuales de suma y multiplicación.
- La involución es una conjugación compleja puntual.
- La norma es la norma uniforme sobre funciones.
La importancia de que X sea localmente compacto y de Hausdorff es que esto convierte a X en un espacio completamente regular . En tal espacio, cada subconjunto cerrado de X es el conjunto cero común de una familia de funciones continuas de valores complejos en X , lo que permite recuperar la topología de X a partir de C 0 ( X ).
Obsérvese que C 0 ( X ) es unital si y sólo si X es compacta , en cuyo caso C 0 ( X ) es igual a C ( X ), el álgebra de todas las funciones de valor complejo continuas en X .
Representación de Gelfand de un álgebra de Banach conmutativa
Dejar ser un álgebra de Banach conmutativa , definida sobre el campode números complejos. Un homomorfismo de álgebra distinto de cero (un funcional lineal multiplicativo)se llama un personaje de; el conjunto de todos los personajes de se denota por .
Se puede demostrar que todos los personajes de es automáticamente continuo, y por lo tanto es un subconjunto del espacio de funcionales lineales continuos en ; Además, cuando está equipado con la topología relativa débil- * ,resulta ser localmente compacto y Hausdorff. (Esto se sigue del teorema de Banach-Alaoglu .) El espacioes compacto (en la topología que se acaba de definir) si [ cita requerida ] y solo si el álgebra tiene un elemento de identidad.
Dado , uno define la función por . La definición dey la topología aseguran que es continuo y desaparece en el infinito [ cita requerida ] , y que el mapa define un homomorfismo de álgebra decreciente de normas y preservación de unidades de a . Este homomorfismo es la representación de Gelfand de, y es la transformada Gelfand del elemento. En general, la representación no es inyectiva ni sobreyectiva.
En el caso donde tiene un elemento de identidad, hay una biyección entre y el conjunto de ideales máximos en (esto se basa en el teorema de Gelfand-Mazur ). Como consecuencia, el núcleo de la representación de Gelfandpuede identificarse con el radical Jacobson de. Así, la representación de Gelfand es inyectiva si y sólo sies (Jacobson) semisimple .
Ejemplos de
En el caso donde , el álgebra de grupo de , luego es homeomorfo a y la transformada Gelfand de es la transformada de Fourier .
En el caso donde , la -algebra de convolución de la media línea real, entonces es homeomorfo a , y la transformada Gelfand de un elemento es la transformada de Laplace .
El caso del álgebra C *
Como motivación, considere el caso especial A = C 0 ( X ). Dado x en X , seasea una evaluación puntual en x , es decir. Luegoes un carácter en A , y se puede mostrar que todos los caracteres de A tienen esta forma; un análisis más preciso muestra que podemos identificar Φ A con X , no solo como conjuntos sino como espacios topológicos. La representación de Gelfand es entonces un isomorfismo
El espectro de un álgebra C * conmutativa
El espectro o espacio Gelfand de un C conmutativa * -algebra A , denotado  , consiste en el conjunto de no cero * -homomorphisms de A a los números complejos. Los elementos del espectro se denominan caracteres en una . (Se puede demostrar que todo homomorfismo de álgebra desde A a los números complejos es automáticamente un * -homomorfismo , de modo que esta definición del término 'carácter' concuerda con la anterior).
En particular, el espectro de un álgebra C * conmutativa es un espacio de Hausdorff localmente compacto: en el caso unital, es decir, donde el álgebra C * tiene un elemento de unidad multiplicativa 1, todos los caracteres f deben ser unitales, es decir, f (1) es el complejo número uno. Esto excluye el homomorfismo cero. Por tanto,  está cerrado bajo una convergencia débil * y el espectro es realmente compacto . En el caso no unital, el cierre débil- * de  es  ∪ {0}, donde 0 es el homomorfismo cero, y la eliminación de un solo punto de un espacio de Hausdorff compacto produce un espacio de Hausdorff localmente compacto.
Tenga en cuenta que espectro es una palabra sobrecargada. También se refiere a la σ espectro ( x ) de un elemento x de un álgebra con la unidad 1, que es el conjunto de números complejos r para el cual x - r 1 no es invertible en A . Para unital C * -álgebras, las dos nociones están conectados de la siguiente manera: σ ( x ) es el conjunto de números complejos f ( x ) donde f rangos más espacio Gelfand de A . Junto con la fórmula del radio espectral , esto muestra que  es un subconjunto de la bola unitaria de A * y, como tal, se le puede dar la topología relativamente débil- *. Esta es la topología de la convergencia puntual. Una red { f k } k de elementos del espectro de A converge af si y solo si para cada x en A , la red de números complejos { f k ( x )} k converge af ( x ).
Si A es un C * -álgebra separable , la topología débil- * es metrizable en subconjuntos acotados. Así, el espectro de un C * -álgebra A conmutativa separable se puede considerar como un espacio métrico. Por tanto, la topología se puede caracterizar mediante la convergencia de secuencias.
De manera equivalente, σ ( x ) es el rango de γ ( x ), donde γ es la representación de Gelfand.
Declaración del teorema conmutativo de Gelfand-Naimark
Deje un ser conmutativa C * álgebra y dejar que X sea el espectro de una . Dejar
ser la representación de Gelfand definida anteriormente.
Teorema . El mapa de Gelfand γ es un isomorfismo * isométrico de A sobre C 0 ( X ).
Consulte la referencia de Arveson a continuación.
El espectro de un álgebra C * conmutativa también puede verse como el conjunto de todos los ideales máximos m de A , con la topología del núcleo del casco . (Véanse las observaciones anteriores para el caso de álgebra de Banach conmutativa general.) Para cualquier m, el álgebra del cociente A / m es unidimensional (según el teorema de Gelfand-Mazur) y, por lo tanto, cualquier a en A da lugar a un complejo. función de valor en Y .
En el caso de C * -álgebras con unidad, el mapa espectral da lugar a un functor contravariante de la categoría de C * -álgebras con unidad y unidad-preservando unidades continuas * -homomorfismos, a la categoría de espacios compactos de Hausdorff y mapas continuos. Este funtor es la mitad de una equivalencia contravariante entre estas dos categorías (su adjunto es el funtor que asigna a cada espacio compacto de Hausdorff X el C * -álgebra C 0 ( X )). En particular, dada espacios de Hausdorff compactos X y Y , a continuación, C ( X ) es isomorfo a C ( Y ) (como un C * -algebra) si y sólo si X es homeomorfo a Y .
El teorema "completo" de Gelfand-Naimark es un resultado de C * -álgebras A arbitrarias (abstractas) no conmutativas , que aunque no son muy análogas a la representación de Gelfand, sí proporcionan una representación concreta de A como un álgebra de operadores.
Aplicaciones
Una de las aplicaciones más significativas es la existencia de un cálculo funcional continuo para elementos normales en C * -álgebra A : Un elemento x es normal si y solo si x conmuta con su adjunto x * , o de manera equivalente si y solo si genera un conmutativa C * -álgebra C * ( x ). Por el isomorfismo de Gelfand aplicado a C * ( x ) esto es * -isomorfo a un álgebra de funciones continuas en un espacio localmente compacto. Esta observación conduce casi de inmediato a:
Teorema . Deje A sea un C * álgebra con la identidad y x un elemento de A . Entonces hay un * -morfismo f → f ( x ) del álgebra de funciones continuas en el espectro σ ( x ) en A tal que
- Mapea 1 a la identidad multiplicativa de A ;
- Mapea la función de identidad en el espectro ax .
Esto nos permite aplicar funciones continuas a operadores normales acotados en el espacio de Hilbert.
Referencias
- Arveson, W. (1981). Una invitación a C * -Álgebras . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
- Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Álgebras normativas completas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
- Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
- Wiener, N. (1932). "Teoremas de Tauberian". Ana. de Matemáticas . II. Annals of Mathematics. 33 (1): 1–100. doi : 10.2307 / 1968102 . JSTOR 1968102 .