En probabilidad y estadística , la distribución beta generalizada [1] es una distribución de probabilidad continua con cinco parámetros, que incluyen más de treinta distribuciones con nombre como casos límite o especiales . Se ha utilizado en la modelización de la distribución del ingreso , la rentabilidad de las acciones, así como en el análisis de regresión . La distribución beta generalizada exponencial (EGB) se deriva directamente del GB y generaliza otras distribuciones comunes.
DefiniciónUna variable aleatoria beta generalizada, Y , se define mediante la siguiente función de densidad de probabilidad:
![GB(y;a,b,c,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}(1-(1-c)(y/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(y/b)^{a})^{p+q}}}\quad \quad {\text{ for }}0<y^{a}<{\frac {b^{a}}{1-c}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y cero en caso contrario. Aquí los parámetros satisfacen
y
,
, y
positivo. La función B ( p, q ) es la función beta .
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Árbol de distribución de GB
PropiedadesMomentos
Se puede demostrar que el h- ésimo momento se puede expresar de la siguiente manera:
![\operatorname {E} _{GB}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+h/a,h/a;c\\p+q+h/a;\end{bmatrix}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
denota la serie hipergeométrica (que converge para todo h si c <1, o para todo h / a < q si c = 1).
Distribuciones relacionadasLa beta generalizada abarca muchas distribuciones como casos especiales o limitantes. Estos se muestran en el árbol de distribución de GB que se muestra arriba. A continuación se enumeran sus tres descendientes directos o subfamilias.
Beta generalizada de primer tipo (GB1)
La beta generalizada del primer tipo se define mediante el siguiente pdf:
![GB1(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}(1-(y/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
dónde
,
, y
son positivas. Se verifica fácilmente que
![GB1(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=0,p,q).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los momentos del GB1 vienen dados por
![\operatorname {E} _{GB1}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El GB1 incluye la beta de primer tipo (B1), gamma generalizada (GG) y Pareto como casos especiales:
![B1(y;b,p,q)=GB1(y;a=1,b,p,q),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\to \infty }GB1(y;a,b=q^{1/a}\beta ,p,q),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![PARETO(y;b,p)=GB1(y;a=-1,b,p,q=1).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Beta generalizada de segundo tipo (GB2)
El GB2 está definido por el siguiente pdf:
![GB2(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(y/b)^{a})^{p+q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
y cero en caso contrario. Se puede verificar que
![GB2(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=1,p,q).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los momentos del GB2 vienen dados por
![\operatorname {E} _{GB2}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q-h/a)}{B(p,q)}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El GB2 también se conoce como Beta Prime generalizado (Patil, Boswell, Ratnaparkhi (1984)), [2] el beta transformado (Venter, 1983), [3] el F generalizado (Kalfleisch y Prentice, 1980), [4] y es un caso especial (μ≡0) de la distribución de Feller-Pareto (Arnold, 1983) [5] . El GB2 anida distribuciones comunes como la gamma generalizada (GG), Burr tipo 3, Burr tipo 12 , Dagum , lognormal , Weibull , gamma , Lomax , estadística F , Fisk o Rayleigh , chi-cuadrado , mitad normal , mitad Student. t , exponencial , asimétrico log-Laplace, log-Laplace , función de potencia y log-logistic . [6]
Beta
La distribución beta (B) está definida por: [1]
![B(y;b,c,p,q)={\frac {y^{p-1}(1-(1-c)(y/b))^{q-1}}{b^{p}B(p,q)(1+c(y/b))^{p+q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
y cero en caso contrario. Su relación con el GB se ve a continuación:
![B(y;b,c,p,q)=GB(y;a=1,b,c,p,q).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La familia beta incluye la beta del primer y segundo tipo [7] (B1 y B2, donde el B2 también se conoce como Beta prima ), que corresponden ac = 0 y c = 1, respectivamente.
Gamma generalizada
La distribución gamma generalizada (GG) es un caso límite del GB2. Su PDF está definido por: [8]
![{\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\rightarrow \infty }GB2(y,a,b=q^{1/a}\beta ,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{ap}\Gamma (p)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con el
los momentos dados por
![\operatorname {E} (Y_{GG}^{h})={\frac {\beta ^{h}\Gamma (p+h/a)}{\Gamma (p)}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como se señaló anteriormente, el árbol genealógico de distribución de GB representa visualmente los casos especiales y limitantes (ver McDonald y Xu (1995)).
Pareto
La distribución de Pareto (PA) es el siguiente caso límite de la gamma generalizada:
![{\displaystyle PA(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow -\infty }GG(y;a,\beta ,p=-\theta /a)=\lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }(-\theta /a)\Gamma (-\theta /a)}}\right)=}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
y
de lo contrario.
Energía
La distribución de potencia (P) es el siguiente caso límite de la gamma generalizada:
![{\displaystyle P(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow \infty }GG(y;a=\theta /p,\beta ,p)=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\mid {\frac {\theta }{p}}|y^{\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{\theta }\Gamma (p)}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{p\Gamma (p)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma (p+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma ({\frac {\theta }{a}}+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}={\frac {\theta y^{\theta -1}}{\beta ^{\theta }}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es equivalente a la distribución de la función de potencia para
y
.
Log-Laplace asimétrico
La distribución asimétrica log-Laplace (también conocida como distribución de Pareto doble [9] ) se define por: [10]
![{\displaystyle ALL(y;b,\lambda _{1},\lambda _{2})=\lim _{a\rightarrow \infty }GB2(y;a,b,p=\lambda _{1}/a,q=\lambda _{2}/a)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{y(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{\begin{cases}({\frac {y}{b}})^{\lambda _{1}}&{\mbox{for }}0<y<b\\({\frac {b}{y}})^{\lambda _{2}}&{\mbox{for }}y\geq b\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el
Los momentos están dados por
![{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{ALL}^{h})={\frac {b^{h}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+h)(\lambda _{2}-h)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuándo
, esto es equivalente a la distribución log-Laplace .
Distribución beta generalizada exponencialDejando
, la variable aleatoria
, con re-parametrización, se distribuye como una beta generalizada exponencial (EGB), con el siguiente pdf:
![EGB(z;\delta ,\sigma ,c,p,q)={\frac {e^{p(z-\delta )/\sigma }(1-(1-c)e^{(z-\delta )/\sigma })^{q-1}}{|\sigma |B(p,q)(1+ce^{(z-\delta )/\sigma })^{p+q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
y cero en caso contrario. El EGB incluye generalizaciones de las distribuciones de Gompertz , Gumbell , valor extremo tipo I , logística , Burr-2, exponencial y normal .
Se incluye una figura que muestra la relación entre el EGB y sus casos especiales y limitantes. [11]
La familia de distribuciones EGB
Función generadora de momentos
Usando una notación similar a la anterior, la función generadora de momento del EGB se puede expresar de la siguiente manera:
![M_{EGB}(Z)={\frac {e^{\delta t}B(p+t\sigma ,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+t\sigma ,t\sigma ;c\\p+q+t\sigma ;\end{bmatrix}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Distribución beta generalizada multivarianteUn pdf beta generalizado multivariante amplía las distribuciones univariadas enumeradas anteriormente. Para
variables
, definir
vectores de parámetros por
,
,
, y
donde cada
y
es positivo, y
. El parámetro
se asume que es positivo, y define la función
=
por
=
.
El pdf de la beta generalizada multivariante (
) puede escribirse de la siguiente manera:
![{\displaystyle MGB(y;a,b,p,q,c)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})(1-\sum _{i=1}^{n}(1-c_{i})({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{q-1}}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)(1+\sum _{i=1}^{n}c_{i}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}+q}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
por
y
Cuándo
=
.
Al igual que la distribución beta generalizada univariada, la beta generalizada multivariante incluye varias distribuciones en su familia como casos especiales. Al imponer ciertas restricciones a los vectores de parámetros, se pueden derivar fácilmente las siguientes distribuciones. [12]
Beta generalizada multivariante de primer tipo (MGB1)
Cuando cada
es igual a 0, la función MGB se simplifica a la beta generalizada multivariante de primer tipo (MGB1), que se define por:
![{\displaystyle MGB1(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})(1-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{q-1}}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
.
Beta generalizada multivariante de segundo tipo (MGB2)
En el caso donde cada
es igual a 1, el MGB se simplifica a la beta generalizada multivariada de segundo tipo (MGB2), con el pdf definido a continuación:
![{\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)(1+\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}+q}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuándo
para todos
.
Gamma generalizada multivariante
El pdf de gamma generalizado multivariado (MGG) se puede derivar del pdf de MGB sustituyendo
=
y tomando el limite como
, con la aproximación de Stirling para la función gamma, obteniendo la siguiente función:
![{\displaystyle MGG(y;a,\beta ,p)=({\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}\beta _{i}^{a_{i}p_{i}})\Gamma (p_{i})}})e^{-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{\beta _{i}}})^{a_{i}}}=\prod _{i=1}^{n}GG(y_{i};a_{i},\beta _{i},p_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es el producto de variables aleatorias gamma generalizadas distribuidas de forma independiente pero no necesariamente idéntica.
Otras distribuciones multivariadas
Se pueden construir archivos PDF similares para otras variables en el árbol genealógico que se muestra arriba, simplemente colocando una M delante de cada nombre de PDF y encontrando los casos especiales y limitantes apropiados del MGB como lo indican las restricciones y límites de la distribución univariante. PDFs multivariados adicionales en la literatura incluyen la distribución de Dirichlet (forma estándar) dada por
, La beta invertida multivariado y invertida Dirichlet (tipo 2 Dirichlet) distribución dada por
, y la distribución de Burr multivariante dada por
.
Funciones de densidad marginal
Las funciones de densidad marginal de MGB1 y MGB2, respectivamente, son las distribuciones beta generalizadas del primer y segundo tipo, y se dan de la siguiente manera:
![{\displaystyle GB1(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}(1-({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}-p_{i}+q-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle GB2(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},q)(1+({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{p_{i}+q}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
AplicacionesLa flexibilidad proporcionada por la familia GB se utiliza para modelar la distribución de:
- Distribución de los ingresos
- funciones de peligro
- rendimientos de las acciones
- pérdidas de seguro
Las solicitudes que involucran a miembros de la familia EGB incluyen: [1] [6]
- estimación parcialmente adaptativa de modelos de regresión
- modelos de series de tiempo
- (G) modelos ARCH
Distribución de los ingresos
El GB2 y varios de sus casos especiales y limitantes se han utilizado ampliamente como modelos para la distribución del ingreso. Para algunos ejemplos tempranos ver Thurow (1970), [13] Dagum (1977), [14] Singh y Maddala (1976), [15] y McDonald (1984). [6] Las estimaciones de máxima verosimilitud utilizando datos individuales, agrupados o codificados en la parte superior se realizan fácilmente con estas distribuciones.
Las medidas de desigualdad, como el índice de Gini (G), el índice de Pietra (P) y el índice de Theil (T) se pueden expresar en términos de los parámetros de distribución, como lo indican McDonald y Ransom (2008): [16]
![{\begin{aligned}G=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-X|)=\left(P{\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }|x-y|f(x)f(y)\,dxdy\\=1-{\frac {\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy}{\int _{0}^{\infty }(1-F(y))\,dy}}\\P=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-\mu |)=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }|y-\mu |f(y)\,dy\\T=\operatorname {E} (\ln(Y/\mu )^{Y/\mu })=\int _{0}^{\infty }(y/\mu )\ln(y/\mu )f(y)\,dy\end{aligned}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Funciones de peligro
La función de peligro , h (s), donde f (s) es una pdf y F (s) la correspondiente CDF, se define por
![h(s)={\frac {f(s)}{1-F(s)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las funciones de peligro son útiles en muchas aplicaciones, como el modelado de la duración del desempleo, el tiempo de falla de los productos o la esperanza de vida. Tomando un ejemplo específico, si s denota la duración de la vida, entonces h (s) es la tasa de muerte a la edad s, dado que un individuo ha vivido hasta la edad s. La forma de la función de riesgo para los datos de mortalidad humana podría aparecer de la siguiente manera: mortalidad decreciente en los primeros meses de vida, luego un período de mortalidad relativamente constante y finalmente una probabilidad creciente de muerte a edades más avanzadas.
Los casos especiales de la distribución beta generalizada ofrecen más flexibilidad para modelar la forma de la función de riesgo, que puede requerir formas "∪" o "∩" o líneas estrictamente crecientes (indicadas por I}) o decrecientes (indicadas por D). La gamma generalizada tiene forma de "∪" para a> 1 yp <1 / a, forma de "∩" para a <1 yp> 1 / a, forma de I para a> 1 yp> 1 / ay En forma de D para a <1 yp> 1 / a. [17] Esto se resume en la siguiente figura. [18] [19]
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Posibles formas de función de peligro usando la gamma generalizada
Referencias- ^ a b c McDonald, James B. & Xu, Yexiao J. (1995) "Una generalización de la distribución beta con aplicaciones", Journal of Econometrics , 66 (1-2), 133-152 doi : 10.1016 / 0304-4076 (94) 01612-4
- ^ Patil, GP, Boswell, MT y Ratnaparkhi, MV, Diccionario y bibliografía clasificada de distribuciones estadísticas en la serie de trabajos científicos, editor GP Patil, Casa editorial cooperativa interna, Burtonsville, Maryland, 1984.
- ^ Venter, G., distribuciones beta y gamma transformadas y pérdidas agregadas, Actas de la Sociedad Actuarial de Accidentes, 1983.
- ^ Kalbfleisch, JD y RL Prentice, El análisis estadístico de los datos del tiempo de falla, Nueva York: J. Wiley, 1980
- ^ Arnold, BC, Distribuciones de Pareto, Volumen 5 en Distribuciones estadísticas en la serie de trabajos científicos, Casa editorial cooperativa internacional, Burtonsville, Maryland. 1983.
- ^ a b c McDonald, JB (1984) "Algunas funciones generalizadas para las distribuciones de tamaño de la renta", Econometrica 52, 647–663.
- ^ Stuart, A. y Ord, JK (1987): Teoría avanzada de estadística de Kendall, Nueva York: Oxford University Press.
- ^ Stacy, EW (1962). "Una generalización de la distribución gamma". Annals of Mathematical Statistics 33 (3): 1187-1192. JSTOR 2237889
- ^ Reed, WJ (2001). "Las leyes de Pareto, Zipf y otras leyes de poder". Cartas económicas 74: 15-19. doi : 10.1016 / S0165-1765 (01) 00524-9
- ^ Higbee, JD, Jensen, JE y McDonald, JB (2019). "La distribución asimétrica log-Laplace como un caso límite de la distribución beta generalizada". Estadísticas y letras de probabilidad 151: 73-78. doi : 10.1016 / j.spl.2019.03.018
- ^ McDonald, James B. y Kerman, Sean C (2013) "La asimetría-curtosis límites para EGB1, EGB 2 y especiales casos," Próxima
- ^ William M. Cockriel y James B. McDonald (2017): dos familias beta generalizadas multivariadas, Comunicaciones en estadística: teoría y métodos, doi : 10.1080 / 03610926.2017.1400058
- ^ Thurow, LC (1970) "Análisis de la distribución de la renta estadounidense", Documentos y actas, Asociación de economía estadounidense , 60, 261-269
- ^ Dagum, C. (1977) "Un nuevo modelo de distribución de la renta personal: especificación y estimación", Economie Applique'e , 30, 413-437
- ^ Singh, SK y Maddala, GS (1976) "Una función para la distribución del tamaño de los ingresos", Econometrica , 44, 963-970
- ^ McDonald, JB y Ransom, M. (2008) "La distribución beta generalizada como modelo para la distribución de la renta: estimación de medidas relacionadas de desigualdad", Modelado de distribuciones y curvas de Lorenz , "Estudios económicos en desigualdad: exclusión social y Bienestar ", Springer: editor de Nueva York Jacques Silber, 5, 147-166
- ^ Glaser, Ronald E. (1980) "Bañera y caracterizaciones de tasa de fallas relacionadas", Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 75 (371), 667-672 doi : 10.1080 / 01621459.1980.10477530
- ^ McDonald, James B. (1987) "Una metodología general para determinar formas de distribución con aplicaciones en confiabilidad", Journal of Statistical Planning and Inference , 16, 365-376 doi : 10.1016 / 0378-3758 (87) 90089-9
- ^ McDonald, JB y Richards, DO (1987) "Funciones de riesgo y distribuciones Beta generalizadas", Transacciones IEEE sobre confiabilidad , 36, 463-466
Bibliografía- C. Kleiber y S. Kotz (2003) Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencias actuariales . Nueva York: Wiley
- Johnson, NL, S. Kotz y N. Balakrishnan (1994) Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2, Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience.