En el análisis funcional , el teorema de Hille-Yosida caracteriza a los generadores de semigrupos de operadores lineales de un parámetro fuertemente continuos en espacios de Banach . A veces se indica para el caso especial de semigrupos de contracción , y el caso general se denomina teorema de Feller-Miyadera-Phillips (en honor a William Feller , Isao Miyadera y Ralph Phillips). El caso de semigrupo de contracción se usa ampliamente en la teoría de los procesos de Markov . En otros escenarios, el teorema de Lumer-Phillips estrechamente relacionado es a menudo más útil para determinar si un operador dado genera unsemigrupo de contracción fuertemente continua . El teorema lleva el nombre de los matemáticos Einar Hille y Kōsaku Yosida, quienes de forma independiente descubrieron el resultado alrededor de 1948.
Definiciones formales
Si X es un espacio de Banach, un semigrupo de operadores de un parámetro en X es una familia de operadores indexados en los números reales no negativos { T ( t )} t ∈ [0, ∞) tal que
Se dice que el semigrupo es fuertemente continuo , también llamado semigrupo ( C 0 ), si y solo si el mapeo
es continuo para todo x ∈ X , donde [0, ∞) tiene la topología habitual y X tiene la topología normal.
El generador infinitesimal de un semigrupo T de un parámetro es un operador A definido en un subespacio posiblemente propio de X de la siguiente manera:
- El dominio de A es el conjunto de x ∈ X tal que
- tiene un límite cuando h se acerca a 0 por la derecha.
- El valor de A x es el valor del límite anterior. En otras palabras, A x es la derivada a la derecha en 0 de la función
El generador infinitesimal de un semigrupo un parámetro fuertemente continua es un operador lineal cerrado definido en una densa lineal subespacio de X .
El teorema de Hille-Yosida proporciona una condición necesaria y suficiente para que un operador lineal cerrado A en un espacio de Banach sea el generador infinitesimal de un semigrupo de un parámetro fuertemente continuo.
Declaración del teorema
Sea A un operador lineal definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X , ω un número real y M > 0. Entonces A genera un semigrupo T fuertemente continuo que satisfacesi y solo si [1]
- A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
- todo λ > ω real pertenece al conjunto resolutivo de A y para tal λ y para todos los enteros positivos n ,
Teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción
En el caso general, el teorema de Hille-Yosida es principalmente de importancia teórica ya que las estimaciones de las potencias del operador resolutivo que aparecen en el enunciado del teorema generalmente no se pueden verificar en ejemplos concretos. En el caso especial de los semigrupos de contracción ( M = 1 y ω = 0 en el teorema anterior) solo se debe verificar el caso n = 1 y el teorema también adquiere cierta importancia práctica. El enunciado explícito del teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción es:
Deje que A sea un operador lineal definida en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y solo si [2]
- A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
- todo λ real > 0 pertenece al conjunto resolutivo de A y para tal λ ,
Ver también
Notas
Referencias
- Riesz, F .; Sz.-Nagy, B. (1995), Análisis funcional. Reimpresión del original de 1955 , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, ISBN 0-486-66289-6
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Métodos de física matemática moderna. II. Análisis de Fourier, autoadministración. , Prensa académica, ISBN 0125850506
- Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal , Springer
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy , Birkhauser
- Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
- Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II. Segunda edición , John Wiley & Sons, Nueva York
- Vrabie, Ioan I. (2003), C0-semigroups and applications. Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional, 191. , North-Holland Publishing Co., Amsterdam