En matemáticas , el teorema de desaparición de Kodaira es un resultado básico de la teoría de variedades complejas y la geometría algebraica compleja , que describe las condiciones generales bajo las cuales los grupos de cohomología de gavillas con índices q > 0 son automáticamente cero. Las implicaciones para el grupo con índice q = 0 suelen ser que su dimensión - el número de secciones globales independientes - coincide con una característica holomórfica de Euler que se puede calcular utilizando el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .
El caso analítico complejo
El enunciado del resultado de Kunihiko Kodaira es que si M es una variedad compacta de Kähler de dimensión compleja n , L cualquier conjunto de líneas holomórficas en M que sea positivo y K M es el conjunto de líneas canónicas , entonces
para q > 0. Aquírepresenta el producto tensorial de los paquetes de líneas . Mediante la dualidad de Serre se obtiene también la desaparición depara q < n . Hay una generalización, el teorema de desaparición de Kodaira-Nakano , en el que, donde Ω n ( L ) denota el haz de formas holomórficas ( n , 0) en M con valores en L , se reemplaza por Ω r ( L ), el haz de formas holomórficas ( r , 0) con valores en L . Entonces, el grupo de cohomología H q ( M , Ω r ( L )) desaparece siempre que q + r > n .
El caso algebraico
El teorema de desaparición de Kodaira se puede formular dentro del lenguaje de la geometría algebraica sin ninguna referencia a métodos trascendentales como la métrica de Kähler. La positividad del haz de líneas L se traduce en que la gavilla invertible correspondiente es amplia (es decir, algo de poder tensorial da una inserción proyectiva). El teorema de desaparición algebraico de Kodaira-Akizuki-Nakano es el siguiente enunciado:
- Si k es un campo de característica cero, X es un suavizar y proyectiva k - esquema de dimensión d , y L es un amplio gavilla invertible en X , entonces
- donde Ω p denota las gavillas de formas diferenciales relativas (algebraicas) (ver diferencial de Kähler ).
Raynaud (1978) mostró que este resultado no siempre se mantiene en campos de característica p > 0 y, en particular, falla en las superficies de Raynaud . Posteriormente, Lauritzen y Rao (1997) dieron contraejemplos elementales inspirados en espacios homogéneos adecuados con estabilizadores no reducidos.
Sin embargo, hasta 1987, la única prueba conocida en la característica cero se basaba en la prueba analítica compleja y los teoremas de comparación de GAGA . Sin embargo, en 1987 Pierre Deligne y Luc Illusie dieron una prueba puramente algebraica del teorema de la desaparición en ( Deligne & Illusie 1987 ). Su prueba se basa en mostrar que la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología algebraica de Rham degenera en el grado 1. Esto se muestra al levantar un resultado más específico correspondiente de la característica p > 0: el resultado de la característica positiva no se mantiene sin limitaciones pero se puede levantar para proporcionar el resultado completo.
Consecuencias y aplicaciones
Históricamente, el teorema de incrustación de Kodaira se derivó con la ayuda del teorema de desaparición. Con la aplicación de la dualidad de Serre, la desaparición de varios grupos de cohomología de gavillas (generalmente relacionados con el haz de líneas canónicas) de curvas y superficies ayuda con la clasificación de variedades complejas, por ejemplo, la clasificación de Enriques-Kodaira .
Ver también
Referencias
- Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p 2 et décomposition du complexe de de Rham", Inventiones Mathematicae , 89 (2): 247-270, doi : 10.1007 / BF01389078
- Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas de desaparición (PDF) , Seminario del DMV, 20 , Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913
- Phillip Griffiths y Joseph Harris , Principios de geometría algebraica
- Kodaira, Kunihiko (1953), "Sobre un método geométrico diferencial en la teoría de pilas analíticas", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 39 (12): 1268–1273, doi : 10.1073 / pnas.39.12.1268 , PMC 1063947 , PMID 16589409
- Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997), "Contraejemplos elementales de Kodaira que desaparece en la característica principal", Proc. Indio. Acad. Sci - Matemáticas. Sci. , Springer Verlag, 107 : 21–25, doi : 10.1007 / BF02840470
- Raynaud, Michel (1978), "Contre-ejemplo au teorema de desaparición en caractéristique p> 0", CP Ramanujam --- un tributo , Tata Inst. Fondo. Res. Studies in Math., 8 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 273–278, MR 0541027