En matemáticas , un espacio LB , también escrito ( LB ) -espacio , es un espacio vectorial topológico que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contablede espacios Banach . Esto significa quees un límite directo de un sistema directoen la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada es un espacio de Banach.
Si cada uno de los mapas de vinculación es una incrustación de TVSS entonces el LB -espacio se llama una estricta LB -espacio . Esto significa que la topología inducida en por es idéntica a la topología original en [1] Algunos autores (p. Ej., Schaefer) definen el término " LB -espacio" en el sentido de "estricto LB -espacio", por lo que al leer literatura matemática, se recomienda comprobar siempre cómose define el LB -espacio.
Definición
La topología en se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo es un barrio de si y solo si es un barrio absolutamente convexo de en para cada
Propiedades
Un espacio LB estricto es completo , [2] cañón , [2] y bornológico [2] (y por lo tanto ultrabornológico ).
Ejemplos de
Si es un espacio topológico localmente compacto que es contable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos) entonces el espacio de todas las funciones continuas de valores complejos en con soporte compacto es un espacio LB estricto. [3] Para cualquier subconjunto compacto dejar denotar el espacio de Banach de funciones de valores complejos que son compatibles con con la norma uniforme y orden la familia de subconjuntos compactos de por inclusión. [3]
- Topología final en el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita
Dejar
denotar el espacio de secuencias finitas , dondedenota el espacio de todas las secuencias reales . Por cada número natural dejar denotar el espacio euclidiano habitual dotado de la topología euclidiana y dejar denotar la inclusión canónica definida por para que su imagen sea
y consecuentemente,
Dotar el conjunto con la topología final inducido por la familia de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología,se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial secuencial localmente convexo completo de Hausdorff que no es un espacio de Fréchet-Urysohn . La topologia es estrictamente más fino que la topología subespacial inducida en por dónde está dotado de su topología de producto habitual . Dotar la imagencon la topología final inducida por la biyección es decir, está dotado de la topología euclidiana transferida a él desde vía Esta topología en es igual a la topología subespacial inducida en él por Un subconjunto está abierto (resp. cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (resp. cerrado) de La topologia es coherente con la familia de subespacios Esto hace en un espacio LB. En consecuencia, si y es una secuencia en luego en si y solo si existe alguna tal que ambos y están contenidos en y en
A menudo, para cada la inclusión canónica se utiliza para identificar con su imagen en explícitamente, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación,se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada el mapa es la inclusión canónica definida por dónde están ceros finales.
Contraejemplos
Existe un LB-espacio bornológico cuyo fuerte bidual no es bornológico. [4] Existe un espacio LB que no es casi completo . [4]
Ver también
- DF-espacio
- Límite directo
- Topología final: la topología más fina que hace que algunas funciones sean continuas
- Espacio F: espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
- LF-espacio
Citas
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 55-61.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 60-63.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 57-58.
- ↑ a b Khaleelulla , 1982 , págs. 28-63.
Referencias
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