Debido a que un funcional diferenciable es estacionario en sus extremos locales , la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dado algún funcional, se busca la función minimizándolo o maximizándolo. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo , que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local, su derivada es cero.
La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocrona . Este es el problema de determinar una curva en la que una partícula ponderada caerá a un punto fijo en un período de tiempo fijo, independientemente del punto de partida.
Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica de Lagrange . Su correspondencia finalmente condujo al cálculo de variaciones , un término acuñado por el mismo Euler en 1766. [2]
Declaración
Dejar ser un sistema mecánico con grados de libertad. Aquíes el espacio de configuración yel Lagrangiano , es decir, una función suave de valor real tal que y es un -Dimensional "vector de velocidad". (Para aquellos familiarizados con paquetes tangentes ,
Dejar ser el conjunto de caminos lisos para cual y La acción funcional se define a través de
Deseamos encontrar una función que satisface las condiciones de contorno , , y que extremiza el funcional
Asumimos que es dos veces diferenciable de forma continua. [3] Se puede utilizar una suposición más débil, pero la prueba se vuelve más difícil. [ cita requerida ]
Si extremiza el sujeto funcional a las condiciones de contorno, entonces cualquier leve perturbación de que conserva los valores límite debe aumentar (Si es un minimizador) o disminuir (Si es un maximizador).
Dejar ser el resultado de tal perturbación de , dónde es pequeño y es una función diferenciable que satisface . Entonces define
dónde .
Ahora deseamos calcular la derivada total decon respecto a ε .
De la derivada total se sigue que
Entonces
Cuando ε = 0 tenemos g ε = f , F ε = F (x, f (x), f '(x)) y J ε tiene un valor extremo , de modo que
El siguiente paso es usar la integración por partes en el segundo término del integrando, lo que produce
Derivación alternativa de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange
Dado un funcional
en con las condiciones de contorno y , procedemos aproximando la curva extrema mediante una línea poligonal con segmentos y pasando al límite a medida que el número de segmentos crece arbitrariamente.
Dividir el intervalo dentro segmentos iguales con puntos finales y deja . En lugar de una función suave consideramos la línea poligonal con vértices , dónde y . En consecuencia, nuestro funcional se convierte en una función real de variables dadas por
Extremos de esta nueva funcional definida en los puntos discretos corresponden a puntos donde
Al evaluar esta derivada parcial se obtiene
Dividiendo la ecuación anterior por da
y tomando el limite como del lado derecho de esta expresión produce
El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada funcional de lo funcional . Una condición necesaria para que un funcional diferenciable tenga un extremo en alguna función es que su derivada funcional en esa función desaparezca, lo cual es otorgado por la última ecuación.
Ejemplos de
Un ejemplo estándar es encontrar la función de valor real y ( x ) en el intervalo [ a , b ], tal que y ( a ) = c y y ( b ) = d , para lo cual la longitud de la trayectoria a lo largo de la curva trazada por y es lo más corto posible.
siendo la función integrando L ( x , y , y ′) = √ 1 + y ′ ² .
Las derivadas parciales de L son:
Sustituyéndolos en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos
es decir, la función debe tener una primera derivada constante y, por lo tanto, su gráfica es una línea recta .
Generalizaciones
Función única de variable única con derivadas más altas
Los valores estacionarios del funcional
se puede obtener de la ecuación de Euler-Lagrange [4]
en condiciones de contorno fijas para la función en sí, así como para la primera derivados (es decir, para todos ). Los valores de punto final de la derivada más alta permanezca flexible.
Varias funciones de variable única con derivada única
Si el problema implica encontrar varias funciones () de una sola variable independiente () que definen un extremo del funcional
entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son [5]
Función única de varias variables con derivada única
Una generalización multidimensional proviene de considerar una función en n variables. Si es una superficie, entonces
Cuando n = 2 y funcionalSi la energía es funcional , esto conduce al problema de superficie mínima de la película de jabón .
Varias funciones de varias variables con derivada simple
Si hay varias funciones desconocidas por determinar y varias variables tales que
el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange es [4]
Función única de dos variables con derivadas más altas
Si hay una única función desconocida f por determinar que depende de dos variables x 1 y x 2 y si la funcional depende de derivadas superiores de f hasta n -ésimo orden de modo que
entonces la ecuación de Euler-Lagrange es [4]
que se puede representar brevemente como:
donde son índices que abarcan el número de variables, es decir, aquí van de 1 a 2. Aquí la suma sobre el los índices solo han terminado para evitar contar la misma derivada parcial varias veces, por ejemplo aparece solo una vez en la ecuación anterior.
Varias funciones de varias variables con derivadas más altas
Si hay p funciones desconocidas f i por determinar que dependen de m variables x 1 ... x my si la funcional depende de derivadas superiores de f i hasta n -ésimo orden de modo que
dónde son índices que abarcan el número de variables, es decir, van de 1 a m. Entonces la ecuación de Euler-Lagrange es
donde la suma sobre el está evitando contar la misma derivada varias veces, como en el inciso anterior. Esto se puede expresar de forma más compacta como
Generalización a variedades
Dejar ser un colector suave , y dejardenotar el espacio de funciones suaves . Entonces, para funcionales de la forma
dónde es el lagrangiano, el enunciado es equivalente a la afirmación de que, para todos , trivialización de cada marco de coordenadas de un barrio de produce lo siguiente ecuaciones:
Ver también
Mecánica lagrangiana
Mecánica hamiltoniana
Mecánica analítica
Identidad beltrami
Derivado funcional
Notas
^ Fox, Charles (1987). Una introducción al cálculo de variaciones . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-65499-7.
^ Una breve biografía de Lagrange Archivado el 14 de julio de 2007 en la Wayback Machine.
^ Courant y Hilbert , 1953 , p. 184
^ a b cCourant, R ; Hilbert, D (1953). Métodos de Física Matemática . Vol. I (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474. |volume=tiene texto extra ( ayuda )
^Weinstock, R. (1952). Cálculo de variaciones con aplicaciones a la física y la ingeniería . Nueva York: McGraw-Hill.
Referencias
"Ecuaciones de Lagrange (en mecánica)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange" . MathWorld .
"Cálculo de variaciones" . PlanetMath .
Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Cálculo de variaciones . Dover. ISBN 0-486-41448-5.
Roubicek, T .: Cálculo de variaciones . Capítulo 17 en: Herramientas matemáticas para físicos . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , páginas 551-588.