Espacio vectorial topológico localmente convexo
En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios convexos localmente son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normados . Pueden definirse como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera mediante traslaciones de conjuntos convexos , absorbentes y balanceados . Alternativamente, se pueden definir como un espacio vectorial con una familia de seminormas, y una topología se puede definir en términos de esa familia. Aunque, en general, tales espacios no son necesariamente normables , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte como para que se cumpla el teorema de Hahn-Banach , lo que produce una teoría suficientemente rica de funcionales lineales continuos .
Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que son completamente metrizables (con opción de métrica completa). Son generalizaciones de los espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos con respecto a una métrica generada por una norma .
Las topologías metrizables en espacios vectoriales se han estudiado desde su introducción en la tesis doctoral de 1902 de Maurice Fréchet Sur quelques points du calcul fonctionnel (donde se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de un espacio topológico general en 1914, [1] aunque algunos matemáticos usaron implícitamente topologías localmente convexas, hasta 1934 solo John von Neumann parece haber definido explícitamente la topología débil en los espacios de Hilbert y topología de operador fuerte en operadores en espacios de Hilbert. [2] [3]Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (llamado por él espacio convexo ). [4] [5]
Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar al desarrollo y diseminación de espacios general localmente convexos (entre otras nociones y resultados, como redes , la topología del producto y el teorema de Tychonoff ) para ser probado en toda su generalidad, es el Banach-Alaoglu teorema que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables [6] (en cuyo caso la bola unitaria del dual es metrizable ).
Supongamos que es un espacio vectorial sobre un subcampo de los números complejos (normalmente él mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, de manera equivalente, en términos de seminormas.
Un subconjunto en se llama
