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"The Gherkin", [1] 30 St Mary Axe , Londres, terminado en 2003, es un sólido de revolución diseñado paramétricamente .
El templo Kandariya Mahadeva (c. 1030), Khajuraho , India, es un ejemplo de arquitectura religiosa con una estructura similar a un fractal que tiene muchas partes que se asemejan al todo. [2]

Las matemáticas y la arquitectura están relacionadas, ya que, al igual que con otras artes , los arquitectos utilizan las matemáticas por varias razones. Aparte de las matemáticas necesarias al diseñar edificios , los arquitectos utilizan la geometría : para definir la forma espacial de un edificio; desde los pitagóricos del siglo VI a. C. en adelante, para crear formas consideradas armoniosas, y así diseñar los edificios y su entorno de acuerdo con principios matemáticos, estéticos y en ocasiones religiosos; para decorar edificios con objetos matemáticos como teselados; y para cumplir con los objetivos ambientales, como minimizar la velocidad del viento alrededor de las bases de los edificios altos.

En el antiguo Egipto , la antigua Grecia , la India y el mundo islámico , los edificios que incluyen pirámides , templos, mezquitas, palacios y mausoleos se diseñaron con proporciones específicas por razones religiosas. En la arquitectura islámica, las formas geométricas y los patrones geométricos de mosaico se utilizan para decorar edificios, tanto en el interior como en el exterior. Algunos templos hindúes tienen una estructura similar a un fractal donde las partes se asemejan al todo, transmitiendo un mensaje sobre el infinito en la cosmología hindú . En la arquitectura china , el tulou de la provincia de Fujianson estructuras defensivas comunales circulares. En el siglo XXI, la ornamentación matemática se está utilizando nuevamente para cubrir edificios públicos.

En la arquitectura renacentista , la simetría y la proporción fueron enfatizadas deliberadamente por arquitectos como Leon Battista Alberti , Sebastiano Serlio y Andrea Palladio , influenciados por la De architectura de Vitruvio de la antigua Roma y la aritmética de los pitagóricos de la antigua Grecia. A finales del siglo XIX, Vladimir Shukhov en Rusia y Antoni Gaudí en Barcelona fueron pioneros en el uso de estructuras hiperboloides ; en la Sagrada Familia , Gaudí también incorporó paraboloides hiperbólicos , teselados, arcos catenarios , catenoides , helicoides y superficies regladas . En el siglo XX, estilos como la arquitectura moderna y el deconstructivismo exploraron diferentes geometrías para lograr los efectos deseados. Se han aprovechado las superficies mínimas en cubiertas de techos en forma de carpa como en el Aeropuerto Internacional de Denver , mientras que Richard Buckminster Fuller fue pionero en el uso de las fuertes estructuras de capa delgada conocidas como cúpulas geodésicas .

Campos conectados [ editar ]

En el Renacimiento , se esperaba que un arquitecto como Leon Battista Alberti tuviera conocimientos en muchas disciplinas, incluidas la aritmética y la geometría .

Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams , considerando las relaciones entre arquitectura y matemáticas , señalan que los campos como comúnmente se entienden pueden parecer sólo débilmente conectados, ya que la arquitectura es una profesión que se ocupa de la cuestión práctica de hacer edificios, mientras que las matemáticas son las puras. estudio de números y otros objetos abstractos. Pero, argumentan, los dos están fuertemente conectados y lo han estado desde la antigüedad . En la antigua Roma, Vitruvio describió a un arquitecto como un hombre que sabía lo suficiente de una variedad de otras disciplinas, principalmente geometría., para que pueda supervisar a los artesanos expertos en todas las demás áreas necesarias, como albañiles y carpinteros. Lo mismo se aplicó en la Edad Media , donde los graduados aprendieron aritmética , geometría y estética junto con el programa básico de gramática, lógica y retórica (el trivium ) en elegantes salones hechos por maestros constructores que habían guiado a muchos artesanos. Un maestro de obras en la cima de su profesión recibió el título de arquitecto o ingeniero. En el Renacimiento , el quadrivium de aritmética, geometría, música y astronomía se convirtió en un plan de estudios adicional esperado del hombre del Renacimiento como Leon Battista Alberti . De manera similar, en Inglaterra, SirChristopher Wren , conocido hoy como arquitecto, fue en primer lugar un destacado astrónomo. [3]

Williams y Ostwald, que revisan aún más la interacción de las matemáticas y la arquitectura desde 1500 según el enfoque del sociólogo alemán Theodor Adorno , identifican tres tendencias entre los arquitectos, a saber: ser revolucionario , introducir ideas completamente nuevas; reaccionario , incapaz de introducir cambios; o revivalista , en realidad retrocediendo. Argumentan que los arquitectos han evitado buscar inspiración en las matemáticas en tiempos de avivamiento. Esto explicaría por qué en los períodos revivalistas, como el Renacimiento gótico en la Inglaterra del siglo XIX, la arquitectura tenía poca conexión con las matemáticas. Igualmente, señalan que en tiempos reaccionarios como el manierismo italianode aproximadamente 1520 a 1580, o los movimientos barroco y palladiano del siglo XVII , las matemáticas apenas se consultaban. En contraste, los movimientos revolucionarios de principios del siglo XX, como el futurismo y el constructivismo, rechazaron activamente las viejas ideas, abrazaron las matemáticas y condujeron a la arquitectura modernista . También hacia finales del siglo XX, los arquitectos se apoderaron rápidamente de la geometría fractal , al igual que las baldosas aperiódicas , para proporcionar revestimientos interesantes y atractivos para los edificios. [4]

Los arquitectos utilizan las matemáticas por varias razones, dejando de lado el uso necesario de las matemáticas en la ingeniería de edificios . [5] En primer lugar, utilizan la geometría porque define la forma espacial de un edificio. [6] En segundo lugar, utilizan las matemáticas para diseñar formas que se consideran bellas o armoniosas. [7] Desde la época de los pitagóricos con su filosofía religiosa del número, [8] los arquitectos de la antigua Grecia , la antigua Roma , el mundo islámico y el Renacimiento italiano han elegido las proporcionesdel entorno construido - los edificios y sus alrededores diseñados - de acuerdo con principios matemáticos, estéticos y, a veces, religiosos. [9] [10] [11] [12] En tercer lugar, pueden usar objetos matemáticos como teselados para decorar edificios. [13] [14] En cuarto lugar, pueden utilizar las matemáticas en forma de modelos informáticos para cumplir con los objetivos ambientales, como minimizar las corrientes de aire en la base de los edificios altos. [1]

Estética secular [ editar ]

Roma antigua [ editar ]

Plano de una casa griega de Vitruvio

Vitruvio [ editar ]

Más información: Vitruvio , módulo de Vitruvio y De architectura
El interior del Panteón de Giovanni Paolo Panini , 1758

El influyente arquitecto romano antiguo Vitruvio argumentó que el diseño de un edificio como un templo depende de dos cualidades, proporción y simetría . La proporción asegura que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demás. Symmetria en el uso de Vitruvio significa algo más cercano al término inglés modularidad que simetría de espejo , ya que nuevamente se relaciona con el ensamblaje de partes (modulares) en todo el edificio. En su Basílica de Fano , utiliza proporciones de números enteros pequeños, especialmente los números triangulares (1, 3, 6, 10, ...) para proporcionar la estructura en módulos (vitruvianos) . [a]Por lo tanto, el ancho por largo de la Basílica es 1: 2; el pasillo que lo rodea es tan alto como ancho, 1: 1; las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto, 1:10. [9]

Plano de planta del Panteón

Vitruvio nombró tres cualidades requeridas de la arquitectura en su De architectura , c. 15 aC: firmeza, utilidad (o "mercancía" en Henry Wottoninglés del siglo XVI), y delicia. Estos se pueden utilizar como categorías para clasificar las formas en que se utilizan las matemáticas en la arquitectura. La firmeza abarca el uso de las matemáticas para garantizar que un edificio se mantenga en pie, de ahí las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño y para apoyar la construcción, por ejemplo, para garantizar la estabilidad y el rendimiento del modelo. La utilidad se deriva en parte de la aplicación efectiva de las matemáticas, razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseño. El deleite es un atributo del edificio resultante, que resulta de la incorporación de relaciones matemáticas en el edificio; incluye cualidades estéticas, sensuales e intelectuales. [dieciséis]

El Panteón [ editar ]

Artículo principal: Panteón (Roma)

El Panteón de Roma ha sobrevivido intacto, ilustrando la estructura, proporción y decoración romanas clásicas. La estructura principal es una cúpula, el ápice se deja abierto como un óculo circular para dejar entrar la luz; tiene una columnata corta con frontón triangular. La altura del óculo y el diámetro del círculo interior son los mismos, 43,3 metros (142 pies), por lo que todo el interior encajaría exactamente dentro de un cubo, y el interior podría albergar una esfera del mismo diámetro. [17] Estas dimensiones tienen más sentido cuando se expresan en unidades de medida romanas antiguas : la cúpula se extiende 150 pies romanos [b] ); el óculo tiene 30 pies romanos de diámetro; la entrada tiene 40 pies romanos de altura. [18]El Panteón sigue siendo la cúpula de hormigón no reforzado más grande del mundo. [19]

Renacimiento [ editar ]

Más información: arquitectura renacentista
Fachada de Santa Maria Novella , Florencia , 1470. El friso (con cuadrados) y arriba es de Leon Battista Alberti .

El primer tratado renacentista de arquitectura fue De re aedificatoria (Sobre el arte de la construcción), de Leon Battista Alberti, en 1450 ; se convirtió en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485. Se basó en parte en De architectura de Vitruvio y, a través de Nicomachus, en la aritmética pitagórica. Alberti comienza con un cubo y deriva proporciones de él. Así, la diagonal de una cara da la razón 1: √ 2 , mientras que el diámetro de la esfera que circunscribe el cubo da 1: √ 3 . [20] [21] Alberti también documentó el descubrimiento de la perspectiva lineal por Filippo Brunelleschi ., desarrollado para permitir el diseño de edificios que se verían bellamente proporcionados cuando se veían desde una distancia conveniente. [12]

Perspectiva arquitectónica de una escenografía de Sebastiano Serlio , 1569 [22]

El siguiente texto importante fue la Regole generali d'architettura (Reglas generales de arquitectura) de Sebastiano Serlio ; el primer volumen apareció en Venecia en 1537; el volumen de 1545 (libros 1 y 2) cubría la geometría y la perspectiva . Dos de los métodos de Serlio para construir perspectivas estaban equivocados, pero esto no impidió que su trabajo fuera ampliamente utilizado. [23] 

Plano de Andrea Palladio y elevación de la Villa Pisani

En 1570, Andrea Palladio publicó el influyente I quattro libri dell'architettura (Los cuatro libros de arquitectura) en Venecia . Este libro ampliamente impreso fue en gran parte responsable de difundir las ideas del Renacimiento italiano en toda Europa, con la ayuda de proponentes como el diplomático inglés Henry Wotton con su 1624 The Elements of Architecture . [24]Las proporciones de cada habitación dentro de la villa se calcularon en proporciones matemáticas simples como 3: 4 y 4: 5, y las diferentes habitaciones dentro de la casa estaban interrelacionadas por estas proporciones. Los arquitectos anteriores habían utilizado estas fórmulas para equilibrar una sola fachada simétrica; sin embargo, los diseños de Palladio se relacionaban con toda la villa, generalmente cuadrada. [25] Palladio permitió un rango de proporciones en el Quattro libri , indicando: [26] [27]

Hay siete tipos de habitaciones que son las más bonitas y bien proporcionadas y resultan mejor: se pueden hacer circulares, aunque son raras; o cuadrado; o su longitud será igual a la diagonal del cuadrado de la anchura; o un cuadrado y un tercero; o un cuadrado y medio; o un cuadrado y dos tercios; o dos cuadrados. [C]

En 1615, Vincenzo Scamozzi publicó el tratado del Renacimiento tardío L'idea dell'architettura universale (La idea de una arquitectura universal). [28] Intentó relacionar el diseño de ciudades y edificios con las ideas de Vitruvio y los pitagóricos, y con las ideas más recientes de Palladio. [29]

Siglo XIX [ editar ]

Faro de celosía hiperboloide de Vladimir Shukhov , Ucrania , 1911

Vladimir Shukhov utilizó estructuras hiperboloides a partir de finales del siglo XIX para mástiles, faros y torres de refrigeración. Su llamativa forma es a la vez estéticamente interesante y fuerte, utilizando materiales estructurales de forma económica. La primera torre hiperboloidal de Shújov se exhibió en Nizhny Novgorod en 1896. [30] [31] [32]

Siglo XX [ editar ]

Más información: Arquitectura moderna y arquitectura contemporánea
Los planos deslizantes e intersectantes de De Stijl : la casa Rietveld Schröder , 1924

El movimiento de principios del siglo XX La arquitectura moderna , iniciada [d] por el constructivismo ruso , [33] utilizó geometría euclidiana rectilínea (también llamada cartesiana ). En el movimiento de De Stijl , lo horizontal y lo vertical se consideraban constitutivos de lo universal. La forma arquitectónica consiste en unir estas dos tendencias direccionales, utilizando planos de techo, planos de pared y balcones, que se deslizan o se cruzan, como en la Casa Rietveld Schröder de 1924 de Gerrit Rietveld . [34]

Imagen de amapola y pimentero ( biomiméticos ) de Raoul Heinrich Francé de Die Pflanze als Erfinder , 1920

Los arquitectos modernistas tenían libertad para hacer uso de curvas y planos. La estación Arnos de Charles Holden en 1933 tiene una taquilla circular de ladrillo con un techo plano de hormigón. [35] En 1938, el pintor de la Bauhaus László Moholy-Nagy adoptó los siete elementos biotecnológicos de Raoul Heinrich Francé , a saber, el cristal, la esfera, el cono, el plano, la tira (cuboidal), la varilla (cilíndrica) y la espiral, como los supuestos bloques de construcción básicos de la arquitectura inspirada en la naturaleza. [36] [37]

Le Corbusier propuso una escala antropométrica de proporciones en arquitectura, el Modulor , basada en la supuesta altura de un hombre. [38] La Chapelle Notre-Dame du Haut de Le Corbusier de 1955 utiliza curvas de forma libre que no se pueden describir en fórmulas matemáticas. [e] Se dice que las formas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oración. [41] El diseño es solo a la escala más grande: no hay jerarquía de detalles a escalas más pequeñas y, por lo tanto, no hay dimensión fractal; Lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX, como la Ópera de Sídney , el Aeropuerto Internacional de Denver.y el Museo Guggenheim de Bilbao . [39]

La arquitectura contemporánea , en opinión de los 90 arquitectos líderes que respondieron a una Encuesta Mundial de Arquitectura de 2010 , es extremadamente diversa; se consideró que el mejor era el Museo Guggenheim de Bilbao de Frank Gehry . [42]

Las superficies mínimas de la capota de lona del aeropuerto internacional de Denver , terminado en 1995, de evocar Colorado 's montañas nevadas y los tipi tiendas de campaña de los nativos americanos .

El edificio de la terminal del Aeropuerto Internacional de Denver, terminado en 1995, tiene un techo de tela sostenido como una superficie mínima (es decir, su curvatura media es cero) por cables de acero. Evoca las montañas nevadas de Colorado y las tiendas de campaña tipi de los nativos americanos . [43] [44]

El arquitecto Richard Buckminster Fuller es famoso por diseñar fuertes estructuras de capa delgada conocidas como domos geodésicos . La cúpula de Montréal Biosphère tiene 61 metros (200 pies) de altura; su diámetro es de 76 metros (249 pies). [45]

Sydney Opera House tiene un techo espectacular que consta de elevadas bóvedas blancas, que recuerdan a las velas de los barcos; Para que sea posible construirlas con componentes estandarizados, las bóvedas están compuestas por secciones triangulares de conchas esféricas con el mismo radio. Estos tienen la curvatura uniforme requerida en todas las direcciones. [46]

El movimiento deconstructivismo de finales del siglo XX crea un desorden deliberado con lo que Nikos Salingaros en A Theory of Architecture llama formas aleatorias [47] de alta complejidad [48] mediante el uso de paredes no paralelas, rejillas superpuestas y superficies complejas en 2-D, como en Frank Gehry Sala de Conciertos Disney y Museo Guggenheim, Bilbao. [49] [50] Hasta el siglo XX, los estudiantes de arquitectura estaban obligados a tener una base en matemáticas. Salingaros sostiene que el primer modernismo "excesivamente simplista y políticamente impulsado"y luego el deconstructivismo "anticientífico" ha separado efectivamente la arquitectura de las matemáticas. Él cree que esta "inversión de los valores matemáticos" es dañina, ya que la "estética generalizada" de la arquitectura no matemática entrena a las personas "para rechazar la información matemática en el entorno construido"; argumenta que esto tiene efectos negativos en la sociedad. [39]

  • Nueva Objetividad : Walter Gropius 's Bauhaus , Dessau , 1925

  • Cilindro : Charles Holden 's estación de metro de Arnos Grove , 1933

  • Modernismo : Le Corbusier 's Chapelle Notre Dame du Haut , 1955

  • Cúpula geodésica : la biosfera de Montreal de R. Buckminster Fuller , 1967

  • Curvatura uniforme : Sydney Opera House , 1973

  • Deconstructivismo : Disney Concert Hall , Los Ángeles, 2003

Principios religiosos [ editar ]

Antiguo Egipto [ editar ]

Ver también: Proporción áurea § pirámides egipcias
Base: las proporciones de hipotenusa (b: a) para pirámides como la Gran Pirámide de Giza podrían ser: 1: φ ( triángulo de Kepler ), 3: 5 ( triángulo 3: 4: 5 ) o 1: 4 / π

Las pirámides del antiguo Egipto son tumbas construidas con proporciones matemáticas, pero se debate cuáles fueron y si se utilizó el teorema de Pitágoras . La relación entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base de la Gran Pirámide de Giza es menos del 1% de la proporción áurea . [51] Si este fuera el método de diseño, implicaría el uso del triángulo de Kepler (ángulo de la cara 51 ° 49 '), [51] [52] pero según muchos historiadores de la ciencia , la proporción áurea no se conocía hasta el momento de los pitagóricos . [53]La Gran Pirámide también puede haberse basado en un triángulo con una relación de base a hipotenusa 1: 4 / π (ángulo de la cara 51 ° 50 '). [54]

Las proporciones de algunas pirámides también pueden haberse basado en el triángulo 3: 4: 5 (ángulo de la cara 53 ° 8 '), conocido del Papiro Matemático Rhind (c. 1650-1550 aC); esto fue conjeturado por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882. [55] Se sabe que los ángulos rectos se trazaron con precisión en el antiguo Egipto utilizando cuerdas anudadas para medir, [55] que Plutarco registró en Isis y Osiris (c. 100 d. C.) que los egipcios admiraban el triángulo 3: 4: 5, [55] y que un rollo de antes del 1700 a. C. mostraba fórmulas cuadradas básicas . [56] [f]El historiador Roger L. Cooke observa que "es difícil imaginar que alguien esté interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras", pero también señala que ningún texto egipcio antes del 300 a. C. en realidad menciona el uso del teorema para encontrar la longitud de un triángulo. lados, y que hay formas más sencillas de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta; él supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos". [55]

India antigua [ editar ]

Más información: Arquitectura de la India y Vaastu Shastra
Gopuram del templo hindú Virupaksha tiene una estructura similar a un fractal donde las partes se asemejan al todo.

Vaastu Shastra , los antiguos cánones indios de arquitectura y planificación urbana, emplea dibujos simétricos llamados mandalas . Se utilizan cálculos complejos para llegar a las dimensiones de un edificio y sus componentes. Los diseños están destinados a integrar la arquitectura con la naturaleza, las funciones relativas de varias partes de la estructura y creencias antiguas que utilizan patrones geométricos ( yantra ), simetría y alineaciones direccionales . [57] [58] Sin embargo, los primeros constructores pueden haber encontrado proporciones matemáticas por accidente. El matemático Georges Ifrah señala que se pueden usar "trucos" simples con cuerdas y estacas para diseñar formas geométricas, como elipses y ángulos rectos.[12] [59]

Plano del templo de Meenakshi Amman , Madurai , desde el siglo VII en adelante. Las cuatro puertas de enlace (numeradas I-IV) son gopurams altos .

Las matemáticas de los fractales se han utilizado para mostrar que la razón por la que los edificios existentes tienen un atractivo universal y son visualmente satisfactorios es porque brindan al espectador una sensación de escala a diferentes distancias de visión. Por ejemplo, en las altas casas de entrada gopuram de los templos hindúes , como el Templo Virupaksha en Hampi construido en el siglo VII, y en otros como el Templo Kandariya Mahadev en Khajuraho , las partes y el todo tienen el mismo carácter, con dimensión fractal en la rango de 1,7 a 1,8. El grupo de torres más pequeñas ( shikhara, iluminado. 'montaña') sobre la torre central más alta que representa el sagrado Monte Kailash , morada del Señor Shiva , representa la interminable repetición de universos en la cosmología hindú . [2] [60] El erudito en estudios religiosos William J. Jackson observó del patrón de torres agrupadas entre torres más pequeñas, agrupadas entre torres aún más pequeñas, que:

La forma ideal elegantemente elaborada sugiere los niveles ascendentes infinitos de existencia y conciencia, tamaños en expansión que se elevan hacia la trascendencia arriba, y al mismo tiempo albergan lo sagrado en lo profundo de su interior. [60] [61]

El Templo Meenakshi Amman es un gran complejo con múltiples santuarios, con las calles de Madurai dispuestas concéntricamente a su alrededor según los shastras. Las cuatro puertas de entrada son torres altas ( gopurams ) con una estructura repetitiva de tipo fractal como en Hampi. Los recintos alrededor de cada santuario son rectangulares y están rodeados por altos muros de piedra. [62]

Grecia antigua [ editar ]

Más información: arquitectura griega , proporción áurea , pitagorismo y geometría euclidiana
El Partenón fue diseñado utilizando proporciones pitagóricas .

Pitágoras (c. 569 - c. 475 aC) y sus seguidores, los pitagóricos, sostenían que "todas las cosas son números". Observaron las armonías producidas por notas con proporciones de frecuencia específicas de enteros pequeños y argumentaron que los edificios también deberían diseñarse con tales proporciones. La palabra griega symmetria denotaba originalmente la armonía de las formas arquitectónicas en proporciones precisas desde los detalles más pequeños de un edificio hasta su diseño completo. [12]

El Partenón mide 69,5 metros (228 pies) de largo, 30,9 metros (101 pies) de ancho y 13,7 metros (45 pies) de altura hasta la cornisa. Esto da una relación de ancho a largo de 4: 9, y lo mismo para alto a ancho. Poniendo estos juntos da altura: ancho: largo de 16:36:81, o para el deleite [63] de los pitagóricos 4 2 : 6 2 : 9 2. Esto establece el módulo en 0,858 m. Un rectángulo de 4: 9 se puede construir como tres rectángulos contiguos con lados en una proporción de 3: 4. Cada medio rectángulo es entonces un conveniente triángulo rectángulo 3: 4: 5, que permite comprobar los ángulos y los lados con una cuerda debidamente anudada. El área interior (naos) tiene igualmente proporciones de 4: 9 (21,44 metros (70,3 pies) de ancho por 48,3 m de largo); la relación entre el diámetro de las columnas exteriores, 1,905 metros (6,25 pies) y el espaciamiento de sus centros, 4,293 metros (14,08 pies), también es 4: 9. [12]

Plano de planta del Partenón

El Partenón es considerado por autores como John Julius Norwich "el templo dórico más perfecto jamás construido". [64] Sus elaborados refinamientos arquitectónicos incluyen "una correspondencia sutil entre la curvatura del estilobato, la forma cónica de las paredes naos y la entasis de las columnas". [64] Entasis se refiere a la sutil disminución del diámetro de las columnas a medida que se elevan. El estilobato es la plataforma sobre la que se apoyan las columnas. Como en otros templos griegos clásicos, [65]la plataforma tiene una ligera curvatura parabólica hacia arriba para verter el agua de lluvia y reforzar el edificio contra terremotos. Por lo tanto, podría suponerse que las columnas se inclinan hacia afuera, pero en realidad se inclinan ligeramente hacia adentro, de modo que si continúan, se encontrarían aproximadamente a un kilómetro y medio por encima del centro del edificio; dado que todos tienen la misma altura, la curvatura del borde estilóbico exterior se transmite al arquitrabe y al techo de arriba: "todos siguen la regla de estar construidos con curvas delicadas". [66]

La proporción áurea se conoció en el año 300 a. C., cuando Euclides describió el método de construcción geométrica. [67] Se ha argumentado que la proporción áurea se utilizó en el diseño del Partenón y otros edificios griegos antiguos, así como en esculturas, pinturas y jarrones. [68] Sin embargo, autores más recientes como Nikos Salingaros dudan de todas estas afirmaciones. [69] Los experimentos del científico informático George Markowsky no lograron encontrar ninguna preferencia por el rectángulo áureo . [70]

Arquitectura islámica [ editar ]

Más información: Arquitectura islámica y proporción áurea § Arquitectura
Mezquita de Selimiye, Edirne , 1569-1575

El historiador del arte islámico Antonio Fernández-Puertas sugiere que la Alhambra , como la Gran Mezquita de Córdoba , [71] fue diseñada utilizando el pie o codo hispano-musulmán de aproximadamente 0,62 metros (2,0 pies). En la Corte de los Leones del palacio , las proporciones siguen una serie de surcos . Un rectángulo de lados 1 y √ 2 tiene (según el teorema de Pitágoras ) una diagonal de √ 3 , que describe el triángulo rectángulo formado por los lados de la cancha; la serie continúa con √ 4 (dando una proporción de 1: 2), √ 5 y así. Los patrones decorativos tienen proporciones similares, √ 2 generando cuadrados dentro de círculos y estrellas de ocho puntas, √ 3 generando estrellas de seis puntas. No hay evidencia que respalde afirmaciones anteriores de que la proporción áurea se usó en la Alhambra. [10] [72] El Patio de los Leones está delimitado por el Salón de las Dos Hermanas y el Salón de los Abencerrajes; se puede dibujar un hexágono regular de los centros de estos dos salones y de las cuatro esquinas interiores del Patio de los Leones. [73]

La mezquita de Selimiye en Edirne , Turquía, fue construida por Mimar Sinan para proporcionar un espacio donde se pudiera ver el mihrab desde cualquier lugar dentro del edificio. En consecuencia, el gran espacio central está dispuesto como un octágono, formado por ocho pilares enormes y coronado por una cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pies) de diámetro y 43 metros (141 pies) de altura. El octágono se forma en un cuadrado con cuatro semidomos, y externamente por cuatro minaretes excepcionalmente altos, de 83 metros (272 pies) de altura. El plan del edificio es, por tanto, un círculo, dentro de un octágono, dentro de un cuadrado. [74]

Arquitectura mogol [ editar ]

Artículos principales: Arquitectura mogol , Fatehpur Sikri y Orígenes y arquitectura del Taj Mahal.
El mausoleo del Taj Mahal con parte de los jardines del complejo en Agra

La arquitectura mogol , como se ve en la ciudad imperial abandonada de Fatehpur Sikri y el complejo Taj Mahal , tiene un orden matemático distintivo y una estética fuerte basada en la simetría y la armonía. [11] [75]

El Taj Mahal ejemplifica la arquitectura mogol, tanto representando el paraíso [76] como mostrando el poder del emperador mogol Shah Jahan a través de su escala, simetría y decoración costosa. El mausoleo de mármol blanco , decorado con pietra dura , la gran puerta ( Darwaza-i rauza ), otros edificios, los jardines y los caminos forman juntos un diseño jerárquico unificado. Los edificios incluyen una mezquita en piedra arenisca roja en el oeste, y un edificio casi idéntico, el Jawab o 'respuesta' en el este para mantener la simetría bilateral del complejo. El charbagh formal('jardín cuádruple') se divide en cuatro partes, simbolizando los cuatro ríos del paraíso y ofreciendo vistas y reflejos del mausoleo. Estos se dividen a su vez en 16 parterres. [77]

Plano del sitio del complejo Taj Mahal . La gran puerta está a la derecha, el mausoleo en el centro, delimitado por la mezquita (abajo) y el jawab. El plan incluye cuadrados y octágonos .

El complejo Taj Mahal se dispuso en una cuadrícula, subdividida en cuadrículas más pequeñas. Los historiadores de la arquitectura Koch y Barraud están de acuerdo con los relatos tradicionales que dan el ancho del complejo como 374 yardas mogol o gaz , [g] el área principal son tres cuadrados de 374 gaz. Estos se dividieron en áreas como el bazar y el caravasar en módulos de 17 gaz; el jardín y las terrazas están en módulos de 23 gaz y tienen 368 gaz de ancho (16 x 23). El mausoleo, la mezquita y la casa de huéspedes están distribuidos en una cuadrícula de 7  gaz. Koch y Barraud observan que si un octágono, usado repetidamente en el complejo, tiene lados de 7  unidades, entonces tiene un ancho de 17 unidades, [h] lo que puede ayudar a explicar la elección de razones en el complejo. [78]

Arquitectura cristiana [ editar ]

Más información: arquitectura de la iglesia

La basílica patriarcal cristiana de Santa Sofía en Bizancio (ahora Estambul ), construida por primera vez en 537 (y reconstruida dos veces), fue durante mil años [i] la catedral más grande jamás construida. Inspiró muchos edificios posteriores, incluido el Sultan Ahmed y otras mezquitas de la ciudad. La arquitectura bizantina incluye una nave coronada por una cúpula circular y dos semicúpulas, todas del mismo diámetro (31 metros (102 pies)), con otras cinco semicúpulas más pequeñas que forman un ábside y cuatro esquinas redondeadas de una vasta planta rectangular. interior. [79] Esto fue interpretado por los arquitectos medievales como una representación de lo mundano debajo (la base cuadrada) y los cielos divinos arriba (la cúpula esférica elevada). [80] El emperador Justiniano utilizó como arquitectos a dos geómetras, Isidoro de Mileto y Antemio de Tralles ; Isidoro compiló las obras de Arquímedes sobre geometría sólida y fue influenciado por él. [12] [81]

Santa Sofía , Estambul
a) Plano de la galería (mitad superior)
b) Plano de la planta baja (mitad inferior)

La importancia del agua del bautismo en el cristianismo se basa en la magnitud del baptisterio arquitectura. El más antiguo, el Baptisterio de Letrán en Roma, construido en 440, [82] marcó la tendencia de los bautismos octogonales; la pila bautismal dentro de estos edificios era a menudo octogonal, aunque el baptisterio más grande de Italia , en Pisa , construido entre 1152 y 1363, es circular, con una pila octogonal. Tiene 54,86 metros (180,0 pies) de altura y un diámetro de 34,13 metros (112,0 pies) (una proporción de 8: 5). [83] San Ambrosio escribió que las pilas y los baptisterios eran octogonales "porque al octavo día, [j]al resucitar, Cristo libera la esclavitud de la muerte y recibe a los muertos de sus tumbas ". [84] [85] San Agustín también describió el octavo día como" eterno ... santificado por la resurrección de Cristo ". [85] [86 ] El Baptisterio octogonal de San Juan, Florencia , construido entre 1059 y 1128, es uno de los edificios más antiguos de esa ciudad y uno de los últimos en la tradición directa de la antigüedad clásica; fue extremadamente influyente en el Renacimiento florentino posterior, ya que grandes arquitectos como Francesco Talenti , Alberti y Brunelleschi lo utilizaron como modelo de arquitectura clásica. [87]

El número cinco se utiliza "exuberantemente" [88] en la iglesia de peregrinación de San Juan de Nepomuceno de 1721 en Zelená hora, cerca de Žďár nad Sázavou en la República Checa, diseñada por Jan Blažej Santini Aichel . La nave es circular, rodeada por cinco pares de columnas y cinco cúpulas ovaladas que se alternan con ábsides ojivales. Además, la iglesia tiene cinco puertas, cinco capillas, cinco altares y cinco estrellas; una leyenda afirma que cuando San Juan de Nepomuceno fue martirizado, cinco estrellas aparecieron sobre su cabeza. [88] [89] La arquitectura quíntuple también puede simbolizar las cinco llagas de Cristo y las cinco letras de "Tacui" (en latín: "Guardé silencio" [sobre los secretos de laconfesionario ]). [90]

Antoni Gaudí utiliza una amplia variedad de estructuras geométricas, algunas superficies mínimas siendo, en la Sagrada Familia , de Barcelona , iniciadas en 1882 (y no completaron como de 2015). Estos incluyen paraboloides hiperbólicos e hiperboloides de revolución , [91] teselados, arcos catenarios , catenoides , helicoides y superficies regladas.. Esta variada mezcla de geometrías se combina creativamente de diferentes formas en la iglesia. Por ejemplo, en la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia, Gaudí ensambló "ramas" de piedra en forma de paraboloides hiperbólicos, que se superponen en sus puntas (directrices) sin, por tanto, encontrarse en un punto. En contraste, en la columnata hay superficies paraboloidales hiperbólicas que se unen suavemente a otras estructuras para formar superficies ilimitadas. Además, Gaudí explota patrones naturales , ellos mismos matemáticos, con columnas derivadas de las formas de los árboles y dinteles hechos de basalto sin modificar , naturalmente agrietado (por enfriamiento de la roca fundida) en columnas hexagonales . [92][93] [94]

La Catedral de Santa María de la Asunción de 1971 , San Francisco tiene un techo de silla de montar compuesto por ocho segmentos de paraboloides hiperbólicos, dispuestos de manera que la sección transversal horizontal inferior del techo es un cuadrado y la sección transversal superior es una cruz cristiana . El edificio es un cuadrado de 77,7 metros (255 pies) de lado y 57,9 metros (190 pies) de altura. [95] El 1970 catedral de Brasilia por Oscar Niemeyer hace un uso diferente de una estructura hiperboloide; está construido con 16 vigas de hormigón idénticas, cada una con un peso de 90 toneladas, [k]dispuestos en un círculo para formar un hiperboloide de revolución, los rayos blancos creando una forma como manos rezando al cielo. Solo la cúpula es visible desde el exterior: la mayor parte del edificio está bajo tierra. [96] [97] [98] [99]

Varias iglesias medievales en Escandinavia son circulares , incluidas cuatro en la isla danesa de Bornholm . Una de las más antiguas de ellas, la iglesia Østerlars de c. 1160, tiene una nave circular alrededor de una enorme columna circular de piedra, perforada con arcos y decorada con un fresco. La estructura circular tiene tres pisos y aparentemente fue fortificada, habiendo servido el piso superior de defensa. [100] [101]

  • La bóveda de la nave de Santa Sofía , Estambul ( anotaciones ), 562

  • El baptisterio octogonal de San Juan, Florencia , terminado en 1128

  • Simetrías quíntuple: Jan Santini Aichel 's Iglesia de peregrinación de San Juan Nepomuceno en Zelená Hora, 1721

  • Fachada de la pasión de la Sagrada Familia de Antoni Gaudí , Barcelona , iniciada en 1882

  • Oscar Niemeyer 's Catedral de Brasilia , 1970

  • La Catedral de Santa María de la Asunción, San Francisco , 1971

  • Columna central de la iglesia redonda nórdica Østerlars en Bornholm , Dinamarca

Decoración matemática [ editar ]

Decoración arquitectónica islámica [ editar ]

Artículo principal: patrones geométricos islámicos

Edificios islámicos suelen estar decorados con motivos geométricos que normalmente hacen uso de varios matemáticos mosaicos , formados de las baldosas cerámicas ( girih , zellige ) que pueden a su vez ser liso o decorado con rayas. [12] En los patrones islámicos se utilizan simetrías como las estrellas con seis, ocho o múltiplos de ocho. Algunos de estos se basan en el motivo del sello de 'Khatem Sulemani' o de Salomón, que es una estrella de ocho puntas formada por dos cuadrados, uno girado a 45 grados del otro en el mismo centro. [102] Los patrones islámicos explotan muchos de los 17 posibles grupos de fondos de pantalla.; Ya en 1944, Edith Müller demostró que la Alhambra hacía uso de 11 grupos de papel tapiz en sus decoraciones, mientras que en 1986 Branko Grünbaum afirmó haber encontrado 13 grupos de papel tapiz en la Alhambra, afirmando de manera controvertida que los cuatro grupos restantes no se encuentran en ningún lugar del Islam ornamento. [102]

  • La compleja geometría y los mosaicos de las bóvedas de los muqarnas en la mezquita Sheikh Lotfollah , Isfahan , 1603-1619

  • Louvre Abu Dhabi en construcción en 2015, su cúpula construida con capas de estrellas hechas de octágonos, triángulos y cuadrados.

Decoración arquitectónica moderna [ editar ]

Más información: Ornamento (arte) y Arquitectura contemporánea

Hacia finales del siglo XX, los arquitectos recurrieron a nuevas construcciones matemáticas como la geometría fractal y el mosaico aperiódico para proporcionar revestimientos interesantes y atractivos para los edificios. [4] En 1913, el arquitecto modernista Adolf Loos había declarado que "el ornamento es un crimen", [103] influyendo en el pensamiento arquitectónico durante el resto del siglo XX. En el siglo XXI, los arquitectos están comenzando nuevamente a explorar el uso de la ornamentación . La ornamentación del siglo XXI es extremadamente diversa. El Centro de Conferencias y Conciertos Harpa 2011 de Henning Larsen , Reykjavik, tiene lo que parece una pared de roca de cristal hecha de grandes bloques de vidrio. [103] Foreign Office Architects '2010El Ravensbourne College de Londres tiene un mosaico decorativo con 28.000 baldosas de aluminio anodizado en rojo, blanco y marrón, ventanas circulares entrelazadas de diferentes tamaños. La teselación utiliza tres tipos de mosaicos, un triángulo equilátero y dos pentágonos irregulares. [104] [105] [l] La Biblioteca Kanazawa Umimirai de Kazumi Kudo crea una cuadrícula decorativa hecha de pequeños bloques circulares de vidrio colocados en paredes de concreto liso. [103]

  • Ravensbourne College , Londres, 2010

  • Centro de Conferencias y Conciertos Harpa , Islandia, 2011

  • Biblioteca Kanazawa Umimirai , Japón, 2011

  • Museo Soumaya , México, 2011

Defensa [ editar ]

Europa [ editar ]

Más información: Fuerte estelar

La arquitectura de las fortificaciones evolucionó desde fortalezas medievales , que tenían altos muros de mampostería, hasta fortalezas estelares bajas y simétricas capaces de resistir el bombardeo de artillería entre mediados del siglo XV y XIX. La geometría de las formas de las estrellas fue dictada por la necesidad de evitar zonas muertas donde la infantería atacante pudiera protegerse del fuego defensivo; los lados de los puntos salientes estaban en ángulo para permitir que dicho fuego barriera el suelo y proporcionara fuego cruzado (desde ambos lados) más allá de cada punto saliente. Los arquitectos conocidos que diseñaron tales defensas incluyen a Miguel Ángel , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi ySébastien Le Prestre de Vauban . [106] [107]

El historiador arquitectónico Siegfried Giedion argumentó que la fortificación en forma de estrella tuvo una influencia formativa en el patrón de la ciudad ideal del Renacimiento : "El Renacimiento fue hipnotizado por un tipo de ciudad que durante un siglo y medio, desde Filarete hasta Scamozzi, quedó impresionado. todos los esquemas utópicos: esta es la ciudad en forma de estrella ". [108]

  • Plan de fortificación de Coevorden . siglo 17

  • Palmanova , Italia , una ciudad veneciana dentro de un fuerte estelar . siglo 17

  • Neuf-Brisach , Alsacia , una de las fortificaciones de Vauban

China [ editar ]

Un tulou en el condado de Yongding , provincia de Fujian

En la arquitectura china , los tulou de la provincia de Fujian son estructuras defensivas comunales circulares con paredes principalmente en blanco y una sola puerta de madera chapada en hierro, algunas que datan del siglo XVI. Los muros se rematan con tejados que se inclinan suavemente tanto hacia el exterior como hacia el interior, formando un anillo. El centro del círculo es un patio adoquinado abierto, a menudo con un pozo, rodeado de galerías de madera de hasta cinco pisos de altura. [109]

Objetivos medioambientales [ editar ]

Yakhchal en Yazd , Irán

Los arquitectos también pueden seleccionar la forma de un edificio para cumplir con los objetivos ambientales. [88] Por ejemplo, Foster y Partners ' 30 St Mary Axe , Londres, conocido como ' el pepinillo ' por su pepino -como forma, es un sólido de revolución diseñado utilizando modelado paramétrico . Su geometría no se eligió por razones puramente estéticas, sino para minimizar las corrientes de aire en remolino en su base. A pesar de la superficie aparentemente curva del edificio, todos los paneles de vidrio que forman su piel son planos, excepto la lente en la parte superior. La mayoría de los paneles son cuadriláteros , ya que se pueden cortar de vidrio rectangular con menos desperdicio que los paneles triangulares. [1]

El yakhchal (pozo de hielo) tradicional de Persia funcionaba como un enfriador evaporativo . Sobre el suelo, la estructura tenía forma de cúpula, pero tenía un espacio de almacenamiento subterráneo para el hielo y, a veces, también para la comida. El espacio subterráneo y la construcción gruesa resistente al calor aislaron el espacio de almacenamiento durante todo el año. El espacio interno a menudo se enfría aún más con atrapavientos . El hielo estaba disponible en el verano para hacer faloodeh el postre helado . [110]

Ver también [ editar ]

  • Black Rock City
  • Matemáticas y arte
  • Patrones en la naturaleza

Notas [ editar ]

  1. ↑ En el libro 4, capítulo 3 de De architectura , analiza los módulos directamente. [15]
  2. ↑ Un pie romano medía aproximadamente 0,296 metros (0,97 pies).
  3. ^ En notación algebraica moderna, estas proporciones son respectivamente 1: 1, √ 2 : 1, 4: 3, 3: 2, 5: 3, 2: 1.
  4. ↑ El constructivismo influyó en Bauhaus y Le Corbusier, por ejemplo. [33]
  5. ↑ Pace Nikos Salingaros, quien sugiere lo contrario, [39] pero no está claro exactamente qué matemáticas pueden estar incorporadas en las curvas de la capilla de Le Corbusier. [40]
  6. ↑ El Papiro de Berlín 6619 del Reino Medio declaró que "el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El lado de uno es ½ + ¼ del lado del otro".
  7. ^ 1 gaz equivale a aproximadamente 0,86 metros (2,8 pies).
  8. ^ Un cuadrado dibujado alrededor del octágono prolongando lados alternos agrega cuatro triángulos en ángulo recto con hipotenusa de 7 y los otros dos lados de √ 49/2 o 4.9497 ..., casi 5. El lado del cuadrado es, por lo tanto, 5 + 7 + 5, que es 17.
  9. ↑ Hasta quese completó la catedral de Sevilla en 1520.
  10. ^ El sexto día de Semana Santa fue Viernes Santo ; el domingo siguiente (de la resurrección ) fue así el octavo día. [84]
  11. ^ Esto es 90 toneladas (89 toneladas largas; 99 toneladas cortas).
  12. ^ Se consideró un alicatado aperiódico, para evitar el ritmo de una cuadrícula estructural, pero en la práctica un alicatado Penrose era demasiado complejo, por lo que se eligió una cuadrícula de 2.625 m en horizontal y 4.55 m en vertical. [105]

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Enlaces externos [ editar ]

  • Revista Nexus Network: Arquitectura y matemáticas en línea
  • La Sociedad Internacional de las Artes, las Matemáticas y la Arquitectura
  • Universidad de St Andrews: Matemáticas y Arquitectura
  • Universidad Nacional de Singapur: Matemáticas en Arte y Arquitectura
  • Dartmouth College: geometría en arte y arquitectura