En las matemáticas , haciendo saltar o explosión es un tipo de transformación geométrica que sustituye a un subespacio de un espacio determinado con todas las direcciones señalando de ese subespacio. Por ejemplo, la explosión de un punto en un plano reemplaza el punto con el espacio tangente proyectado en ese punto. La metáfora es la de hacer zoom en una fotografía para ampliar parte de la imagen, en lugar de referirse a una explosión .
Las explosiones son la transformación más fundamental en la geometría biracional , porque cada morfismo biracional entre variedades proyectivas es una explosión. El teorema de factorización débil dice que cada mapa biracional puede factorizarse como una composición de ampliaciones particularmente simples. El grupo de Cremona , el grupo de automorfismos biracionales del avión, se genera por explosiones.
Además de su importancia para describir las transformaciones biracionales, las ampliaciones también son una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades proceden haciendo explotar singularidades hasta que se vuelven suaves. Una consecuencia de esto es que las ampliaciones se pueden utilizar para resolver las singularidades de los mapas biracionales.
Clásicamente, las ampliaciones se definieron extrínsecamente, definiendo primero la ampliación en espacios como el espacio proyectivo utilizando una construcción explícita en coordenadas y luego definiendo las ampliaciones en otros espacios en términos de una incrustación. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico transformación monoidal . La geometría algebraica contemporánea trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica. Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías ) de convertir una subvariedad en un divisor de Cartier .
Una explosión también se puede llamar transformación monoidal , transformación cuadrática local , dilatación , proceso σ o mapa de Hopf .
La explosión de un punto en un avión.
El caso más simple de una explosión es la explosión de un punto en un avión. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden ver en este ejemplo.
La explosión tiene una descripción sintética como correspondencia de incidencia. Recuerde que Grassmannian G (1,2) parametriza el conjunto de todas las líneas a través de un punto en el plano. La explosión del plano proyectivo P 2 en el punto P , que denotaremos X , es
Aquí Q denota otro punto yes un elemento del Grassmanniano. X es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Viene con un morfismo natural π a P 2 que toma el para Q . Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos.con Q ≠ P porque la rectaestá determinada por esos dos puntos. Cuando Q = P , sin embargo, la líneapuede ser cualquier línea a través de P . Estas líneas corresponden al espacio de direcciones a través de P , que es isomorfo a P 1 . Esta P 1 se llama el divisor excepcional , y por definición es el projectivized espacio normal en P . Debido a que P es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio de las tangentes, de modo que el divisor excepcional es el isomorfo al espacio tangente projectivized en P .
Para dar coordenadas en la ampliación, podemos escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior. Dar P 2 coordenadas homogéneas [ X 0 : X 1 : X 2 ] en las que P es el punto [ P 0 : P 1 : P 2 ]. Por dualidad proyectiva , G (1,2) es isomorfo a P 2 , por lo que podemos darle coordenadas homogéneas [ L 0 : L 1 : L 2 ]. Una lineaes el conjunto de todo [ X 0 : X 1 : X 2 ] tal que X 0 L 0 + X 1 L 1 + X 2 L 2 = 0. Por lo tanto, la explosión se puede describir como
La explosión está a un isomorfismo de P , y al trabajar en el plano afín en lugar del plano proyectivo, podemos dar ecuaciones más simples para la explosión. Después de una transformación proyectiva, podemos suponer que P = [0: 0: 1]. Escribir x e y para las coordenadas en el plano afín X 2 ≠ 0. La condición P ∈implica que L 2 = 0, por lo que podemos reemplazar el Grassmanniano con un P 1 . Entonces la explosión es la variedad
Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. Entonces la explosión se puede escribir como
Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.
La explosión se puede visualizar fácilmente si eliminamos el punto infinito del Grassmannian, por ejemplo, estableciendo w = 1, y obtenemos la superficie de silla estándar y = xz en el espacio 3D.
La ampliación también se puede describir usando directamente coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente trabajamos en el plano afín A 2 . El espacio normal al origen es el espacio vectorial m / m 2 , donde m = ( x , y ) es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectivización de este espacio vectorial es Proj de su álgebra simétrica, es decir,
En este ejemplo, esto tiene una descripción concreta como
donde x y y tener un grado 0 y z y w tienen grado 1.
Sobre los números reales o complejos, la ampliación tiene una descripción topológica como la suma conectada . Suponga que P es el origen en A 2 ⊆ P 2 y escriba L para la línea en el infinito. A 2 \ {0} tiene un mapa de inversión t que envía ( x , y ) a ( x / (| x | 2 + | y | 2 ), y / (| x | 2 + | y | 2 )). t es la inversión del círculo con respecto a la esfera unitaria S : Fija S , conserva cada línea que pasa por el origen e intercambia el interior de la esfera con el exterior. t se extiende a un mapa continuo P 2 \ {0} → A 2 enviando la línea en el infinito al origen. Esta extensión, que también denotamos t , puede usarse para construir la ampliación. Sea C el complemento de la bola unitaria. El blowup X es el colector obtenido uniendo dos copias de C a lo largo de S . X viene con un mapa π a P 2 , que es la identidad en la primera copia de C y T en la segunda copia de C . Este mapa es un isomorfismo lejos de P , y la fibra sobre P es la línea en el infinito en la segunda copia de C . Cada punto de esta línea corresponde a una línea única a través del origen, por lo que la fibra sobre π corresponde a las posibles direcciones normales a través del origen.
Para CP 2, este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto suceda, las dos copias de C deben tener orientaciones opuestas. En símbolos, X es, dónde es CP 2 con la orientación opuesta a la estándar.
Explotando puntos en un espacio complejo
Sea Z el origen en el espacio complejo n- dimensional , C n . Es decir, Z es el punto donde las n funciones de coordenadasdesaparecer simultáneamente. Sea P n - 1 espacio proyectivo complejo ( n - 1) -dimensional con coordenadas homogéneas. Dejarser el subconjunto de C n × P n - 1 que satisface simultáneamente las ecuacionespara i, j = 1, ..., n . La proyección
induce naturalmente un mapa holomórfico
Este mapa π (o, a menudo, el espacio ) Se llama la explosión (deletreado diversamente soplado o explosión ) de C n .
El divisor excepcional E se define como la imagen inversa del locus de expansión Z bajo π. Es fácil ver eso
es una copia del espacio proyectivo. Es un divisor eficaz . Lejos de E , π es un isomorfismo entrey C n \ Z ; es un mapa biracional entrey C n .
Si en cambio consideramos la proyección holomórfica
obtenemos el paquete de línea tautológica de y podemos identificar el divisor excepcional con su sección cero, a saber que asigna a cada punto el elemento cero en la fibra sobre .
Explotación de subvariedades en variedades complejas
De manera más general, se puede hacer estallar cualquier subvarietal complejo de codimensión k Z de C n . Suponga que Z es el lugar geométrico de las ecuaciones , y deja ser coordenadas homogéneas en P k - 1 . Entonces la explosión es el lugar geométrico de las ecuaciones para todo i y j , en el espacio C n × P k - 1 .
Más generalmente aún, se puede hacer estallar cualquier sub-colector de cualquier colector complejo X aplicando esta construcción localmente. El efecto es, como antes, reemplazar el locus Z de explosión con el divisor E excepcional . En otras palabras, el mapa expandido
es un mapeo biracional que, lejos de E , induce un isomorfismo y, en E , una fibración localmente trivial con fibra P k - 1 . De hecho, la restricciónse ve naturalmente como el projectivization del fibrado normal de Z en X .
Dado que E es un divisor uniforme, su conjunto normal es un conjunto lineal . No es difícil demostrar que E se cruza a sí mismo negativamente. Esto significa que su paquete normal no posee secciones holomórficas; E es el único complejo liso representativo de su clase de homología en. (Suponga que E podría perturbarse a otra subvariedad compleja de la misma clase. Entonces las dos subvariedades se intersecarían positivamente, como siempre lo hacen las subvariedades complejas, contradiciendo la autointersección negativa de E ). Por eso el divisor se llama excepcional.
Deje V ser algún subvariedad de X que no sea Z . Si V es disjunta de Z , entonces es esencialmente afectadas por la voladura a lo largo de Z . Sin embargo, si se cruza con Z , entonces hay dos análogos distintos de V en la explosión.. Uno es la transformación adecuada (o estricta ) , que es el cierre de; su paquete normal enes típicamente diferente de la de V en X . La otra es la transformada total , que incorpora parte o la totalidad de E ; es esencialmente el retroceso de V en cohomología .
Explotando esquemas
Para perseguir la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema , y seaser una gavilla coherente de los ideales en X . La explosión de X con respecto a es un esquema junto con un morfismo
tal que es una gavilla invertible , caracterizada por esta propiedad universal : para cualquier morfismo f : Y → X tal quees una gavilla invertible , f se factoriza únicamente a través de π.
Darse cuenta de
tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión. Aquí Proj es la construcción Proj en roldanas graduadas de anillos conmutativos .
Divisores excepcionales
El divisor excepcional de una explosión es el subesquema definido por la imagen inversa de la gavilla ideal , que a veces se denota . De la definición del estallido en términos de Proy se desprende que este subesquema E está definido por la gavilla ideal. Esta gavilla ideal es también la relativa para π.
π es un isomorfismo alejado del divisor excepcional, pero el divisor excepcional no necesita estar en el locus excepcional de π. Es decir, π puede ser un isomorfismo de E . Esto sucede, por ejemplo, en la situación trivial en la queya es una gavilla invertible. En particular, en tales casos el morfismo π no determina el divisor excepcional. Otra situación en la que el locus excepcional puede ser estrictamente más pequeño que el divisor excepcional es cuando X tiene singularidades. Por ejemplo, sea X el cono afín sobre P 1 × P 1 . X se puede dar como el lugar de fuga de xw - yz en A 4 . Los ideales ( x , y ) y ( x , z ) definen dos planos, cada uno de los cuales pasa a través del vértice de X . Lejos del vértice, estos planos son hipersuperficies en X , por lo que la explosión es un isomorfismo allí. El lugar excepcional de la explosión de cualquiera de estos planos está, por tanto, centrado sobre el vértice del cono y, en consecuencia, es estrictamente más pequeño que el divisor excepcional.
Más ejemplos
Ampliaciones de subespacios lineales
Dejar ser espacio proyectivo n- dimensional. Fije un subespacio lineal L de codimensión d . Hay varias formas explícitas de describir la explosión dea lo largo de L . Suponer que tiene coordenadas . Después de cambiar las coordenadas, podemos asumir que. La explosión puede estar incrustada en. Dejarser coordenadas en el segundo factor. Debido a que L está definido por una secuencia regular, la explosión está determinada por la desaparición de los dos por dos menores de la matriz
A esta explosión también se le puede dar una descripción sintética como correspondencia de incidencia
Explosión de intersecciones de curvas esquema-teóricamente
Dejar ser polinomios homogéneos genéricos de grado (lo que significa que sus variedades proyectivas asociadas se cruzan en puntos por el teorema de Bézout ). El siguiente morfismo proyectivo de esquemas da un modelo de explosión a puntos:
Mirar las fibras explica por qué esto es cierto: si tomamos un punto luego el diagrama de retroceso
nos dice que la fibra es un punto siempre que o y la fibra es Si .
Construcciones relacionadas
En la ampliación de C n descrita anteriormente, no había nada esencial en el uso de números complejos; las ampliaciones se pueden realizar en cualquier campo . Por ejemplo, la explosión real de R 2 en el origen da como resultado la banda de Möbius ; correspondientemente, la explosión de las dos esferas S 2 da como resultado el plano proyectivo real .
La deformación del cono normal es una técnica de expansión utilizada para probar muchos resultados en geometría algebraica. Dado un esquema X y un subesquema cerrado V , uno explota
Luego
es una fibración. La fibra general es naturalmente isomorfa a X , mientras que la fibra central es una unión de dos esquemas: uno es el estallido de X a lo largo de V , y el otro es el cono normal de V con sus fibras completadas a espacios proyectivos.
Las explosiones también se pueden realizar en la categoría simpléctica, dotando a la variedad simpléctica de una estructura casi compleja compatible y procediendo con una explosión compleja. Esto tiene sentido en un nivel puramente topológico; Sin embargo, dotando al golpe en marcha con una forma simpléctica requiere cierto cuidado, porque no se puede extender arbitrariamente la forma simpléctica a través del divisor excepcional E . Uno debe alterar la forma simpléctica en una vecindad de E , o realizar la ampliación cortando una vecindad de Z y colapsando el límite de una manera bien definida. Esto se comprende mejor utilizando el formalismo del corte simpléctico , del cual el estallido simpléctico es un caso especial. El corte simpléctico , junto con la operación inversa de la suma simpléctica , es el análogo simpléctico de la deformación del cono normal a lo largo de un divisor suave.
Ver también
- Punto infinitamente cercano
- Resolución de singularidades
Referencias
- Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-32792-1.
- Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
- McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998). Introducción a la topología simpléctica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.