En matemáticas , la energía de Möbius de un nudo es una energía de nudo particular , es decir, un funcional en el espacio de los nudos. Fue descubierto por Jun O'Hara , quien demostró que la energía explota cuando las hebras del nudo se acercan entre sí. [1] Esta es una propiedad útil porque evita la auto-intersección y asegura que el resultado bajo un gradiente descendente sea del mismo tipo de nudo .
La invariancia de la energía de Möbius bajo las transformaciones de Möbius fue demostrada por Michael Freedman , Zheng-Xu He y Zhenghan Wang (1994), quienes la usaron para mostrar la existencia de unminimizador de energía en cada clase de isotopía de un nudo principal . También mostraron que la energía mínima de cualquier conformación de nudo se logra mediante un círculo redondo. [2]
Conjeturalmente, no existe un minimizador de energía para los nudos compuestos. Robert B. Kusner y John M. Sullivan han realizado experimentos informáticos con una versión discretizada de la energía de Möbius y han llegado a la conclusión de que no debería haber un minimizador de energía para la suma de nudos de dos tréboles (aunque esto no es una prueba).
Recuerde que las transformaciones de Möbius de la 3-esfera son el grupo de diez dimensiones de difeomorfismos preservadores de ángulos generados por inversión en 2 esferas. Por ejemplo, la inversión en la esfera es definido por
Considere una curva simple rectificable en el 3-espacio euclidiano , dónde pertenece a o . Defina su energía por
dónde es la distancia de arco más corta entre y en la curva. El segundo término del integrando se llama regularización. Es fácil ver eso es independiente de la parametrización y no cambia si se cambia por una similitud de . Además, la energía de cualquier línea es 0, la energía de cualquier círculo es. De hecho, usemos la parametrización de la longitud del arco. Denotamos por la longitud de la curva . Luego
Dejar denotar un círculo unitario. Tenemos
y consecuentemente,
desde .
Nudo invariante
A la izquierda, el desanudo, y un nudo equivalente a él. Puede resultar más difícil determinar si los nudos complejos, como el de la derecha, son equivalentes al desanudo.
Un nudo se crea comenzando con un segmento de línea unidimensional , envolviéndolo arbitrariamente alrededor de sí mismo y luego fusionando sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado. [3] Matemáticamente, podemos decir un nudoes una función inyectiva y continua con . Los topólogos consideran que los nudos y otros enredos, como eslabones y trenzas, son equivalentes si el nudo se puede empujar suavemente, sin cruzarse, para que coincida con otro nudo. La idea de la equivalencia de nudos es dar una definición precisa de cuándo dos nudos deben considerarse iguales incluso cuando se colocan de manera bastante diferente en el espacio. Una definición matemática es que dos nudosson equivalentes si hay un homeomorfismo que conserva la orientación con , y se sabe que esto es equivalente a la existencia de isotopía ambiental .
El problema básico de la teoría de los nudos, el problema del reconocimiento , es determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema, con el primero dado por Wolfgang Haken a fines de la década de 1960. [4] No obstante, estos algoritmos pueden consumir mucho tiempo y un problema importante en la teoría es comprender qué tan difícil es realmente este problema. [4] El caso especial de reconocer el desanudo , llamado problema de desanudar , es de particular interés. [5] Dibujaremos un nudo mediante una curva suave en lugar de un polígono. Un nudo estará representado por un diagrama plano. Las singularidades del diagrama plano se denominarán puntos de cruce y las regiones en las que subdivide las regiones planas del diagrama. En cada punto de cruce, dos de las cuatro esquinas estarán punteadas para indicar qué rama a través del punto de cruce debe considerarse como una que pasa por debajo de la otra. Numeramos cualquier región al azar, pero fijaremos los números de todas las regiones restantes de modo que cada vez que crucemos la curva de derecha a izquierda debamos pasar del número de región al número de región . Claramente, en cualquier punto de cruce, hay dos esquinas opuestas del mismo número y dos esquinas opuestas de los números y , respectivamente. El número se conoce como el índice de . Los puntos de cruce se distinguen por dos tipos: diestros y zurdos, según la rama que atraviesa el punto pasa por debajo o detrás de la otra. En cualquier punto de cruce de índice dos esquinas punteadas son números y , respectivamente, dos números sin punto y . El índice de cualquier esquina de cualquier región del índice es un elemento de . Deseamos distinguir un tipo de nudo de otro por invariantes de nudos. Hay una invariante que es bastante simple. Es el polinomio de Alexandercon coeficiente entero. El polinomio de Alexander es simétrico con el grado: para todos los nudos de puntos de cruce. Por ejemplo, el invariante de una curva sin nudos es 1, de un nudo de trébol es .
El nudo de trébol de la mano izquierda.
El nudo de trébol de la mano derecha.
Dejar
denotar el elemento de superficie estándar de .
Tenemos
Para el nudo , ,
no cambia, si cambiamos el nudo en su clase de equivalencia.
Propiedad de invariancia de Möbius
Dejar ser una curva cerrada en y una transformación de Moebius de . Si está contenido en luego . Si atravesar luego .
Teorema A. Entre todos los bucles rectificables, los círculos redondos tienen la menor energía y cualquier de menor energía parametriza un círculo redondo.
Prueba del teorema A. Sea ser una transformación de Möbius enviando un punto de hasta el infinito. La energía con igualdad sosteniendo si y solo si es una línea recta. Aplicando la propiedad de invariancia de Möbius completamos la demostración.
Prueba de propiedad de invariancia de Möbius. Es suficiente considerar cómo, una inversión en una esfera, transforma la energía. Dejar ser el parámetro de longitud de arco de una curva cerrada rectificable , . Dejar
( 1 )
y
( 2 )
Claramente, y . Es un cálculo corto (usando la ley de los cosenos) que los primeros términos se transforman correctamente, es decir,
Desde es arclength para , el término de regularización de ( 1 ) es la integral elemental
( 3 )
Dejar ser un parámetro de longitud de arco para . Luego dónde denota el factor de expansión lineal de . Desde es una función de Lipschitz y es suave, es Lipschitz, por lo tanto, tiene derivada débil .
Para la segunda afirmación, dejemos enviar un punto de hasta el infinito. En este casoy, por tanto, el término constante 4 en ( 5 ) desaparece.
Conjetura de Freedman-He-Wang
La conjetura de Freedman-He-Wang (1994) estableció que la energía de Möbius de vínculos no triviales ense minimiza mediante la proyección estereográfica del enlace Hopf estándar . Esto fue demostrado en 2012 por Ian Agol , Fernando C. Marques y André Neves , utilizando la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts . [6] Deja, ser un enlace de 2 componentes, es decir, un par de curvas cerradas rectificables en tres espacios euclidianos con . La energía cruzada de Möbius del enlace. se define como
El número de enlace de se define dejando
número de enlace -2
número de enlace -1
número de enlace 0
número de enlace 1
enlace número 2
número de enlace 3
No es difícil comprobar que . Si dos círculos están muy lejos uno del otro, la energía cruzada puede hacerse arbitrariamente pequeña. Si el número de enlace no es cero, el enlace se llama no dividido y para el enlace no dividido, . Por tanto, estamos interesados en la energía mínima de los enlaces no divididos. Tenga en cuenta que la definición de la energía se extiende a cualquier enlace de 2 componentes en. La energía de Möbius tiene la propiedad notable de ser invariante bajo transformaciones conformes de. Esta propiedad se explica a continuación. Dejardenotar un mapa conforme. Luego Esta condición se denomina propiedad de invariancia conforme de la energía cruzada de Möbius.
Teorema principal. Dejar, ser un enlace no dividido de enlace de 2 componentes. Luego. Además, si entonces existe un mapa conforme tal que y (el enlace estándar de Hopf hasta la orientación y la reparametrización).
Dadas dos curvas diferenciables que no se cruzan , define el mapa de Gaussdel toro a la esfera por
El mapa de Gauss de un enlace en , denotado por , es el mapa de Lipschitz definido por Denotamos una bola abierta en , centrado en con radio , por . El límite de esta bola se denota por. Una bola abierta intrínseca de, centrado en con radio , se denota por . Tenemos
Por lo tanto,
De ello se deduce que para casi todos , Si la igualdad se mantiene en , luego
Si el enlace está contenido en un hiperplano afín orientado con un vector normal unitario compatible con la orientación, entonces
Referencias
Adams, Colin (2004). El libro del nudo: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821836781.
Hass, Joel (abril-mayo de 1998). "Algoritmos para el reconocimiento de nudos y 3 variedades". Caos, solitones y fractales . 9 (4–5): 569–581. arXiv : matemáticas / 9712269 . Código bibliográfico : 1998CSF ..... 9..569H . doi : 10.1016 / S0960-0779 (97) 00109-4 . S2CID 7381505 .
Sossinsky, Alexei (2002). Nudos, matemáticas con un toque . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 9780674009448.
Notas al pie
^O'Hara, junio (1991). "Energía de un nudo" . Topología . 30 (2): 241–247. doi : 10.1016 / 0040-9383 (91) 90010-2 . Señor 1098918 .
^Freedman, Michael H .; Él, Zheng-Xu; Wang, Zhenghan (enero de 1994). "Energía de Moebius de nudos y desanudos". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 139 (1): 1–50. doi : 10.2307 / 2946626 . JSTOR 2946626 . Señor 1259363 .
^ Adams 2004 ; Sossinsky 2002 .
↑ a b Hass, 1998 .
^Hoste, Jim (diciembre de 2005). "La enumeración y clasificación de nudos y eslabones". En William W. Menasco; Morwen B. Thistlethwaite (eds.). Manual de teoría de nudos (PDF) . Amsterdam: Elsevier. págs. 209-232. doi : 10.1016 / B978-044451452-3 / 50006-X .
^Agol, Ian ; Marques, Fernando C .; Neves, André (2012). "Teoría min-max y la energía de los enlaces". arXiv : 1205.0825 [ math.GT ].