Nido de abeja de baldosas cuadradas Order-4 | |
---|---|
![]() | |
Tipo | Nido de abeja hiperbólico regular Nido de abeja uniforme de Paracompacto |
Símbolos de Schläfli | {4,4,4} h {4,4,4} ↔ {4,4 1,1 } {4 [4] } |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {4,4}![]() ![]() ![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} |
Figura de borde | cuadrado {4} |
Figura de vértice | mosaico cuadrado , {4,4}![]() ![]() ![]() ![]() |
Doble | Auto-dual |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] , [4 [4] ] |
Propiedades | Regular, cuasirregular |
En la geometría del 3-espacio hiperbólico , el panal de mosaico cuadrado de orden 4 es uno de los 11 panales regulares paracompactos. Es paracompacto porque tiene infinitas celdas y figuras de vértices , con todos los vértices como puntos ideales en el infinito. Dado por el símbolo de Schläfli {4,4,4}, tiene cuatro mosaicos cuadrados alrededor de cada borde e infinitos mosaicos cuadrados alrededor de cada vértice en una figura de vértice de mosaico cuadrado . [1]
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Simetría
El panal de baldosas cuadradas de orden 4 tiene muchas construcciones de simetría reflectante: como un panal normal,
↔
con tipos (colores) alternos de mosaicos cuadrados, y
con 3 tipos (colores) de mosaicos cuadrados en una proporción de 2: 1: 1.
Otras dos construcciones de media simetría con dominios piramidales tienen simetría [4,4,1 + , 4]: ↔
, y
↔
.
Hay dos subgrupos de índice alto, ambos de índice 8: [4,4,4 * ] ↔ [(4,4,4,4,1 + )], con un dominio fundamental piramidal: [((4, ∞, 4 )), ((4, ∞, 4))] o; y [4,4 * , 4], con 4 conjuntos ortogonales de espejos ultra-paralelos en un dominio fundamental octaédrico:
.
Imagenes
El panal de mosaico cuadrado de orden 4 es análogo al mosaico apeirogonal hiperbólico 2D de orden infinito , {∞, ∞}, con caras apeirogonales infinitas y con todos los vértices en la superficie ideal.
Contiene y
que azulejos 2- superficies hipercíclicas , que son similares a estos revestimientos apeirogonales de orden 4 paracompactos
:
Politopos y panales relacionados
El panal de azulejos cuadrados Order-4 es un panal hiperbólico regular en 3 espacios. Es uno de los once panales paracompactos regulares.
11 panales regulares paracompactos | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() {6,3,3} | ![]() {6,3,4} | ![]() {6,3,5} | ![]() {6,3,6} | ![]() {4,4,3} | ![]() {4,4,4} | ||||||
![]() {3,3,6} | ![]() {4,3,6} | ![]() {5,3,6} | ![]() {3,6,3} | ![]() {3,4,4} |
Hay nueve panales uniformes en la familia del grupo [4,4,4] Coxeter , incluida esta forma regular.
[4,4,4] panales familiares | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | r {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | rr {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t 0,3 {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2t {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | tr {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t 0,1,3 {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t 0,1,2,3 {4,4,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Es parte de una secuencia de panales con una figura de vértice de mosaico cuadrado :
{p, 4,4} panales | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | E 3 | H 3 | ||||
Formulario | Afín | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | .. {∞, 4,4} |
Coxeter![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Células | ![]() {2,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Es parte de una secuencia de panales con celdas de mosaico cuadradas :
{4,4, p} panales | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | E 3 | H 3 | |||||||||
Formulario | Afín | Paracompacto | No compacto | ||||||||
Nombre | {4,4,2} | {4,4,3} | {4,4,4} | {4,4,5} | {4,4,6} | ... {4,4, ∞} | |||||
Coxeter![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
Figura de vértice | ![]() {4,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Es parte de una secuencia de policoras y panales cuasirregulares:
Policora cuasirregular y panales: h {4, p, q} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | |||||||
Símbolo de Schläfli | h {4,3,3} | h {4,3,4} | h {4,3,5} | h {4,3,6} | h {4,4,3} | h {4,4,4} | |||||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
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Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
Figura de vértice r {p, 3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Nido de abeja rectificado order-4 alicatado cuadrado
Nido de abeja rectificado order-4 alicatado cuadrado | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | r {4,4,4} o t 1 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {4,4} r {4,4}![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} |
Figura de vértice | ![]() cubo |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Propiedades | Cuasirregular o regular, dependiendo de la simetría |
El panal de mosaico hexagonal rectificado de orden 4 , t 1 {4,4,4},tiene facetas de mosaico cuadradas , con una figura de vértice cúbico . Es lo mismo que el panal de mosaico cuadrado regular , {4,4,3},
.
Nido de abeja de baldosas cuadradas orden-4 truncado
Nido de abeja de baldosas cuadradas orden-4 truncado | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t {4,4,4} o t 0,1 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {4,4} t {4,4}![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() pirámide cuadrada |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico cuadrado truncado de orden 4 , t 0,1 {4,4,4},tiene alicatado cuadrado y facetas de alicatado cuadrado truncado , con una figura de vértice piramidal cuadrada .
Nido de abeja de mosaico cuadrado Bitruncated order-4
Nido de abeja de mosaico cuadrado Bitruncated order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | 2t {4,4,4} o t 1,2 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {4,4} ![]() |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() difenoide tetragonal |
Grupos de Coxeter | , [[4,4,4]] , [4 1,1,1 ] , [4 [4] ] |
Propiedades | Transitivo de vértice, transitivo de borde, transitivo de celda |
El panal de mosaico cuadrado bitruncado de orden 4 , t 1,2 {4,4,4},tiene facetas de mosaico cuadradas truncadas , con una figura de vértice difenoide tetragonal .
Nido de abeja de baldosas cuadradas cantellated order-4
Nido de abeja de baldosas cuadradas cantellated order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | rr {4,4,4} o t 0,2 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {} x {4} r {4,4} rr {4,4}![]() ![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} |
Figura de vértice | ![]() prisma triangular |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] , [3,4,4] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal de mosaico cuadrado cantellated order-4 ,es lo mismo que el panal rectificado de baldosas cuadradas ,
. Tiene facetas de mosaico cúbico y cuadrado , con una figura de vértice de prisma triangular .
Nido de abeja de baldosas cuadradas cantitruncated order-4
Nido de abeja de baldosas cuadradas cantitruncated order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | tr {4,4,4} o t 0,1,2 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {} x {4} tr {4,4} t {4,4}![]() ![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() esfenoides reflejado |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] , [3,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas cuadradas cantitruncated order-4 ,es el mismo que el panal de baldosas cuadradas truncado ,
. Contiene facetas de mosaico de cubo y cuadrado truncado , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Es lo mismo que el panal de baldosas cuadradas truncado ,.
Nido de abeja de baldosas cuadradas runcinated order-4
Nido de abeja de baldosas cuadradas runcinated order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t 0,3 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {4,4} {} x {4}![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} |
Figura de vértice | ![]() antiprisma cuadrado |
Grupos de Coxeter | , [[4,4,4]] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal de mosaico cuadrado runcinated order-4 , t 0,3 {4,4,4},tiene azulejos cuadrados y facetas cúbicas , con una figura de vértice antiprisma cuadrada .
Runcitruncated order-4 panal de baldosas cuadradas
Runcitruncated order-4 panal de baldosas cuadradas | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t 0,1,3 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {4,4} ![]() rr {4,4} {} x {4} {8} x {} |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() pirámide cuadrada |
Grupos de Coxeter | , [4,4,4] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico cuadrado runcitruncated order-4 , t 0,1,3 {4,4,4},tiene un mosaico cuadrado , un mosaico cuadrado truncado , un cubo y facetas de prisma octogonal , con una figura de vértice piramidal cuadrada .
El panal de alicatado cuadrado runcicantellated orden-4 es equivalente al panal de alicatado cuadrado runcitruncado orden-4.
Nido de abeja rectangular omnitruncated order-4
Nido de abeja rectangular omnitruncated order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t 0,1,2,3 {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | tr {4,4} {8} x {}![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() disphenoid digonal |
Grupos de Coxeter | , [[4,4,4]] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico cuadrado omnitruncado de orden 4 , t 0,1,2,3 {4,4,4},tiene un mosaico cuadrado truncado y facetas de prisma octogonal , con una figura de vértice de esfenoides digonal .
Nido de abeja de baldosas cuadradas de orden alternativo 4
El panal de mosaico cuadrado de orden 4 alternado es una construcción de simetría inferior del panal de mosaico cuadrado de orden 4 en sí.
Nido de abeja de baldosas cuadradas Cantic order-4
El panal de baldosas cuadradas de orden cántico 4 es una construcción de simetría inferior del panal de baldosas cuadradas de orden 4 truncado .
Nido de abeja de baldosas cuadradas runcic order-4
El panal de baldosas cuadradas de orden rúncico 4 es una construcción de simetría inferior del panal de baldosas cuadradas de orden 3 .
Runcicantic order-4 panal de baldosas cuadradas
El panal de mosaico cuadrado runcicantic order-4 es una construcción de simetría inferior del panal de mosaico cuadrado bitruncado de orden 4 .
Nido de abeja de azulejos cuadrados de cuarto orden-4
Nido de abeja de baldosas cuadradas de cuarto orden-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | q {4,4,4} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {4,4} {4,4}![]() ![]() |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() antiprisma cuadrado |
Grupos de Coxeter | , [4 [4] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal de baldosas cuadradas de cuarto orden-4 , q {4,4,4},, o
, tiene alicatado cuadrado truncado y facetas de alicatado cuadrado , con un vértice cuadrado antiprisma .
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Panales uniformes paracompactos
Referencias
- ^ Coxeter La belleza de la geometría , 1999, Capítulo 10, Tabla III
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico ) Tabla III
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2da edición ISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías en tres variedades I, II)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico
- Norman W. Johnson y Asia Ivic Weiss Cuadráticos enteros y grupos Coxeter PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 págs. 1307-1336