En geometría , un plesioedro es un tipo especial de poliedro que llena el espacio , definido como la celda de Voronoi de un conjunto simétrico de Delone . El espacio euclidiano tridimensional se puede llenar completamente con copias de cualquiera de estas formas, sin superposiciones. El panal resultante tendrá simetrías que llevarán cualquier copia del plesioedro a cualquier otra copia.
Los plesioedros incluyen formas tan conocidas como el cubo , el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico y el octaedro truncado . La mayor cantidad de caras que puede tener un plesioedro es 38.
Definición
Un conjunto de puntos en el espacio euclidiano es un conjunto de Delone si existe un número tal que cada dos puntos de están al menos a distancia separados unos de otros y de modo que cada punto del espacio esté a distancia de al menos un punto en . Entoncesllena el espacio, pero sus puntos nunca se acercan demasiado entre sí. Para que esto sea ciertodebe ser infinito. Además, el conjunto es simétrico (en el sentido necesario para definir un plesioedro) si, por cada dos puntos y de , existe un movimiento rígido del espacio que toma a y a . Es decir, las simetrías de actuar transitivamente sobre. [1]
El diagrama de Voronoi de cualquier conjunto de puntos divide el espacio en regiones llamadas celdas de Voronoi que están más cerca de un punto dado de que a cualquier otro. Cuándo es un conjunto de Delone, la celda de Voronoi de cada punto en es un poliedro convexo . Las caras de este poliedro se encuentran en los planos que bisecan perpendicularmente los segmentos de línea de a otros puntos cercanos de . [2]
Cuándo es simétrica además de ser Delone, las células de Voronoi deben ser todas congruentes entre sí, para las simetrías detambién deben ser simetrías del diagrama de Voronoi. En este caso, el diagrama de Voronoi forma un panal en el que solo hay una única forma de prototipo , la forma de estas células de Voronoi. Esta forma se llama plesioedro. El mosaico generado de esta manera es isoédrico , lo que significa que no solo tiene un único prototipo ("monoédrico") sino que también puede llevar cualquier copia de este mosaico a cualquier otra copia mediante una simetría del mosaico. [1]
Al igual que con cualquier poliedro que llena el espacio, el invariante de Dehn de un plesioedro es necesariamente cero. [3]
Ejemplos de
Los plesioedros incluyen los cinco paralelosedros . Estos son poliedros que pueden enlosar el espacio de tal manera que cada mosaico es simétrico a cada otro mosaico por una simetría de traslación, sin rotación. De manera equivalente, son las celdas de celosías de Voronoi , ya que son los conjuntos de Delone traslacionalmente simétricos. Plesiohedra son un caso especial de la stereohedra , los prototeselados de embaldosados isohedral en términos más generales. [1] Por esta razón (y porque los diagramas de Voronoi también se conocen como teselaciones de Dirichlet) también se les ha llamado "estereoedros de Dirichlet" [4]
Solo hay un número finito de tipos combinatorios de plesioedro. Los plesioedros individuales notables incluyen:
- Los cinco paralelosedros: el cubo (o más generalmente el paralelepípedo ), prisma hexagonal , dodecaedro rómbico , dodecaedro alargado y octaedro truncado . [5]
- El prisma triangular , el prototipo del panal prismático triangular . [6] De manera más general, cada uno de los 11 tipos de mosaicos de Laves del plano mediante polígonos convexos congruentes (y cada uno de los subtipos de estos mosaicos con diferentes grupos de simetría) se puede realizar como las celdas de Voronoi de un conjunto simétrico de Delone en el plano. . [7] Se deduce que los prismas sobre cada una de estas formas son plesioedros. Además de los prismas triangulares, estos incluyen prismas sobre ciertos cuadriláteros, pentágonos y hexágonos.
- El gyrobifastigium es un estereoedro, pero no un plesioedro, porque los puntos en los centros de las células de su mosaico cara a cara (donde se ven obligados a ir por simetría) tienen células de Voronoi de formas diferentes. Sin embargo, una versión aplanada del gyrobifastigium, con caras formadas por triángulos rectángulos isósceles y rectángulos plateados , es un plesioedro.
- El triakis truncado tetraedro , el prototipo del triakis truncado tetraédrico panal y el plesioedro generado por la red de diamantes [1]
- El dodecaedro trapezo -rómbico , el prototipo del panal del dodecaedro trapezo -rómbico y el plesioedro generado por el empaquetamiento hexagonal cerrado
- Las celdas de Voronoi de 17 lados del gráfico de Laves [8]
Se conocen muchos otros plesioedros. Dos diferentes con el mayor número conocido de caras, 38, fueron descubiertos por el cristalógrafo Peter Engel. [1] [9] Durante muchos años, el número máximo de caras de un plesioedro fue un problema abierto , [10] [4] pero el análisis de las posibles simetrías del espacio tridimensional ha demostrado que este número es como máximo 38. [ 11]
Las celdas de Voronoi de puntos espaciados uniformemente en un espacio de relleno de hélice , son todas congruentes entre sí y se puede hacer que tengan un número arbitrariamente grande de caras. [12] Sin embargo, los puntos en una hélice no son un conjunto de Delone y sus células de Voronoi no son poliedros acotados.
Schmitt ofrece una encuesta moderna. [11]
Referencias
- ^ a b c d e Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980), "Tilings with congruent tiles", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 3 (3): 951–973, doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178.
- ^ Aurenhammer, Franz (septiembre de 1991), "Diagramas de Voronoi: un estudio de una estructura de datos geométricos fundamentales", ACM Computing Surveys , 23 (3): 345–405, doi : 10.1145 / 116873.116880. Consulte especialmente la sección 1.2.1, "Sitios colocados con regularidad", págs. 354–355.
- ^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Politopos que llenany congruencia de tijeras ", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007 / BF02574064 , MR 1318797.
- ^ a b Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), "Sobre el número de facetas del estereoedro de Dirichlet IV tridimensional: grupos de un cuarto cúbico", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237-263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007 / s13366 -011-0010-5 , MR 2842627.
- ^ Erdahl, RM (1999), "Zonotopes, dados y la conjetura de Voronoi sobre los paralelosedros", European Journal of Combinatorics , 20 (6): 527–549, doi : 10.1006 / eujc.1999.0294 , MR 1703597. Voronoi conjeturó que todas las teselaciones de espacios dimensionales superiores por traslados de un politopo convexo son combinatoriamente equivalentes a las teselaciones de Voronoi, y Erdahl lo demuestra en el caso especial de los zonótopos . Pero, como escribe (p. 429), Delaunay ya había probado la conjetura de Voronoi para dimensiones como máximo cuatro. Para la clasificación de los paralelosedros tridimensionales en estos cinco tipos, véase Grünbaum y Shephard (1980) .
- ^ Pugh, Anthony (1976), " Poliedros compactos" , Poliedros: un enfoque visual , University of California Press, Berkeley, California-Londres, págs. 48-50, MR 0451161.
- ^ Delone, BN ; Dolbilin, NP; Štogrin, MI (1978), "Teoría combinatoria y métrica de los planigones", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 148 : 109-140, 275, MR 0558946.
- ^ Schoen, Alan H. (junio-julio de 2008), "On the graph (10,3) -a" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (6): 663.
- ^ Engel, Peter (1981), "Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie , 154 (3-4): 199-215, bibcode : 1981ZK .... 154..199E , doi : 10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199 , MR 0598811.
- ^ Shephard, GC (1985), "69.14 Relleno de espacio con sólidos simétricos idénticos", The Mathematical Gazette , 69 (448): 117–120, doi : 10.2307 / 3616930 , JSTOR 3616930.
- ^ a b Schmitt, Moritz (2016), sobre grupos espaciales y estereoedros de Dirichlet-Voronoi.
- ^ Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Familias vecinas arbitrariamente grandes de 3-politopos convexos simétricos congruentes", Geometría discreta , Monogr. Libros de texto Pure Appl. Math., 253 , Dekker, Nueva York, págs. 267–278, arXiv : math / 0106095 , Bibcode : 2001math ...... 6095E , MR 2034721.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Poliedro que llena el espacio" , MathWorld