En la topología algebraica , una esfera de homología es un n - múltiple de X que tiene los grupos de homología de un n - esfera , para algún entero. Es decir,
y
- para todos los demás i .
Por lo tanto, X es un espacio conectado , con un número Betti más alto distinto de cero , a saber,. De ello no se sigue que X esté simplemente conectado , solo que su grupo fundamental sea perfecto (ver el teorema de Hurewicz ).
Una esfera de homología racional se define de manera similar pero usando homología con coeficientes racionales.
Esfera de homología de Poincaré
La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de una esfera de homología, construida por primera vez por Henri Poincaré . Al ser un 3-múltiple esférico , es la única 3-esfera de homología (además de la 3-esfera misma) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene el orden 120. Esto muestra que existen 3-variedades con los mismos grupos de homología que la 3-esfera que no son homeomórficas para ella.
Construcción
Una construcción simple de este espacio comienza con un dodecaedro . Cada cara del dodecaedro se identifica con su cara opuesta, utilizando un giro mínimo en el sentido de las agujas del reloj para alinear las caras. Al pegar cada par de caras opuestas mediante esta identificación se obtiene una variedad tridimensional cerrada. (Ver el espacio Seifert-Weber para una construcción similar, usando más "torsión", que da como resultado un 3-múltiple hiperbólico ).
Alternativamente, la esfera de homología de Poincaré se puede construir como el espacio cociente SO (3) / I donde I es el grupo icosaédrico (es decir, el grupo de simetría rotacional del icosaedro regular y el dodecaedro, isomorfo al grupo alterno ). De manera más intuitiva, esto significa que la esfera de homología de Poincaré es el espacio de todas las posiciones geométricamente distinguibles de un icosaedro (con centro y diámetro fijos) en el espacio tridimensional euclidiano. En su lugar, también se puede pasar a la cobertura universal de SO (3) que se puede realizar como el grupo de cuaterniones unitarios y es homeomorfo a la 3-esfera. En este caso, la esfera de homología de Poincaré es isomorfa a dónde es el grupo icosaédrico binario , la doble cubierta perfecta de I incrustado en.
Otro enfoque es la cirugía de Dehn . La esfera de homología de Poincaré es el resultado de una cirugía +1 en el nudo del trébol de la mano derecha .
Cosmología
En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo de microondas cósmico observada durante un año por la nave espacial WMAP llevó a la sugerencia, por Jean-Pierre Luminet del Observatoire de Paris y sus colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré. [1] [2] En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones de la nave espacial WMAP. [3] A partir de 2016, la publicación del análisis de datos de la nave espacial Planck sugiere que no existe una topología no trivial observable en el universo. [4]
Construcciones y ejemplos
- La cirugía en un nudo en las 3 esferas S 3 con encuadre +1 o -1 da una esfera de homología.
- De manera más general, la cirugía en un enlace da una esfera de homología siempre que la matriz dada por los números de intersección (fuera de la diagonal) y los marcos (en la diagonal) tenga un determinante +1 o -1.
- Si p , q , y r son enteros positivos pares relativamente primo, entonces el enlace de la singularidad x p + y q + z r = 0 (en otras palabras, la intersección de un pequeño 5-esfera alrededor de 0 con esta superficie compleja) es una variedad de Brieskorn que es una homología de 3 esferas, llamada Brieskorn de 3 esferas Σ ( p , q , r ). Es homeomorfa a la 3-esfera estándar si uno de p , q , y r es 1, y Σ (2, 3, 5) es la esfera de Poincaré.
- La suma conectada de dos 3 esferas de homología orientadas es una 3 esferas de homología. Una 3-esfera de homología que no se puede escribir como una suma conectada de dos 3-esferas de homología se llama irreducible o prima , y cada 3-esfera de homología se puede escribir como una suma conectada de 3-esferas de homología prima de una manera esencialmente única. (Consulte Descomposición de cebado (3 distribuidores)) .
- Suponer que son números enteros, todos al menos 2, de modo que dos cualesquiera sean coprimos. Entonces el espacio de fibra Seifert
- sobre la esfera con fibras excepcionales de grados a 1 , ..., a r es una esfera de homología, donde las b se eligen de modo que
- (Siempre hay una manera de elegir b ′ s, y la esfera de homología no depende (hasta el isomorfismo) de la elección de b ′ s.) Si r es como máximo 2, esta es solo la esfera 3 habitual; de lo contrario, son esferas de homología distintas no triviales. Si las a son 2, 3 y 5, esto da la esfera de Poincaré. Si hay al menos 3 a ′ s, no 2, 3, 5, entonces esta es una homología acíclica de 3 esferas con un grupo fundamental infinito que tiene una geometría de Thurston modelada en la cubierta universal de SL 2 ( R ) .
Invariantes
- El invariante de Rokhlin es un-valuado invariante de homología 3-esferas.
- El invariante de Casson es un invariante de valor entero de 3 esferas de homología, cuya reducción mod 2 es el invariante de Rokhlin.
Aplicaciones
Si A es una 3-esfera de homología no homeomórfica a la 3-esfera estándar, entonces la suspensión de A es un ejemplo de una variedad de homología de 4 dimensiones que no es una variedad topológica . La doble suspensión de A es homeomorfa a la 5-esfera estándar, pero su triangulación (inducida por alguna triangulación de A ) no es una variedad PL . En otras palabras, esto da un ejemplo de un complejo simplicial finito que es una variedad topológica pero no una variedad PL. (No es una variedad PL porque el enlace de un punto no siempre es de 4 esferas).
Galewski y Stern demostraron que todas las variedades topológicas compactas (sin límite) de dimensión al menos 5 son homeomórficas a los complejos simpliciales si y solo si hay una esfera de homología 3 Σ con el invariante de Rokhlin 1 tal que la suma conectada Σ # Σ de Σ consigo misma limita un acíclico suave de 4 colectores. Como de 2013[actualizar]la existencia de una 3-esfera de homología de este tipo era un problema sin resolver. El 11 de marzo de 2013, Ciprian Manolescu publicó una preimpresión en ArXiv [5] afirmando que no existe tal esfera de homología con la propiedad dada, y por lo tanto, hay 5-variedades no homeomorfas a complejos simpliciales. En particular, el ejemplo dado originalmente por Galewski y Stern (ver Galewski y Stern, A universal 5-manifold con respecto a triangulaciones simpliciales, en Geometric Topology (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, Nueva York, págs –350)) no es triangulable.
Ver también
- Espacio Eilenberg – MacLane
- Espacio de Moore (topología algebraica)
Referencias
- ^ "¿Es el universo un dodecaedro?" , artículo en PhysicsWorld.
- ^ Luminet, Jean-Pierre ; Weeks , Jeff]]; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (9 de octubre de 2003). "Topología espacial dodecaédrica como explicación de las correlaciones de temperatura de gran angular débiles en el fondo cósmico de microondas". Naturaleza . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph / 0310253 . Código bibliográfico : 2003Natur.425..593L . doi : 10.1038 / nature01944 . PMID 14534579 .
- ^ Roukema, Boudewijn; Buliński, Zbigniew; Szaniewska, Agnieszka; Gaudin, Nicolas E. (2008). "Una prueba de la hipótesis de la topología del espacio dodecaédrico de Poincaré con los datos de WMAP CMB". Astronomía y Astrofísica . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Bibcode : 2008A & A ... 482..747L . doi : 10.1051 / 0004-6361: 20078777 .
- ^ Planck Collaboration, " Resultados de Planck 2015. XVIII. Geometría y topología de fondo ", (2015) ArXiv 1502.01593
- ^ Manolescu, Ciprian. "Pin (2) -equivariante de homología de Seiberg-Witten Floer y la conjetura de triangulación". arXiv : 1303.2354 . A aparecer en Journal of the AMS.
Lectura seleccionada
- Dror, Emmanuel (1973). "Esferas de homología". Revista de Matemáticas de Israel . 15 : 115-129. Señor 0328926 .
- David Galewski, Ronald Stern Clasificación de triangulaciones simpliciales de variedades topológicas , Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, págs. 1-34.
- Robion Kirby , Martin Scharlemann, Ocho caras de la 3-esfera de homología de Poincaré . Topología geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), págs. 113-146, Academic Press , Nueva York-Londres, 1979.
- Kervaire, Michel (1969). "Esferas de homología suave y sus grupos fundamentales". Transacciones de la American Mathematical Society . 144 : 67–72. JSTOR 1995269 . Señor 0253347 .
- Nikolai Saveliev, Invariantes de homología de 3 esferas , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 140. Topología de baja dimensión, I. Springer-Verlag, Berlín, 2002. MR1941324ISBN 3-540-43796-7
enlaces externos
- Una triangulación de 16 vértices de la homología de Poincaré de 3 esferas y esferas no PL con pocos vértices por Anders Björner y Frank H. Lutz
- Conferencia de David Gillman sobre La mejor imagen de la esfera de homología de Poincaré