Integral de Riemann-Liouville

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En matemáticas , la integral de Riemann-Liouville asocia con una función real otra función I ^α f del mismo tipo para cada valor del parámetro α > 0 . La integral es una forma de generalización de la antiderivada repetida de f en el sentido de que para valores enteros positivos de α , I ^α f es una antiderivada iterada de f de orden α . La integral de Riemann-Liouville lleva el nombre de Bernhard Riemann y Joseph Liouville${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ , el último de los cuales fue el primero en considerar la posibilidad del cálculo fraccional en 1832. ^{[1] [2] [3] [4]} El operador concuerda con la transformada de Euler , después de Leonhard Euler , cuando se aplica a funciones analíticas . ^[5] Fue generalizado a dimensiones arbitrarias por Marcel Riesz , quien introdujo el potencial de Riesz .

Definición

La integral de Riemann-Liouville se define por

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$

donde Γ es la función gamma y a es un punto base arbitrario pero fijo. La integral está bien definida siempre que f sea ​​una función integrable localmente y α sea ​​un número complejo en el semiplano Re ( α )> 0 . La dependencia del punto base a a menudo se suprime y representa una libertad en constante integración . Claramente I ¹ f es una antiderivada de f (de primer orden), y para valores enteros positivos de α , I ^α f es una antiderivada de orden α según la fórmula de Cauchy para la integración repetida . Otra notación, que enfatiza el punto base, es ^[6]

${\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

Esto también tiene sentido si a = −∞ , con restricciones adecuadas en f .

Las relaciones fundamentales se mantienen

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

el último de los cuales es una propiedad semigrupo . ^[1] Estas propiedades hacen posible no solo la definición de integración fraccional, sino también de diferenciación fraccional, tomando suficientes derivadas de I ^α f .

Propiedades

Fije un intervalo acotado ( a , b ) . El operador I ^α asocia a cada función integrable f en ( a , b ) la función I ^α f en ( a , b ) que también es integrable por el teorema de Fubini . Por lo tanto, I ^α define un operador lineal en L 1 ( a , b ) :

${\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}$

El teorema de Fubini también muestra que este operador es continuo con respecto a la estructura del espacio de Banach en L ¹ , y que se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Aquí ‖ · ‖ ₁ denota la norma en L ¹ ( a , b ) .

De manera más general, por la desigualdad de Hölder , se deduce que si f ∈ L ^p ( a , b ) , entonces I ^α f ∈ L ^p ( a , b ) también, y la desigualdad análoga se cumple

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\frac {\Re (\alpha )}{p}}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}$

donde ‖ · ‖ _p es la norma L p en el intervalo ( a , b ) . Por lo tanto, tenemos un operador lineal acotado I ^α  : L ^p ( a , b ) → L ^p ( a , b ) . Además, I ^α f → f en el sentido de L ^p como α → 0 a lo largo del eje real. Es decir

${\displaystyle {\underset {\alpha >0}{\lim _{\alpha \to 0}}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

para todo p ≥ 1 . Además, al estimar la función máxima de I , se puede demostrar que el límite I ^α f → f se mantiene puntual en casi todas partes .

El operador I ^α está bien definido en el conjunto de funciones integrables localmente en toda la línea real . Define una transformación limitada en cualquiera de los espacios de Banach de funciones de tipo exponencial que consisten en funciones localmente integrables para el cual la norma${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt),}$

${\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

es finito. Para f ∈ X _σ , la transformada de Laplace de I ^α f toma la forma particularmente simple

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}$

para Re ( s )> σ . Aquí F ( s ) denota la transformada de Laplace de f , y esta propiedad expresa que I ^α es un multiplicador de Fourier .

Derivados fraccionales

También se pueden definir derivadas de f en orden fraccionario mediante

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}$

donde ⌈ · ⌉ denota la función de techo . También se obtiene una differintegral interpolación entre la diferenciación y la integración mediante la definición

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}$

Caputo introdujo una derivada fraccionaria alternativa en 1967, ^[7] y produce una derivada que tiene diferentes propiedades: produce cero a partir de funciones constantes y, lo que es más importante, los términos de valor inicial de la transformada de Laplace se expresan mediante los valores de esa función y de su derivada de orden entero en lugar de las derivadas de orden fraccionario como en la derivada de Riemann-Liouville. ^[8] La derivada fraccionaria de Caputo con punto base x , es entonces:

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.}$

Otra representación es:

${\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}$

Notas

1. Lizorkin, 2001 harvnb error: no target: CITEREFLizorkin2001 (help)
2. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions" , Journal de l'École Polytechnique , París, 13 : 1-69.
3. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques" , Journal de l'École Polytechnique , París, 13 : 71-162.
4. Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1896) [1847], "Versuch einer allgemeinen Auffassung der integration und differentiation", en Weber, H. (ed.), Gesammelte Mathematische Werke , Leipzig.
5. Brychkov y Prudnikov 2001 harvnb error: no target: CITEREFBrychkovPrudnikov2001 (help)
6. Miller y Ross 1993 , p. 21
7. Caputo 1967
8. Loverro 2004

Referencias

• Brychkov, Yu.A .; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Transformación de Euler" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Caputo, Michele (1967), "Modelo lineal de disipación cuyo Q es casi independiente de la frecuencia. II", Geophysical Journal International , 13 (5): 529–539, Bibcode : 1967GeoJ ... 13..529C , doi : 10.1111 / j.1365-246x.1967.tb02303.x.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Lizorkin, PI (2001) [1994], "Integración fraccionada y diferenciación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Loverro, Adam (2004-05-08), Cálculo fraccional: Historia, definiciones y aplicaciones para el ingeniero (PDF) , Notre Dame, IN: Universidad de Notre Dame
• Miller, Kenneth S .; Ross, Bertram (1993), Introducción al cálculo fraccional y ecuaciones diferenciales fraccionales , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 (1): 1–223, doi : 10.1007 / BF02395016 , ISSN  0001-5962 , MR  0030102.

enlaces externos

• Alan Beardon (2000). "Cálculo fraccional II" . Universidad de Cambridge.
• Alan Beardon (2000). "Cálculo fraccional III" . Universidad de Cambridge.