5 celdas | 5 celdas runcinadas |
Runcitruncado de 5 celdas | Omnitruncated 5 celdas (Runcicantitruncated 5 celdas) |
Proyecciones ortogonales en el plano A 4 Coxeter |
---|
En la geometría de cuatro dimensiones , un 5-celdas runcinadas es un 4-politopo uniforme convexo , que es una runcinación (un truncamiento de tercer orden, hasta el cepillado frontal ) de las 5 celdas regulares .
Hay 3 grados únicos de runcinaciones de 5 celdas, incluso con permutaciones, truncamientos y cantelaciones.
5 celdas runcinadas
5 celdas runcinadas | ||
Diagrama de Schlegel con la mitad de las células tetraédricas visibles. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 0,3 {3,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | o o | |
Células | 30 | 10 ( 3.3.3 ) 20 ( 3.4.4 ) |
Caras | 70 | 40 {3} 30 {4} |
Bordes | 60 | |
Vértices | 20 | |
Figura de vértice | (Antiprisma triangular equilátero alargado) | |
Grupo de simetría | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], orden 240 | |
Propiedades | convexo , isotoxal isogonal | |
Índice uniforme | 4 5 6 |
El prismatodecacoron de 5 células runcinado o pequeño se construye expandiendo las células de un 5 células radialmente y llenando los espacios con prismas triangulares (que son los prismas de la cara y las figuras de los bordes) y tetraedros (células de las 5 células duales). Consta de 10 tetraedros y 20 prismas triangulares. Los 10 tetraedros se corresponden con las células de una de 5 células y su dual.
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [[3,3,3]], hay solo una forma geométrica, que contiene 10 tetraedros y 20 prismas triangulares uniformes. Los rectángulos son siempre cuadrados porque los dos pares de aristas corresponden a las aristas de los dos conjuntos de 5 tetraedros regulares cada uno en orientación dual, que se igualan bajo simetría extendida.
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular.
Nombres alternativos
- Runcinated 5-celdas ( Norman Johnson )
- Pentacoron runcinado
- Runcinado 4-simplex
- Ampliado de 5 celdas / 4 símplex / pentacoron
- Prismatodecachoron pequeño (Acrónimo: Spid) (Jonathan Bowers)
Estructura
Dos de las diez células tetraédricas se encuentran en cada vértice. Los prismas triangulares se encuentran entre ellos, unidos a ellos por sus caras triangulares y entre sí por sus caras cuadradas. Cada prisma triangular está unido a sus prismas triangulares vecinos en anti- orientación (es decir, si los bordes A y B en la cara cuadrada compartida están unidos a las caras triangulares de un prisma, entonces son los otros dos bordes los que están unidos a las caras triangulares del otro prisma); así, cada par de prismas adyacentes, si se gira en el mismo hiperplano , formaría un gyrobifastigium .
Disección
Las 5 células runcinadas se pueden disecar mediante un cuboctaedro central en dos cúpulas tetraédricas . Esta disección es análoga a la disección del cuboctaedro 3D mediante un hexágono central en dos cúpulas triangulares .
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
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Grafico | |||
Simetría diedro | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Vista interior de un diagrama de Schlegel de proyección de 3 esferas con sus 10 células tetraédricas | Neto |
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una 5 celdas runcinadas centradas en el origen con una longitud de borde 2 son:
Se puede hacer un conjunto alternativo de coordenadas más simple en 5 espacios, como 20 permutaciones de:
- (0,1,1,1,2)
Esta construcción existe como una de las 32 facetas ortopédicas del 5-ortoplex runcinado .
Una segunda construcción en el espacio 5, desde el centro de un ortoplex 5 rectificado viene dada por permutaciones de coordenadas de:
- (1, -1,0,0,0)
Vectores de raiz
Sus 20 vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple A 4 . También es la figura del vértice del panal de 5 celdas en 4 espacios.
Secciones cruzadas
La sección transversal máxima de las 5 células runcinadas con un hiperplano tridimensional es un cuboctaedro . Esta sección transversal divide las 5 células runcinadas en dos hipercupolas tetraédricas que constan de 5 tetraedros y 10 prismas triangulares cada una.
Proyecciones
La proyección ortográfica del primer tetraedro de las 5 células runcinadas en el espacio tridimensional tiene una envoltura cuboctaédrica . La estructura de esta proyección es la siguiente:
- La envoltura cuboctaédrica se divide internamente de la siguiente manera:
- Cuatro tetraedros aplanados unen 4 de las caras triangulares del cuboctaedro a un tetraedro central. Estas son las imágenes de 5 de las células tetraédricas.
- Las 6 caras cuadradas del cuboctaedro se unen a los bordes del tetraedro central mediante prismas triangulares distorsionados. Estas son las imágenes de 6 de las celdas del prisma triangular.
- Las otras 4 caras triangulares están unidas al tetraedro central a través de 4 prismas triangulares (distorsionados por proyección). Estas son las imágenes de otras 4 de las celdas del prisma triangular.
- Esto representa la mitad de las 5 células runcinadas (5 tetraedros y 10 prismas triangulares), que pueden considerarse como el "hemisferio norte".
- La otra mitad, el 'hemisferio sur', corresponde a una división isomorfa del cuboctaedro en orientación dual, en la que el tetraedro central es dual al de la primera mitad. Las caras triangulares del cuboctaedro unen los prismas triangulares de un hemisferio con los tetraedros aplanados del otro hemisferio y viceversa. Por lo tanto, el hemisferio sur contiene otros 5 tetraedros y otros 10 prismas triangulares, lo que hace un total de 10 tetraedros y 20 prismas triangulares.
Poliedro de sesgo relacionado
El poliedro de sesgo regular , {4,6 | 3}, existe en 4 espacios con 6 cuadrados alrededor de cada vértice, en una figura de vértice no plana en zigzag. Estas caras cuadradas se pueden ver en las 5 celdas runcinadas, usando las 60 aristas y 20 vértices. Las 40 caras triangulares de las 5 celdas runcinadas pueden verse como eliminadas. El poliedro de sesgo regular dual, {6,4 | 3}, está relacionado de manera similar con las caras hexagonales de las 5 celdas bitruncadas .
Runcitruncado de 5 celdas
Runcitruncado de 5 celdas | ||
Se muestra el diagrama de Schlegel con células cuboctaédricas | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {3,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | ||
Células | 30 | 5 (3.6.6) 10(4.4.6) 10(3.4.4) 5(3.4.3.4) |
Caras | 120 | 40 {3} 60 {4} 20 {6} |
Bordes | 150 | |
Vértices | 60 | |
Figura de vértice | (Pirámide rectangular) | |
Grupo Coxeter | A 4 , [3,3,3], orden 120 | |
Propiedades | convexo , isogonal | |
Índice uniforme | 7 8 9 |
El pentacoron runcitruncado de 5 celdas o prismatorhombated se compone de 60 vértices, 150 aristas, 120 caras y 30 celdas. Las celdas son: 5 tetraedros truncados , 10 prismas hexagonales , 10 prismas triangulares y 5 cuboctaedros . Cada vértice está rodeado por cinco celdas: un tetraedro truncado, dos prismas hexagonales, un prisma triangular y un cuboctaedro; la figura del vértice es una pirámide rectangular.
Nombres alternativos
- Pentacoron truncado
- Runcitruncado 4-simplex
- Diprismatodispentachoron
- Prismatorhombated pentachoron (Acrónimo: prip) (Jonathan Bowers)
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
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Grafico | |||
Simetría diedro | [5] | [4] | [3] |
Diagrama de Schlegel con sus 40 caras triangulares azules y sus 60 cuadrículas verdes. | Parte central del diagrama de Schlegel. |
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de una secuencia de 5 celdas truncada centrada en el origen que tiene una longitud de borde 2 son:
Coordenadas | ||
---|---|---|
Los vértices se pueden construir de manera más simple en un hiperplano en el espacio 5, como las permutaciones de:
- (0,1,1,2,3)
Esta construcción es de la faceta ortopédica positiva del 5-ortoplex runcitruncado .
Omnitruncado de 5 celdas
Omnitruncado de 5 celdas | ||
Diagrama de Schlegel con la mitad de las celdas octaédricas truncadas mostradas. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {3,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | o o | |
Células | 30 | 10 (4.6.6) 20(4.4.6) |
Caras | 150 | 90 {4} 60 {6} |
Bordes | 240 | |
Vértices | 120 | |
Figura de vértice | Disfenoide fílico | |
Grupo Coxeter | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], orden 240 | |
Propiedades | convexo , isogonal , zonotopo | |
Índice uniforme | 8 9 10 |
El prismatodecacoron omnitruncado de 5 celdas o gran se compone de 120 vértices, 240 aristas, 150 caras (90 cuadrados y 60 hexágonos ) y 30 celdas. Las celdas son: 10 octaedros truncados y 20 prismas hexagonales . Cada vértice está rodeado por cuatro celdas: dos octaedros truncados y dos prismas hexagonales, dispuestos en dos figuras fílicas de vértice difenoidal .
Coxeter llama a este politopo de Hinton en honor a CH Hinton , quien lo describió en su libro The Fourth Dimension en 1906. Forma un panal uniforme que Coxeter llama panal de Hinton . [1]
Nombres alternativos
- Omnitruncado de 5 celdas
- Omnitruncated pentachoron
- Omnitruncado 4-simplex
- Gran prismatodecachoron (Acrónimo: gippid) (Jonathan Bowers)
- Politopo de Hinton ( Coxeter )
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Omnitruncado de 5 celdas | De doble a omnitruncado de 5 celdas |
Proyecciones de perspectiva
Diagrama de Schlegel en perspectiva Centrado en un octaedro truncado | Proyección estereográfica |
Permutoedro
Así como el octaedro truncado es el permutoedro de orden 4, el omnitruncado de 5 celdas es el permutoedro de orden 5. [2] El omnitruncado de 5 celdas es un zonótopo , la suma de Minkowski de cinco segmentos paralelos a las cinco líneas a través origen y los cinco vértices de la celda de 5.
Teselaciones
El panal omnitruncado de 5 celdas puede teselar el espacio de 4 dimensiones mediante copias traslacionales de esta celda, cada una con 3 hipercélulas alrededor de cada cara. El diagrama de Coxeter de este panal es. [3] A diferencia del panal análogo en tres dimensiones, el panal cúbico bitruncado que tiene tres construcciones Wythoff del grupo Coxeter diferentes , este panal tiene una sola construcción de este tipo. [1]
Simetría
La 5-celda omnitruncada tiene simetría pentacorica extendida, [[3,3,3]], orden 240. La figura del vértice de la 5-celda omnitruncada representa el tetraedro Goursat del grupo [3,3,3] Coxeter . La simetría extendida proviene de una rotación de 2 veces a través de la rama de orden 3 medio, y se representa más explícitamente como [2 + [3,3,3]].
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda 5 omnitruncada centrada en el origen que tiene una longitud de borde 2 son:
Estos vértices se pueden obtener de forma más sencilla en el espacio 5 como las 120 permutaciones de (0,1,2,3,4). Esta construcción es de la faceta ortopédica positiva del 5-ortoplex runcicantitruncado , t 0,1,2,3 {3,3,3,4},.
Politopos relacionados
Las variantes no uniformes con simetría [3,3,3] y dos tipos de octaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de octaedros truncados entre sí para producir un policorón no uniforme con 10 octaedros truncados , dos tipos de 40 prismas hexagonales (20 ditrigonales prismas y 20 trapezoprismas ditrigonales), dos tipos de 90 trapezoprismas rectangulares (30 con simetría D 2d y 60 con simetría C 2v ) y 240 vértices. Su figura de vértice es una bipirámide triangular irregular .
Figura de vértice
Este policorón se puede alternar para producir otro policorón no uniforme con 10 icosaedros , dos tipos de 40 octaedros (20 con simetría S 6 y 20 con simetría D 3 ), tres tipos de 210 tetraedros (30 difenoides tetragonales, 60 disfenoides fílicos y 120 tetraedros irregulares) y 120 vértices. Tiene una simetría de [[3,3,3] + ], orden 120.
Figura de vértice
5 celdas totalmente desaire
El total de 5 celdas desaire u omnisnub 5 celdas , definido como una alternancia de las 5 celdas omnitruncadas, no se puede uniformar, pero se le puede dar un diagrama de Coxeter., y simetría [[3,3,3]] + , orden 120, y construido a partir de 90 celdas: 10 icosaedros , 20 octaedros y 60 tetraedros llenando los espacios en los vértices eliminados. Tiene 300 caras (triángulos), 270 aristas y 60 vértices.
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [[3,3,3]] + , los 10 icosaedros tienen simetría T (tetraédrica quiral), mientras que los 20 octaedros tienen simetría D 3 y los 60 tetraedros tienen simetría C 2 . [4]
Politopos relacionados
Estos politopos son parte de una familia de 9 politopos uniformes 4 construidos a partir del grupo [3,3,3] Coxeter .
Nombre | 5 celdas | truncado de 5 celdas | rectificado de 5 celdas | 5 celdas canteladas | bitruncado de 5 celdas | 5 celdas cantitruncadas | runcinated de 5 celdas | runcitruncated 5 celdas | omnitruncado de 5 celdas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Schläfli | {3,3,3} 3r {3,3,3} | t {3,3,3} 2t {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2t {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | t 0,3 {3,3,3} | t 0,1,3 {3,3,3} t 0,2,3 {3,3,3} | t 0,1,2,3 {3,3,3} |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Diagrama de Schlegel | |||||||||
Un gráfico de 4 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 3 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 2 planos de Coxeter |
Notas
- ^ a b La belleza de la geometría: Doce ensayos (1999), Publicaciones de Dover, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (La clasificación de Zonohededra, página 73)
- ^ El permutaedro de orden 5
- ^ George Olshevsky, Tetracumbas panoploides uniformes , manuscrito (2006): enumera la teselación como [140 de 143] Tetracomb gran prismatodecachórico (panal 4d pentachórico omnitruncado)
- ^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s3s.htm
Referencias
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D.
- 1. Policora uniforme convexa basada en el pentacoron - Modelo 5, 8 y 9 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora)" . o3x3x3o - spid, x3x3o3x - prip, x3x3x3x - gippid
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |