En matemáticas , específicamente en la topología algebraica , semilocalmente simplemente conectado es una cierta condición de conectividad local que surge en la teoría de los espacios de cobertura . En términos generales, un espacio topológico X es semi-localmente conecta simplemente si hay un límite inferior en el tamaño de los “agujeros” en X . Esta condición es necesaria para la mayor parte de la teoría de los espacios de cobertura, incluida la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois entre los espacios de cobertura y los subgrupos del grupo fundamental .
La mayoría de los espacios "agradables", como los colectores y los complejos CW, están conectados de forma semilocal y sencilla, y los espacios topológicos que no satisfacen esta condición se consideran algo patológicos . El ejemplo estándar de un espacio simplemente conectado no semi-localmente es el pendiente hawaiano .
Definición
Un espacio X se llama semi-localmente simplemente conectado si cada punto en X tiene una vecindad U con la propiedad de que cada bucle en U puede contraerse a un solo punto dentro de X (es decir, cada bucle en U es nulo homotópico en X ). El barrio U no necesitan estar conectados simplemente : si cada bucle en U debe ser contráctil dentro de X , la contracción no está obligado a tener lugar en el interior de la U . Por esta razón, un espacio se puede conectar de forma semi-local simplemente sin estar conectado localmente (ver #Ejemplos ).
Equivalente a esta definición, un espacio X está semi-localmente simplemente conectado si cada punto en X tiene un vecindario U para el cual el homomorfismo del grupo fundamental de U al grupo fundamental de X , inducido por el mapa de inclusión de U en X , es trivial.
La mayor parte de los principales teoremas sobre cubriendo los espacios , incluyendo la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois, requieren un espacio para ser path-conectado , localmente trayectoria-conectado , y semi-localmente simplemente conexo, una condición conocida como unloopable ( délaçable en Francés). [1] En particular, esta condición es necesaria para que un espacio tenga un espacio de cobertura simplemente conectado.
Ejemplos de
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/71/Hawaiian_earrings.svg/220px-Hawaiian_earrings.svg.png)
Un ejemplo simple de un espacio que no está conectado de forma semilocal es el pendiente hawaiano : la unión de los círculos en el plano euclidiano con centros (1 / n , 0) y radios 1 / n , para n un número natural . Dale a este espacio la topología del subespacio . Entonces, todos los vecindarios del origen contienen círculos que no son nulomotópicos .
El pendiente hawaiano también se puede utilizar para construir un espacio de conexión simple semi-local que no está conectado de forma local . En particular, el cono en el pendiente hawaiano es contraíble y, por lo tanto, está conectado de forma semilocalmente simple, pero claramente no está conectado de forma local.
Topología del grupo fundamental
En términos de la topología natural en el grupo fundamental, un espacio localmente conectado por caminos está semi-localmente simplemente conectado si y solo si su grupo fundamental cuasitopológico es discreto. [ cita requerida ]
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (2016). Topologie algébrique: Capítulos 1 a 4 . Saltador. Ch. IV págs. 339 -480. ISBN 978-3662493601.
- JS Calcut, JD McCarthy Discreción y homogeneidad del grupo topológico fundamental Topology Proceedings, vol. 34, (2009), págs. 339–349
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.