Cubicuboctaedro pequeño | |
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Tipo | Poliedro estrella uniforme |
Elementos | F = 20, E = 48 V = 24 (χ = −4) |
Caras por lados | 8 {3} +6 {4} +6 {8} |
Símbolo de Wythoff | 3/2 4 | 4 3 4/3 | 4 |
Grupo de simetría | O h , [4,3], * 432 |
Referencias de índice | U 13 , C 38 , W 69 |
Poliedro doble | Pequeño icositetraedro hexacrónico |
Figura de vértice | 4.8.3 / 2.8 |
Acrónimo de Bowers | Socco |
En geometría , el pequeño cuboctaedro cúbico es un poliedro en estrella uniforme , indexado como U 13 . Tiene 20 caras (8 triángulos , 6 cuadrados y 6 octágonos ), 48 aristas y 24 vértices. [1] Su figura de vértice es un cuadrilátero cruzado .
El pequeño cubicuboctaedro es una faceta del rombicuboctaedro . Sus caras cuadradas y sus caras octogonales son paralelas a las de un cubo , mientras que sus caras triangulares son paralelas a las de un octaedro : de ahí el nombre cubicuboctaedro . El sufijo pequeño sirve para distinguirlo del gran cubicuboctaedro cúbico , que también tiene caras en las direcciones antes mencionadas. [2]
Poliedros relacionados
Comparte su disposición de vértice con el hexaedro truncado estrellado . Además comparte su disposición de borde con el rombicuboctaedro (que tiene las caras triangulares y 6 caras cuadradas en común), y con el pequeño rombihexaedro (que tiene las caras octogonales en común).
Rombicuboctaedro | Cubicuboctaedro pequeño | Pequeño rombihexaedro | Hexaedro truncado estrellado |
Azulejos relacionados
Como sugiere la característica de Euler, el pequeño cuboctaedro cúbico es un poliedro toroidal del género 3 (topológicamente es una superficie del género 3), por lo que puede interpretarse como una inmersión (poliédrica) de una superficie poliédrica del género 3, en el complemento de su superficie. 24 vértices, en 3 espacios. (Una vecindad de cualquier vértice es topológicamente un cono en una figura-8, que no puede ocurrir en una inmersión. Tenga en cuenta que la referencia de Richter pasa por alto este hecho). El poliedro subyacente (ignorando las auto-intersecciones) define un mosaico uniforme de esta superficie, y así el pequeño cubicuboctaedro es un poliedro uniforme. En el lenguaje de los politopos abstractos , el pequeño cuboctaedro cúbico es una fiel realización de este poliedro toroidal abstracto, lo que significa que es un poliedro no degenerado y que tienen el mismo grupo de simetría. De hecho, cada automorfismo de la superficie abstracta del género 3 con este mosaico se realiza mediante una isometría del espacio euclidiano.
Las superficies de género superior (género 2 o mayor) admiten una métrica de curvatura constante negativa (según el teorema de uniformización ), y la cobertura universal de la superficie de Riemann resultante es el plano hiperbólico . El mosaico correspondiente del plano hiperbólico tiene la figura de vértice 3.8.4.8 (triángulo, octágono, cuadrado, octágono). Si a la superficie se le da la métrica apropiada de curvatura = -1, el mapa de cobertura es una isometría local y, por lo tanto, la figura del vértice abstracto es la misma. Este mosaico se puede denotar con el símbolo de Wythoff 3 4 | 4, y se muestra a la derecha.
Alternativamente y de manera más sutil, cortando cada cara cuadrada en 2 triángulos y cada cara octogonal en 6 triángulos, el pequeño cuboctaedro cúbico se puede interpretar como una coloración no regular del mosaico combinatoriamente regular (no solo uniforme ) de la superficie del género 3 mediante 56 triángulos equiláteros, que se encuentran en 24 vértices, cada uno con grado 7. [3] Este mosaico regular es significativo ya que es un mosaico del cuartico de Klein , la superficie del género 3 con la métrica más simétrica (los automorfismos de este mosaico son isometrías iguales de superficie), y el grupo de automorfismo que preserva la orientación de esta superficie es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL (2,7), equivalentemente GL (3,2) (el grupo de orden 168 de todas las isometrías que preservan la orientación). Tenga en cuenta que el pequeño cubicuboctaedro no es una realización de este poliedro abstracto, ya que solo tiene 24 simetrías que conservan la orientación (no todos los automorfismos abstractos se realizan mediante una isometría euclidiana): las isometrías del pequeño cubicuboctaedro conservan no solo el mosaico triangular, sino que también el color, y por lo tanto son un subgrupo apropiado del grupo completo de isometría.
El mosaico correspondiente del plano hiperbólico (la cubierta universal) es el mosaico triangular de orden 7 . El grupo automorphism de la quartic Klein se puede aumentar (por una simetría que no se realiza por una simetría del poliedro, a saber, "intercambio de los dos puntos extremos de los bordes que bisecan las plazas y octaedros) para producir el grupo Mathieu M 24 . [ 4]
Ver también
- Compuesto de cinco cubicuboctaedros pequeños
- Lista de poliedros uniformes
Referencias
- ^ Maeder, Roman. "13: cubicuboctaedro pequeño" . MathConsult .
- ^ Webb, Robert. "Cubicuboctaedro pequeño" . Stella: Navegador de poliedros .
- ^ a b ( Richter ) Observe que cada cara en el poliedro consta de varias caras en el mosaico, de ahí la descripción como un "color" - dos caras triangulares constituyen una cara cuadrada y así sucesivamente, según esta imagen explicativa .
- ^ ( Richter )
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , consultado el 15 de abril de 2010CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Cubicuboctaedro pequeño ( poliedro uniforme ) en MathWorld .