En la teoría matemática de la cirugía, la secuencia exacta de la cirugía es la principal herramienta técnica para calcular el conjunto de estructuras quirúrgicas de un colector compacto en dimensión.. El conjunto de estructura de cirugía de un compacto -múltiple dimensional es un conjunto puntiagudo que clasifica-variedades dimensionales dentro del tipo de homotopía de .
La idea básica es que para calcular basta con comprender los demás términos de la secuencia, que suelen ser más fáciles de determinar. Estos son, por un lado, los invariantes normales que forman grupos de cohomología generalizada y, por tanto, se pueden utilizar herramientas estándar de topología algebraica para calcularlos, al menos en principio. Por otro lado, están los grupos L que se definen algebraicamente en términos de formas cuadráticas o en términos de complejos de cadenas con estructura cuadrática. Se sabe mucho sobre estos grupos. Otra parte de la secuencia son los mapas de obstrucción quirúrgica de invariantes normales a los grupos L. Para estos mapas existen determinadas fórmulas de clases de características , que permiten calcularlas en algunos casos. El conocimiento de estos tres componentes, es decir: los mapas normales, los grupos L y los mapas de obstrucción quirúrgica es suficiente para determinar el conjunto de estructuras (al menos hasta problemas de extensión).
En la prctica, uno tiene que proceder caso por caso, para cada colector es una tarea única determinar la secuencia exacta de la cirugía, vea algunos ejemplos a continuación. También tenga en cuenta que existen versiones de la secuencia exacta de la cirugía según la categoría de colectores con los que trabajemos: colectores lisos (DIFF), PL o topológicos y si tenemos en cuenta la torsión de Whitehead o no (decoraciones o ).
El trabajo original de 1962 de Browder y Novikov sobre la existencia y singularidad de las variedades dentro de un tipo de homotopía simplemente conectado fue reformulado por Sullivan en 1966 como una secuencia exacta de cirugía . En 1970, Wall desarrolló la teoría de la cirugía no simplemente conectada y la secuencia exacta de la cirugía para variedades con grupo fundamental arbitrario .
Definición
La secuencia exacta de la cirugía se define como
dónde:
las entradas y son los grupos abelianos de invariantes normales ,
las entradas y son los grupos L asociados al anillo de grupo ,
los mapas y son los mapas de obstrucción de la cirugía ,
las flechas y se explicará a continuación.
Versiones
Hay varias versiones de la secuencia exacta de la cirugía. Se puede trabajar en cualquiera de las tres categorías de variedades: diferenciable (suave), PL, topológico. Otra posibilidad es trabajar con las decoraciones. o .
Las entradas
Invariantes normales
Un mapa normal de grado uno consta de los siguientes datos: un colector cerrado orientado dimensionalmente , un mapa que es de grado uno (eso significa ) y un mapa de paquete del haz tangente estable de a un paquete encima . Dos de estos mapas son equivalentes si existe un bordismo normal entre ellos (eso significa un bordismo de las fuentes cubiertas por datos de paquetes adecuados). Las clases de equivalencia de mapas normales de grado uno se denominan invariantes normales .
Cuando se define así, las invariantes normales son solo un conjunto puntiagudo, con el punto base dado por . Sin embargo, la construcción de Pontrjagin-Thom dauna estructura de un grupo abeliano. De hecho, tenemos una biyección no natural.
dónde denota la fibra homotopía del mapa , que es un espacio de bucle infinito y, por tanto, los mapas en él definen una teoría de cohomología generalizada. Hay identificaciones correspondientes de los invariantes normales con cuando se trabaja con colectores PL y con cuando se trabaja con variedades topológicas.
Grupos L
La -Los grupos se definen algebraicamente en términos de formas cuadráticas o en términos de complejos de cadenas con estructura cuadrática. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. Aquí sólo serán importantes las propiedades de los grupos L que se describen a continuación.
Mapas de obstrucción quirúrgica
El mapa es en primera instancia un mapa de teoría de conjuntos (que no significa necesariamente un homomorfismo) con la siguiente propiedad (cuando :
Un mapa normal de grado uno es normalmente cobordante con una equivalencia de homotopía si y solo si la imagen en .
La flecha de invariantes normales
Cualquier equivalencia de homotopía define un mapa normal de grado uno.
La flecha de obstrucción de la cirugía
Esta flecha describe de hecho una acción del grupo En el set en lugar de solo un mapa. La definición se basa en el teorema de realización de los elementos del-grupos que dicen lo siguiente:
Dejar frijol colector dimensional con y deja . Entonces existe un mapa normal de grado uno de variedades con límite
con las siguientes propiedades:
1.
2. es un difeomorfismo
3. es una equivalencia de homotopía de variedades cerradas
Dejar representar un elemento en y deja . Luego Se define como .
La exactitud
Recuerde que el conjunto de estructura quirúrgica es solo un conjunto puntiagudo y que el mapa de obstrucción quirúrgico podría no ser un homomorfismo. De ahí que sea necesario explicar lo que se quiere decir cuando se habla de "secuencia exacta". Entonces, la secuencia exacta de la cirugía es una secuencia exacta en el siguiente sentido:
Para un invariante normal tenemos si y solo si . Para dos estructuras múltiples tenemos si y solo si existe tal que . Por un elemento tenemos si y solo si .
Versiones revisadas
En la categoría topológica, el mapa de obstrucción quirúrgico puede convertirse en un homomorfismo. Esto se logra poniendo una estructura de grupo abeliana alternativa en las invariantes normales como se describe aquí . Además, la secuencia exacta de la cirugía se puede identificar con la secuencia exacta de la cirugía algebraica de Ranicki, que es una secuencia exacta de grupos abelianos por definición. Esto le da a la estructura establecidala estructura de un grupo abeliano. Sin embargo, tenga en cuenta que hasta la fecha no existe una descripción geométrica satisfactoria de esta estructura de grupo abeliano.
Clasificación de colectores
La respuesta a las preguntas organizativas de la teoría de la cirugía se puede formular en términos de la secuencia exacta de la cirugía. En ambos casos, la respuesta se da en forma de una teoría de la obstrucción en dos etapas.
La cuestión de la existencia. Dejarser un complejo de Poincaré finito. Es homotopía equivalente a una variedad si y solo si se satisfacen las dos condiciones siguientes. Primeramente,debe tener una reducción del haz de vectores de su fibración normal de Spivak. Esta condición también se puede formular diciendo que el conjunto de invariantes normalesno está vacío. En segundo lugar, debe haber un invariante normal tal que . De manera equivalente, el mapa de obstrucción quirúrgico golpes .
La cuestión de la singularidad. Dejar y representan dos elementos en el conjunto de estructuras quirúrgicas . La pregunta de si representan el mismo elemento puede responderse en dos etapas de la siguiente manera. Primero debe haber un cobordismo normal entre los mapas normales de grado uno inducidos por y , esto significa en . Denota el cobordismo normal. Si la obstrucción de la cirugía en hacer de este cobordismo normal a un h-cobordismo (o s-cobordismo ) relativo a la frontera se desvanece entonces y de hecho representan el mismo elemento en el conjunto de estructuras quirúrgicas .
Fibración quirúrgica de Quinn
En su tesis escrita bajo la dirección de Browder , Frank Quinn introdujo una secuencia de fibras para que la secuencia larga y exacta de la cirugía sea la secuencia inducida en grupos homotópicos. [1]
Ejemplos de
1. Esferas de homotopía
Este es un ejemplo en la categoría suave, .
La idea de la secuencia exacta de la cirugía ya está implícitamente presente en el artículo original de Kervaire y Milnor sobre los grupos de esferas de homotopía. En la terminología actual tenemos
el grupo de cobordismo de casi enmarcado colectores,
dónde modificación (recuerda el -periodicidad de los grupos L )
La secuencia exacta de la cirugía en este caso es una secuencia exacta de grupos abelianos. Además de las identificaciones anteriores, tenemos
Debido a que los grupos L de dimensiones impares son triviales, se obtienen estas secuencias exactas:
Los resultados de Kervaire y Milnor se obtienen estudiando el mapa del medio en las dos primeras secuencias y relacionando los grupos a la teoría de la homotopía estable.
2. Esferas topológicas
La conjetura de Poincaré generalizada en dimensión puede expresarse como diciendo que . Ha sido probado para cualquierpor el trabajo de Smale, Freedman y Perelman. De la secuencia exacta de la cirugía para por en la categoría topológica vemos que
es un isomorfismo. (De hecho, esto puede extenderse a por algunos métodos ad-hoc.)
3. Espacios proyectivos complejos en la categoría topológica
El complejo espacio proyectivo es un colector topológico dimensional con . Además se sabe que en el caso en la categoría topológica el mapa de obstrucción quirúrgica es siempre sobreyectiva. Por lo tanto tenemos
Del trabajo de Sullivan se puede calcular
- y por lo tanto
4. Variedades asféricas en la categoría topológica
Un asférico -múltiple dimensional es un -manifold tal que por . Por tanto, el único grupo de homotopía no trivial es
Una forma de enunciar la conjetura de Borel es decir que para taltenemos que el grupo Whitehead es trivial y eso
Esta conjetura fue probada en muchos casos especiales, por ejemplo cuando es , cuando es el grupo fundamental de una variedad curvada negativamente o cuando es un grupo hiperbólico de palabras o un grupo CAT (0).
La afirmación equivale a mostrar que el mapa de obstrucción quirúrgica a la derecha del conjunto de estructura quirúrgica es inyectivo y el mapa de obstrucción quirúrgico a la izquierda del conjunto de estructura quirúrgica es sobreyectivo. La mayoría de las pruebas de los resultados antes mencionados se realizan mediante el estudio de estos mapas o mediante el estudio de los mapas de ensamblaje con los que se pueden identificar. Ver más detalles en Conjetura de Borel , Conjetura de Farrell-Jones .
Referencias
- ^ Quinn, Frank (1971), Una formulación geomérica de cirugía (PDF) , Topología de colectores, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)
- Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0358813
- Lück, Wolfgang (2002), Una introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "High-dimensional multiple theory" en Trieste, mayo / junio de 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Física, Trieste 1-224
- Ranicki, Andrew (1992), Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, 102 , Cambridge University Press
- Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica (PDF) , Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
- Wall, CTC (1999), Cirugía sobre variedades compactas , Encuestas y monografías matemáticas, 69 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388