Tensor

En matemáticas , un tensor es un objeto algebraico que describe una relación multilineal entre conjuntos de objetos algebraicos relacionados con un espacio vectorial . Los objetos entre los que los tensores pueden mapear incluyen vectores y escalares , e incluso otros tensores. Hay muchos tipos de tensores, incluidos escalares y vectores (que son los tensores más simples), vectores duales , mapas multilineales entre espacios vectoriales e incluso algunas operaciones como el producto escalar . Los tensores se definen independientemente de cualquier base, aunque a menudo se hace referencia a ellos por sus componentes en una base relacionada con un sistema de coordenadas particular.

Los tensores se han vuelto importantes en física porque proporcionan un marco matemático conciso para formular y resolver problemas de física en áreas como mecánica ( tensión , elasticidad , mecánica de fluidos , momento de inercia , ...), electrodinámica ( tensor electromagnético, tensor de Maxwell , permitividad , susceptibilidad magnética , ...), o relatividad general ( tensor de tensión-energía, tensor de curvatura, ...) y otros. En las aplicaciones, es común estudiar situaciones en las que puede ocurrir un tensor diferente en cada punto de un objeto; por ejemplo, la tensión dentro de un objeto puede variar de un lugar a otro. Esto conduce al concepto de campo tensorial . En algunas áreas, los campos tensoriales son tan omnipresentes que a menudo se les llama simplemente "tensores".

Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro popularizaron los tensores en 1900, continuando el trabajo anterior de Bernhard Riemann y Elwin Bruno Christoffel y otros, como parte del cálculo diferencial absoluto . El concepto permitió una formulación alternativa de la geometría diferencial intrínseca de una variedad en la forma del tensor de curvatura de Riemann . [1]

Aunque aparentemente diferentes, los diversos enfoques para definir tensores describen el mismo concepto geométrico utilizando un lenguaje diferente y en diferentes niveles de abstracción.

Un tensor puede representarse como una matriz (potencialmente multidimensional). Así como un vector en un espacio de n dimensiones se representa mediante una matriz unidimensional con n componentes con respecto a una base dada , cualquier tensor con respecto a una base se representa mediante una matriz multidimensional. Por ejemplo, un operador lineal se representa sobre una base como una matriz n × n cuadrada bidimensional . Los números de la matriz multidimensional se conocen como componentes escalares del tensor o simplemente como componentes . Se indican mediante índices que dan su posición en la matriz, comosubíndices y superíndices , siguiendo el nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, los componentes de un tensor de orden 2 T podrían denominarse T ij  , donde i y j son índices que van de 1 an , o también por T yo
j. El hecho de que un índice se muestre como superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describen a continuación. Así, mientras T ij y T yo
jAmbos pueden expresarse como n por n matrices, y están relacionados numéricamente a través del malabarismo de índices , la diferencia en sus leyes de transformación indica que sería incorrecto sumarlos. El número total de índices necesarios para identificar cada componente de forma única es igual a la dimensión de la matriz y se denomina orden , grado o rango del tensor. Sin embargo, el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.

El tensor de tensión de Cauchy de segundo orden ( ) describe las fuerzas de tensión experimentadas por un material en un punto dado. El producto del tensor de tensión y un vector unitario , que apunta en una dirección dada, es un vector que describe las fuerzas de tensión experimentadas por un material en el punto descrito por el tensor de tensión, a lo largo de un plano perpendicular a . Esta imagen muestra los vectores de tensión a lo largo de tres direcciones perpendiculares, cada una representada por una cara del cubo. Dado que el tensor de tensión describe un mapeo que toma un vector como entrada y da un vector como salida, es un tensor de segundo orden.
La orientación invertida corresponde a negar el producto exterior.
Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (p. Ej . N - paralelootopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ), y orientación definida por eso en su límite n - 1 -dimensional y en qué lado está el interior. [12] [13]