Función theta

Funciones especiales de varias variables complejas

La función theta original de Jacobi θ ₁ con u = i π z y con un nombre q = e ^{i π τ} = 0.1 e ^{0.1 i π} . Las convenciones son (Mathematica): ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(u;q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iu}\end{aligned}}}$

En matemáticas , las funciones theta son funciones especiales de varias variables complejas . Son importantes en muchas áreas, incluidas las teorías de las variedades abelianas y los espacios de módulos , y de las formas cuadráticas . También se han aplicado a la teoría del solitón . Cuando se generalizan a un álgebra de Grassmann , también aparecen en la teoría cuántica de campos . ^[1]

La forma más común de función theta es la que ocurre en la teoría de funciones elípticas . Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z ), una función theta tiene una propiedad que expresa su comportamiento con respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociadas, lo que la convierte en una función cuasiperiódica . En la teoría abstracta, esta cuasiperiodicidad proviene de la clase de cohomología de un haz de líneas en un toro complejo , una condición de descendencia .

Función theta de Jacobi

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Hay varias funciones estrechamente relacionadas llamadas funciones theta de Jacobi, y muchos sistemas de notación diferentes e incompatibles para ellas. Una función theta de Jacobi (llamada así por Carl Gustav Jacob Jacobi ) es una función definida para dos variables complejas z y τ , donde z puede ser cualquier número complejo y τ es la razón de medio período , confinada al semiplano superior , lo que significa tiene parte imaginaria positiva. Está dado por la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

donde q = exp (π iτ ) es el nome y η = exp (2π iz ) . Es una forma de Jacobi . En τ fijo , esta es una serie de Fourier para una función completa 1-periódica de z . En consecuencia, la función theta es 1-periódica en z :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

También resulta ser τ -cuasiperiódico en z , con

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp[-\pi i(\tau +2z)]\vartheta (z;\tau ).}$

Así, en general,

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

para cualquier número entero una y b .

Función theta θ ₁ con nombre diferente q = e ^{i π τ} . El punto negro en la imagen de la derecha indica cómo cambia q con τ .

Función theta θ ₁ con nombre diferente q = e ^{i π τ} . El punto negro en la imagen de la derecha indica cómo cambia q con τ .

Funciones auxiliares

La función theta de Jacobi definida anteriormente a veces se considera junto con tres funciones theta auxiliares, en cuyo caso se escribe con un subíndice doble 0:

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Las funciones auxiliares (o de medio período) están definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Esta notación sigue a Riemann y Mumford ; La formulación original de Jacobi era en términos del nombre q = e ^{i π τ en} lugar de τ . En la notación de Jacobi, las funciones θ están escritas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Las definiciones anteriores de las funciones theta de Jacobi no son de ninguna manera únicas. Consulte Funciones theta de Jacobi (variaciones de notación) para una discusión más detallada.

Si establecemos z = 0 en las funciones theta anteriores, obtenemos cuatro funciones de τ solamente, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas constantes theta). Estas pueden usarse para definir una variedad de formas modulares y parametrizar ciertas curvas; en particular, la identidad de Jacobi es

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$

que es la curva de Fermat de grado cuatro.

Identidades de Jacobi

Las identidades de Jacobi describen cómo las funciones theta se transforman bajo el grupo modular , que es generado por τ ↦ τ + 1 y τ ↦ -1/τ. Las ecuaciones para la primera transformada se encuentran fácilmente ya que sumar uno a τ en el exponente tiene el mismo efecto que sumar1/2a z ( n ≡ n ² mod 2 ). Por el segundo, deja

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$

Funciones theta en términos del nomo

En lugar de expresar las funciones Theta en términos de z y τ , podemos expresarlas en términos de argumentos w y el nombre q , donde w = e ^{π iz} y q = e ^{π iτ} . De esta forma, las funciones se vuelven

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

Vemos que las funciones theta también pueden ser definidas en términos de W y Q , sin una referencia directa a la función exponencial. Por lo tanto, estas fórmulas pueden usarse para definir las funciones Theta sobre otros campos donde la función exponencial podría no estar definida en todas partes, como los campos de números p -ádicos .

Representaciones de productos

El triple producto Jacobi (un caso especial de las identidades Macdonald ) nos dice que para los números complejos w y q con | q | <1 y w ≠ 0 tenemos

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Puede demostrarse por medios elementales, como por ejemplo en An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy y Wright .

Si expresamos la función theta en términos del nombre q = e ^{π iτ} (notando que algunos autores en su lugar establecen q = e ^{2π iτ} ) y tomamos w = e ^{π iz} entonces

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Por lo tanto, obtenemos una fórmula de producto para la función theta en la forma

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$

En términos de w y q :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

donde (;) _∞ es el símbolo q -Pochhammer y θ (;) es la función q -theta . Ampliando los términos, el producto triple de Jacobi también se puede escribir

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$

que también podemos escribir como

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

Esta forma es válida en general, pero claramente es de particular interés cuando z es real. Fórmulas de productos similares para las funciones theta auxiliares son

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

Representaciones integrales

Las funciones theta de Jacobi tienen las siguientes representaciones integrales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Valores explícitos

Ver Yi (2004). ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{6+4{\sqrt {2}}}}{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{27+18{\sqrt {3}}}}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{4}]{8}}+2}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{225+100{\sqrt {5}}}}{5}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{1728}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {{\frac {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}{14}}\cdot {\sqrt[{8}]{28}}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{7+4{\sqrt {7}}+5{\sqrt[{4}]{28}}+{\sqrt[{4}]{1372}}}}{\sqrt {7}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{8}]{128}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(1+\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}\right)}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {20+{\sqrt {450}}+{\sqrt {500}}+10{\sqrt[{4}]{20}}}}{10}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(4+{\sqrt[{4}]{128}}+{\sqrt[{4}]{1024{\sqrt[{4}]{8}}+1024{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)}{16}}\end{aligned}}}$

Algunas identidades de series

Las siguientes identidades de dos series fueron probadas por István Mező : ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Estas relaciones son válidas para todo 0 < q <1 . Especializando los valores de q , tenemos el siguiente parámetro sumas libres

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}}$

Ceros de las funciones theta de Jacobi

Todos los ceros de las funciones theta de Jacobi son ceros simples y vienen dados por lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$

donde m , n son números enteros arbitrarios.

Relación con la función zeta de Riemann

La relación

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

fue utilizado por Riemann para probar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann , mediante la transformada de Mellin

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

que se puede demostrar que es invariante bajo sustitución de s por 1 - s . La integral correspondiente para z ≠ 0 se da en el artículo sobre la función zeta de Hurwitz .

Relación con la función elíptica de Weierstrass

Jacobi utilizó la función theta para construir (en una forma adaptada al cálculo fácil) sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta anteriores, y podría haberla utilizado para construir las funciones elípticas de Weierstrass también, ya que

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

donde la segunda derivada es con respecto a zy la constante c se define de modo que la expansión de Laurent de ℘ ( z ) en z = 0 tiene un término constante cero.

Relación con la función q -gamma

La cuarta función theta - y por lo tanto las otras también - está íntimamente conectada a la función Jackson q -gamma a través de la relación ^[5]

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Relaciones con la función eta de Dedekind

Sea η ( τ ) la función eta de Dedekind , y el argumento de la función theta como el nomo q = e ^{π iτ} . Luego,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$

y,

${\displaystyle \theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

Consulte también las funciones modulares de Weber .

Módulo elíptico

El módulo elíptico es

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

y el módulo elíptico complementario es

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

Una solución a la ecuación del calor

La función theta de Jacobi es la solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional con condiciones de contorno espacialmente periódicas. ^[6] Tomando z = x para ser real y τ = que con t real y positiva, podemos escribir

${\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$

que resuelve la ecuación de calor

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).}$

Esta solución de función theta es 1-periódica en x , y cuando t → 0 se acerca a la función delta periódica , o peine de Dirac , en el sentido de distribuciones

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$.

Las soluciones generales del problema de valor inicial espacialmente periódico para la ecuación de calor se pueden obtener convolucionando los datos iniciales en t = 0 con la función theta.

Relación con el grupo de Heisenberg

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg . Esta invariancia se presenta en el artículo sobre la representación theta del grupo de Heisenberg.

Generalizaciones

Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociada con F es

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

con la suma que se extiende sobre el entramado de enteros${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$Esta función theta es una forma modular de pesonorte/2(en un subgrupo adecuadamente definido) del grupo modular . En la expansión de Fourier,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

los números R _F ( k ) se denominan números de representación de la forma.

Serie theta de un personaje de Dirichlet

Para ${\displaystyle \chi }$un módulo de carácter de Dirichlet primitivo${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle \nu ={\frac {1-\chi (-1)}{2}}}$ luego

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}$

es un peso ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\nu }$ forma modular de nivel ${\displaystyle 4q^{2}}$ y carácter ${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }}$, lo que significa

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

cuando sea

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$^[7]

Función theta de Ramanujan

Función theta de Riemann

Dejar

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es definida positiva .${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$se llama semiespacio superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior . El análogo n- dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} );}$para n = 1 ,${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$El análogo n- dimensional de los subgrupos de congruencia es interpretado por

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$

Entonces, dado ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n},}$la función theta de Riemann se define como

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Aquí, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$es un vector complejo n- dimensional, y el superíndice T denota la transposición . La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 y${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ donde ${\displaystyle \mathbb {H} }$es el semiplano superior . Una aplicación importante de la función theta de Riemann es que permite dar fórmulas explícitas para funciones meromórficas en superficies compactas de Riemann, así como otros objetos auxiliares que figuran de manera prominente en su teoría de funciones, tomando${\displaystyle \tau }$para ser la matriz de período con respecto a una base canónica para su primer grupo de homología .

La theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.}$

La ecuación funcional es

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )}$

que vale para todos los vectores ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n},}$ y para todos ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ y ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}.}$

Serie Poincaré

La serie de Poincaré generaliza la serie theta a formas automórficas con respecto a grupos fucsianos arbitrarios .

Funciones theta generalizadas

En general, estas son funciones theta no cuadráticas de orden superior. Tienen la forma ^[8]

${\displaystyle \theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{n^{\kappa }},}$

donde ${\displaystyle q=e^{2i\pi z}}$. La variable${\displaystyle z}$ se encuentra en el semiplano superior, ${\displaystyle \chi (n)}$ es cualquier función aritmética y ${\displaystyle \kappa }$ es un número entero mayor que 1.

La restricción ${\displaystyle \kappa =2}$ y ${\displaystyle \chi (n)\rightarrow {\frac {1}{2}}\chi (n)n^{\nu }}$, con ${\displaystyle \chi }$ un personaje de Dirichlet está relacionado con la clásica serie theta de un personaje de Dirichlet ${\displaystyle \theta _{\chi }(z)}$. Algunas propiedades son

${\displaystyle \exp \left(\theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(z)\right)=q^{\chi (1)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{-\chi (n_{\kappa }(n))\epsilon (n_{\kappa }^{*}(n))}.}$

Aquí ${\displaystyle \epsilon (n)={\frac {\mu (n)}{n}}}$ Si ${\displaystyle n\neq 0}$ y ${\displaystyle 0}$demás. La función aritmética${\displaystyle \mu (n)}$ es el Moebius ${\displaystyle \mu }$función. Las funciones aritméticas${\displaystyle n_{\kappa }(n)}$ y ${\displaystyle n_{\kappa }^{*}(n)}$ se evalúan a partir de la factorización prima de ${\displaystyle n}$ descomponiéndolo en un poder de ${\displaystyle \kappa }$ y es ${\displaystyle \kappa }$-parte libre. Esto es como sigue:

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\ldots p_{t}^{a_{t}}=\left(p_{k_{1}}^{b_{k_{1}}}p_{k_{2}}^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^{b_{k_{s}}}\right)^{\kappa }p_{j_{1}}^{c_{j_{1}}}p_{j_{2}}^{c_{j_{2}}}\ldots p_{j_{r}}^{c_{j_{r}}}.}$

El ${\displaystyle b_{k_{1}},b_{k_{2}},\ldots ,b_{k_{s}}}$ y ${\displaystyle c_{j_{1}},c_{j_{2}},\ldots ,c_{j_{r}}}$ siendo enteros positivos con el ${\displaystyle c}$ es más pequeño que ${\displaystyle \kappa }$. Esta descomposición es única y por convección establecemos${\displaystyle n_{\kappa }(n)=0}$, Si ${\displaystyle p_{k_{1}}^{b_{k_{1}}}p_{k_{2}}^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^{b_{k_{s}}}=1}$ y ${\displaystyle n_{\kappa }(n)=p_{k_{1}}^{b_{k_{1}}}p_{k_{2}}^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^{b_{k_{s}}}}$de lo contrario. La función${\displaystyle n_{\kappa }^{*}(n)}$ también se puede evaluar desde ${\displaystyle n_{\kappa }^{*}(n)=n/(n_{\kappa }(n))^{\kappa }}$, Cuándo ${\displaystyle n_{\kappa }(n)\neq 0}$. Configuración

${\displaystyle C_{\kappa }(\chi ;n):=\mu (n)+\chi (n_{\kappa }(n))\mu (n_{\kappa }^{*}(n)),}$

luego ${\displaystyle C_{\kappa }(\chi ;n)}$ es multiplicativo siempre que ${\displaystyle \chi (n)}$ es multiplicativo.

Otra propiedad es

${\displaystyle \exp \left(2\pi i\int _{z}^{i\infty }\theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(w)dw\right)=e^{(1-\chi (1))q}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{C_{\kappa }(\chi ;n)/n}.}$

Coeficientes de funciones theta

Si ${\displaystyle a,b}$ son números enteros positivos, ${\displaystyle \chi (n)}$ cualquier función aritmética y ${\displaystyle |q|<1}$, luego [8]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{an^{2}+bn}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{\begin{array}{cc}d|n\\ad^{2}+bd=n\end{array}}\chi (d).}$

El caso general de ${\displaystyle f(n),\chi (n)}$ cualquier función aritmética y ${\displaystyle f(n):{\textbf {N}}\rightarrow {\textbf {N}}}$ estrictamente aumentando con ${\displaystyle f(0)=0}$ es [8]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{f(n)}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{d|n}\sum _{f(\delta )|d}\chi (\delta )\mu \left({\frac {d}{f(\delta )}}\right).}$

Notas

1. Tyurin, Andrey N. (30 de octubre de 2002). "Cuantización, teoría de campos clásica y cuántica y funciones theta". arXiv : matemáticas / 0210466v1 .
2. Yi, Jinhee (2004). "Identidades de función theta y las fórmulas explícitas para la función theta y sus aplicaciones" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 292 (2): 381–400. doi : 10.1016 / j.jmaa.2003.12.009 .
3. El crédito apropiado por estos resultados es para Ramanujan. Vea el cuaderno perdido de Ramanujan y una referencia relevante en la función de Euler . Los resultados de Ramanujan citados en la función de Euler más algunas operaciones elementales dan los resultados a continuación, por lo que los resultados a continuación están en el cuaderno perdido de Ramanujan o se derivan inmediatamente de él.
4. Mező, István (2013), "Fórmulas de duplicación que involucran funciones theta de Jacobi y q -funciones trigonométricas de Gosper ", Actas de la American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090 / s0002-9939-2013-11576 -5
5. Mező, István (2012). "Una fórmula q- Raabe y una integral de la cuarta función theta de Jacobi" . Revista de teoría de números . 133 (2): 692–704. doi : 10.1016 / j.jnt.2012.08.025 .
6. Ohyama, Yousuke (1995). "Relaciones diferenciales de funciones theta" . Revista Osaka de Matemáticas . 32 (2): 431–450. ISSN 0030-6126 . 
7. Shimura, en formas modulares de peso medio integral
8. Nikolaos D. Bagis, "Serie q relacionada con formas superiores". arXiv: 2006.16005v4 [math.GM] 10 de marzo de 2021, https://arxiv.org/pdf/2006.16005.pdf

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover. segundo. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elementos de la teoría de funciones elípticas . AMS Traducciones de Monografías Matemáticas. 79 . Providence, RI: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980). Superficies Riemann . Nueva York: Springer-Verlag. ch. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (para el tratamiento de la theta de Riemann)
• Hardy, GH ; Wright, EM (1959). Introducción a la teoría de los números (4ª ed.). Oxford: Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Tata Conferencias sobre Theta I . Boston: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Funciones de una variable compleja . Nueva York: Publicaciones de Dover.
• Rauch, Harry E .; Farkas, Hershel M. (1974). Funciones Theta con aplicaciones a superficies Riemann . Baltimore: Williams y Wilkins. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P .; Walker, Peter L. (2010), "Funciones Theta" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. (historia de las funciones θ de Jacobi )

Lectura adicional

• Farkas, Hershel M. (2008). "Funciones Theta en análisis complejo y teoría de números". En Alladi, Krishnaswami (ed.). Encuestas en Teoría de Números . Desarrollos en Matemáticas. 17 . Springer-Verlag . págs. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055 .
• Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Serie Theta". Funciones modulares elípticas . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . págs. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Ackerman, M. Math. Ana. (1979) 244: 75. "Sobre las funciones generadoras de ciertas series de Eisenstein " Springer-Verlag

Harry Rauch con Hershel M. Farkas: Theta funciona con aplicaciones a Riemann Surfaces, Williams y Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN 0-683-07196-3 . 

Enlaces externos

• Moiseev Igor. "Funciones elípticas para Matlab y Octave" .

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