24 celdas | 24 celdas truncadas | Bitruncado de 24 celdas | |
Diagramas de Schlegel centrados en uno [3,4] (celdas en el lado opuesto en [4,3]) |
En geometría , un truncado de 24 celdas es un 4 politopo uniforme ( politopo uniforme de 4 dimensiones ) formado como el truncamiento del 24 celdas regular .
Hay dos grados de truncamientos, incluido un bitruncation .
24 celdas truncadas
Diagrama de Schlegel | ||
---|---|---|
24 celdas truncadas | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolos de Schläfli | t {3,4,3} tr {3,3,4} = t {3 1,1,1 } = | |
Diagrama de Coxeter | ||
Células | 48 | 24 4.6.6 24 4.4.4 |
Caras | 240 | 144 {4} 96 {6} |
Bordes | 384 | |
Vértices | 192 | |
Figura de vértice | pirámide triangular equilátera | |
Grupo de simetría | F 4 [3,4,3], orden 1152 | |
Subgrupo de rotación | [3,4,3] + , orden 576 | |
Subgrupo de conmutadores | [3 + , 4,3 + ], orden 288 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 23 24 25 |
El icositetrachoron truncado de 24 celdas o truncado es un politopo uniforme de 4 dimensiones (o 4 politopo uniforme ), que está delimitado por 48 celdas : 24 cubos y 24 octaedros truncados . Cada vértice une tres octaedros truncados y un cubo, en una figura de vértice piramidal triangular equilátero .
Construcción
Las 24 celdas truncadas se pueden construir a partir de politopos con tres grupos de simetría:
- F 4 [3,4,3]: un truncamiento de las 24 celdas .
- B 4 [3,3,4]: una cantitruncación de las 16 celdas , con dos familias de celdas octaédricas truncadas.
- D 4 [3 1,1,1 ]: Un omnitruncation de la demitesseract , con tres familias de células octaedro truncado.
Grupo Coxeter | = [3,4,3] | = [4,3,3] | = [3,3 1,1 ] |
---|---|---|---|
Símbolo de Schläfli | t {3,4,3} | tr {3,3,4} | t {3 1,1,1 } |
Pedido | 1152 | 384 | 192 |
Grupo de simetría completo | [3,4,3] | [4,3,3] | <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] [3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3] |
Diagrama de Coxeter | |||
Facetas | 3: 1: | 2: 1: 1: | 1,1,1: 1: |
Figura de vértice |
Zonotopo
También es un zonótopo : se puede formar como la suma de Minkowski de los seis segmentos de línea que conectan pares opuestos entre las doce permutaciones del vector (+ 1, −1,0,0).
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda truncada de 24 celdas con longitud de borde sqrt (2) son todas permutaciones de coordenadas y combinaciones de signos de:
- (0,1,2,3) [4! × 2 3 = 192 vértices]
La configuración dual tiene coordenadas en toda la permutación de coordenadas y signos de
- (1,1,1,5) [4 × 2 4 = 64 vértices]
- (1,3,3,3) [4 × 2 4 = 64 vértices]
- (2,2,2,4) [4 × 2 4 = 64 vértices]
Estructura
Las 24 celdas cúbicas se unen mediante sus caras cuadradas al octaedro truncado; y los 24 octaedros truncados están unidos entre sí a través de sus caras hexagonales.
Proyecciones
La proyección paralela de las 24 celdas truncadas en el espacio tridimensional, primero el octaedro truncado, tiene el siguiente diseño:
- La envolvente de proyección es un cuboctaedro truncado .
- Dos de los octaedros truncados se proyectan sobre un octaedro truncado que se encuentra en el centro del sobre.
- Seis volúmenes cuboidales unen las caras cuadradas de este octaedro central truncado con el centro de las caras octogonales del gran rombicuboctaedro. Estas son las imágenes de 12 de las celdas cúbicas, un par de celdas para cada imagen.
- Las 12 caras cuadradas del gran rombicuboctaedro son las imágenes de los 12 cubos restantes.
- Las 6 caras octagonales del gran rombicuboctaedro son las imágenes de 6 del octaedro truncado.
- Los 8 volúmenes octaédricos truncados (no uniformes) que se encuentran entre las caras hexagonales de la envolvente de proyección y el octaedro truncado central son las imágenes de los 16 octaedros truncados restantes, un par de celdas para cada imagen.
Imagenes
Avión de Coxeter | F 4 | |
---|---|---|
Grafico | ||
Simetría diedro | [12] | |
Avión de Coxeter | B 3 / A 2 (a) | B 3 / A 2 (b) |
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [6] |
Avión de Coxeter | B 4 | B 2 / A 3 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [8] | [4] |
Diagrama de Schlegel ( células cúbicas visibles) | Diagrama de Schlegel 8 de 24 celdas octaédricas truncadas visibles |
Proyección estereográfica centrada en tetraedro truncado |
24 celdas truncadas | De doble a truncado de 24 celdas |
Politopos relacionados
El casco convexo de las 24 celdas truncadas y su dual (asumiendo que son congruentes) es un policoron no uniforme compuesto de 480 celdas: 48 cubos , 144 antiprismas cuadrados , 288 tetraedros (como difenoides tetragonales) y 384 vértices. Su figura de vértice es una cúpula triangular de hexakis .
Figura de vértice
Bitruncado de 24 celdas
Bitruncado de 24 celdas | ||
---|---|---|
Diagrama de Schlegel , centrado en un cubo truncado, con celdas alternas ocultas | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | 2t {3,4,3} | |
Diagrama de Coxeter | ||
Células | 48 ( 3.8.8 ) | |
Caras | 336 | 192 {3} 144 {8} |
Bordes | 576 | |
Vértices | 288 | |
Figura de borde | 3.8.8 | |
Figura de vértice | difenoide tetragonal | |
politopo dual | Disfenoidal de 288 celdas | |
Grupo de simetría | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], orden 2304 | |
Propiedades | convexo , isogonal , isotoxal , isocórico | |
Índice uniforme | 26 27 28 |
El bitruncado de 24 celdas . 48 celdas , o tetracontoctachoron, es un politopo uniforme de 4 dimensiones (o politopo uniforme de 4 ) derivado del de 24 celdas .
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular.
Se construye truncando el bit de 24 celdas (truncando a la mitad de la profundidad que produciría el doble de 24 celdas).
Al ser un 4-politopo uniforme, es transitivo de vértice . Además, es transitivo de celdas , que consta de 48 cubos truncados , y también transitivo de borde , con 3 celdas de cubos truncados por borde y con un triángulo y dos octágonos alrededor de cada borde.
Las 48 celdas de las 24 celdas bitruncadas se corresponden con las 24 celdas y los 24 vértices de las 24 celdas. Como tal, los centros de las 48 células forman el sistema de raíces del tipo F 4 .
Su figura de vértice es un difenoide tetragonal , un tetraedro con 2 bordes opuestos de longitud 1 y los 4 bordes laterales de longitud √ (2 + √2).
Nombres alternativos
- Bitruncated 24 celdas ( Norman W. Johnson )
- 48 celdas como 4 politopo transitivo celular
- Icositetrachoron bitruncado
- Polioctaedro bitruncado
- Tetracontaoctachoron (cont.) (Jonathan Bowers)
Estructura
Los cubos truncados se unen entre sí a través de sus caras octogonales en anti- orientación; I. p. ej., dos cubos truncados contiguos se giran 45 grados entre sí para que no haya dos caras triangulares que compartan un borde.
La secuencia de cubos truncados unidos entre sí a través de caras octogonales opuestas forman un ciclo de 8. Cada cubo truncado pertenece a 3 de esos ciclos. Por otro lado, la secuencia de cubos truncados unidos entre sí mediante caras triangulares opuestas forman un ciclo de 6. Cada cubo truncado pertenece a 4 de esos ciclos.
Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. Los bordes existen en 4 posiciones de simetría. Los cuadrados existen en 3 posiciones, los hexágonos en 2 posiciones y los octágonos en una. Finalmente existen los 4 tipos de celdas centradas en las 4 esquinas del simplex fundamental. [1]
F 4 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | k -figura | Notas | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 1 A 1 | () | f 0 | 288 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | s {2,4} | F 4 / A 1 A 1 = 288 | |
{} | f 1 | 2 | 288 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {} v () | |||
2 | * | 288 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | ||||||
A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 0 | 96 | * | * | 2 | 0 | {} | F 4 / A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |
B 2 | t {4} | 8 | 4 | 4 | * | 144 | * | 1 | 1 | F 4 / B 2 = 1152/8 = 144 | |||
A 2 A 1 | {3} | 3 | 0 | 3 | * | * | 96 | 0 | 2 | F 4 / A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |||
B 3 | t {4,3} | f 3 | 24 | 24 | 12 | 8 | 6 | 0 | 24 | * | () | F 4 / B 3 = 1152/48 = 24 | |
24 | 12 | 24 | 0 | 6 | 8 | * | 24 |
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de un bit truncado de 24 celdas que tiene una longitud de borde 2 son todas permutaciones de coordenadas y signo de:
- (0, 2 + √2, 2 + √2, 2 + 2√2)
- (1, 1 + √2, 1 + √2, 3 + 2√2)
Proyecciones
Proyección a 2 dimensiones
Avión de Coxeter | F 4 | B 4 |
---|---|---|
Grafico | ||
Simetría diedro | [[12]] = [24] | [8] |
Avión de Coxeter | B 3 / A 2 | B 2 / A 3 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [[4]] = [8] |
Proyección a 3 dimensiones
Ortográfico | Perspectiva |
---|---|
La siguiente animación muestra la proyección ortográfica de las 24 celdas bitruncadas en 3 dimensiones. La animación en sí es una proyección en perspectiva de la imagen 3D estática en 2D, con rotación agregada para hacer su estructura más aparente. Las imágenes de los 48 cubos truncados se presentan de la siguiente manera:
| La siguiente animación muestra la proyección en perspectiva de celda primero de las 24 celdas bitruncadas en 3 dimensiones. Su estructura es la misma que la de la animación anterior, salvo que hay cierto acortamiento debido a la proyección en perspectiva.
|
Poliedro de sesgo regular relacionado
El poliedro sesgado regular , {8,4 | 3}, existe en 4 espacios con 4 octogonales alrededor de cada vértice, en una figura de vértice no plana en zigzag. Estas caras octagonales se pueden ver en las 24 celdas bitruncadas, usando los 576 bordes y 288 vértices. Las 192 caras triangulares de las 24 celdas bitruncadas pueden verse como eliminadas. El poliedro oblicuo regular dual, {4,8 | 3}, está relacionado de manera similar con las caras cuadradas de las 24 celdas runcinadas .
Disfenoidal de 288 celdas
Disfenoidal de 288 celdas | ||
---|---|---|
Tipo | perfecto [2] policoron | |
Símbolo | f 1,2 F 4 [2] (1,0,0,0) F 4 ⊕ (0,0,0,1) F 4 [3] | |
Coxeter | ||
Células | 288 difenoides tetragonales congruentes | |
Caras | 576 isósceles congruentes (2 bordes cortos) | |
Bordes | 336 | 192 de largo 144 de longitud |
Vértices | 48 | |
Figura de vértice | ( Triakis octaedro ) | |
Doble | Bitruncado de 24 celdas | |
Grupo Coxeter | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], orden 2304 | |
Vector de órbita | (1, 2, 1, 1) | |
Propiedades | convexo , isocórico |
La celda 288 difenoidal es el dual de la celda 24 bitruncada . Es un politopo (o policoron ) de 4 dimensiones derivado de las 24 celdas . Se construye doblando y rotando las 24 celdas, luego construyendo el casco convexo .
Al ser el dual de un policoron uniforme, es transitivo celular , y consta de 288 difenoides tetragonales congruentes . Además, es transitivo por vértice en el grupo Aut (F 4 ). [3]
Imagenes
Aviones Coxeter | B 2 | B 3 | F 4 |
---|---|---|---|
Disfenoidal de 288 celdas | |||
Bitruncado de 24 celdas |
Geometría
Los vértices de las 288 celdas son precisamente los cuaterniones de 24 unidades de Hurwitz con norma al cuadrado 1, unidos con los 24 vértices de las 24 celdas dobles con norma al cuadrado 2, proyectados a la unidad 3-esfera . Estos 48 vértices corresponden al grupo octaédrico binario , <2,3,4>, orden 48.
Por lo tanto, la celda de 288 es el único 4-politopo no regular que es el casco convexo de un grupo cuaterniónico, sin tener en cuenta los infinitos grupos dicíclicos (igual que los diédricos binarios); las regulares son las de 24 celdas (≘ 2T , <2,3,3>, orden 24) y las de 600 celdas (≘ 2I , <2,3,5>, orden 120). (Las 16 celdas corresponden al grupo diedro binario 2D 2 , <2,2,2>, orden 16.)
La 3-esfera inscrita tiene un radio medio + √ 2 /4 ≈ 0.853553 y toca la célula 288 en los centros de la 288 tetraedros que son los vértices de la doble 24 de células bitruncated.
Los vértices se pueden colorear en 2 colores , digamos rojo y amarillo, con las 24 unidades Hurwitz en rojo y los 24 duales en amarillo, siendo el amarillo de 24 celdas congruente con el rojo. Por tanto, el producto de 2 cuaterniones del mismo color es rojo y el producto de 2 en colores mezclados es amarillo.
Hay 192 bordes largos con una longitud 1 que conecta colores iguales y 144 bordes cortos con una longitud √ 2– √ 2 ≈ 0,765367 que conectan colores mezclados. 192 * 2/48 = 8 largos y 144 * 2/48 = 6 cortos, es decir, 14 aristas juntas se encuentran en cualquier vértice.
Las 576 caras son isósceles con 1 arista larga y 2 aristas cortas, todas congruentes. Los ángulos en la base son arccos ( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49.210 °. 576 * 3/48 = 36 caras se encuentran en un vértice, 576 * 1/192 = 3 en un borde largo y 576 * 2/144 = 8 en uno corto.
Las 288 células son tetraedros con 4 bordes cortos y 2 bordes largos antípodas y perpendiculares, uno de los cuales conecta 2 vértices rojos y el otro 2 amarillos. Todas las celdas son congruentes. 288 * 4/48 = 24 células se encuentran en un vértice. 288 * 2/192 = 3 celdas se encuentran en un borde largo, 288 * 4/144 = 8 en uno corto. 288 * 4/576 = 2 celdas se encuentran en un triángulo.
Región | Capa | Latitud | rojo | amarillo |
---|---|---|---|---|
Hemisferio norte | 3 | 1 | 1 | 0 |
2 | √ 2 /2 | 0 | 6 | |
1 | 1/2 | 8 | 0 | |
Ecuador | 0 | 0 | 6 | 12 |
Hemisferio sur | –1 | –1/2 | 8 | 0 |
–2 | - √ 2 /2 | 0 | 6 | |
–3 | –1 | 1 | 0 | |
Total | 24 | 24 |
La colocación de un vértice rojo fijo en el polo norte (1,0,0,0), hay 6 vértices amarillos en la siguiente más profunda “latitud” al ( √ 2 /2, x, y, z), seguido de 8 vértices rojos en la latitud en (1/2, x, y, z). La siguiente latitud más profunda es el hiperplano del ecuador que cruza la 3-esfera en una 2-esfera que está poblada por 6 vértices rojos y 12 amarillos.
La capa 2 es una esfera de 2 que circunscribe un octaedro regular cuyos bordes tienen longitud 1. Un tetraedro con vértice polo norte tiene 1 de estos bordes como borde largo cuyos 2 vértices están conectados por bordes cortos al polo norte. Otro borde largo va desde el polo norte a la capa 1 y 2 bordes cortos desde allí a la capa 2 .
Politopos relacionados
Policora uniforme D 4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 1,1 } h {4,3,3} | 2r {3,3 1,1 } h 3 {4,3,3} | t {3,3 1,1 } h 2 {4,3,3} | 2 t {3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3} | r {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} | rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} | tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} | sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
Familia B 4 de politopos uniformes:
Politopos de simetría B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | tesseract | tesseract rectificado | tesseract truncado | tesseract cantelado | tesseract runcinated | tesseract bitruncado | tesseract cantitruncado | tesseract truncado | tesseract omnitruncado | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | |||||||||
Símbolo de Schläfli | {4,3,3} | t 1 {4,3,3} r {4,3,3} | t 0,1 {4,3,3} t {4,3,3} | t 0,2 {4,3,3} rr {4,3,3} | t 0,3 {4,3,3} | t 1,2 {4,3,3} 2t {4,3,3} | t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} | t 0,1,3 {4,3,3} | t 0,1,2,3 {4,3,3} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
Nombre | 16 celdas | rectificado de 16 celdas | 16 celdas truncadas | 16 celdas canteladas | runcinated de 16 celdas | bitruncado de 16 celdas | cantitruncado de 16 celdas | runcitruncated 16 celdas | 16 celdas omnitruncadas | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | = | = | = | = | |||||
Símbolo de Schläfli | {3,3,4} | t 1 {3,3,4} r {3,3,4} | t 0,1 {3,3,4} t {3,3,4} | t 0,2 {3,3,4} rr {3,3,4} | t 0,3 {3,3,4} | t 1,2 {3,3,4} 2t {3,3,4} | t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} | t 0,1,3 {3,3,4} | t 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 |
Familia F 4 de politopos uniformes:
Politopos de la familia de 24 células | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | 24 celdas | 24 celdas truncadas | desaire 24 celdas | rectificado de 24 celdas | 24 celdas canteladas | bitruncado de 24 celdas | cantitruncado de 24 celdas | runcinated de 24 celdas | runcitruncated 24 celdas | 24 celdas omnitruncadas | |
Símbolo de Schläfli | {3,4,3} | t 0,1 {3,4,3} t {3,4,3} | s {3,4,3} | t 1 {3,4,3} r {3,4,3} | t 0,2 {3,4,3} rr {3,4,3} | t 1,2 {3,4,3} 2t {3,4,3} | t 0,1,2 {3,4,3} tr {3,4,3} | t 0,3 {3,4,3} | t 0,1,3 {3,4,3} | t 0,1,2,3 {3,4,3} | |
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
F 4 | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
B 3 (a) | |||||||||||
B 3 (b) | |||||||||||
B 2 |
Referencias
- ^ Klitzing, Richard. "o3x4x3o - cont" .
- ^ a b Sobre los 4 politopos perfectos Contribuciones de Gabor Gévay al álgebra y la geometría Volumen 43 (2002), núm. 1, 243-259] Tabla 2, página 252
- ^ a b Construcción cuaterniónica de los politopos W (F4) con sus politopos duales y ramificación bajo los subgrupos W (B4) y W (B3) × W (A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 y Nazife Ozdes Koca 3 Departamento of Physics, Facultad de Ciencias, Universidad Sultan Qaboos PO Box 36, Al-Khoud 123, Mascate, Sultanato de Omán, p.18. 5.7 Politopo dual del politopo (0, 1, 1, 0) F 4 = W (F 4 ) (ω 2 + ω 3 )
- HSM Coxeter :
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora)" . x3x4o3o = x3x3x4o - tico, o3x4x3o - cont
- 3. Policora uniforme convexa basada en el icositetrachoron (24 celdas) - Modelo 24, 27 , George Olshevsky.