En análisis matemático , semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de reales extendidos -valued funciones que es más débil que la continuidad . Una función ampliada de valor reales superior (respectivamente, inferior ) semicontinuo en un punto si, en términos generales, los valores de la función para argumentos cercanos no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que
Una función es continua si-y-solo-si es semicontinua tanto superior como inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en cierto punto a (para alguna constante positiva ), entonces el resultado es semicontinuo superior; si disminuimos su valor a entonces el resultado es semicontinuo inferior.
Definicion formal
Suponer es un espacio topológico , es un punto en y es una función ampliada de valor real.
La función se dice que es semicontinuo superior en si por cada existe un barrio de tal que para todos Cuándo y tiende a como tiende a Cuándo
Para el caso particular de un espacio métrico, esto se puede expresar como
donde lim sup es el límite superior (de la función en el punto ). (Para espacios no métricos, se puede establecer una definición equivalente usando redes ).
La función se llama semicontinuo superior si es semicontinuo superior en todos los puntos de su dominio .
La función se dice que es semicontinuo más bajo en si por cada existe un barrio de tal que para todos en Cuándo , y tiende a como tiende a Cuándo .
De manera equivalente, en el caso de un espacio métrico, esto se puede expresar como
dónde es el límite inferior de la función en el punto
La función se llama semicontinuo inferior si es semicontinuo inferior en todos los puntos de su dominio. [1]
Caracterizaciones
Una función es semicontinua superior (resp. Semicontinua inferior) si y solo si (resp. ) es un set abierto para todosAlternativamente, una función es semicontinua más baja si y solo si todos sus conjuntos de nivel más bajo (también llamados conjuntos de subnivel o trincheras ) están cerrados . Una función es menor semicontinuo si y solo si es semicontinuo superior. [2]
Una función es semicontinuo inferior si y solo si su epígrafe (el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de su gráfico ) está cerrado .
Una función desde algún espacio topológico es semicontinuo más bajo si y solo si es continuo con respecto a la topología de Scott en
Porque es una subbase de la topología euclidiana en Una función es continuo si y solo si y están abiertos para todos Se puede considerar que esta caracterización motiva las definiciones de semicontinuidad superior e inferior. [2] Además, una función es continua ensi y solo si es tanto superior como inferior semicontinuo allí. [2] Por lo tanto, la semicontinuidad se puede utilizar para probar la continuidad.
Ejemplos de
Considere la función a trozos definido por:
Esta función es semicontinua superior en pero no semicontinuo inferior.
La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior, mientras que la función indicadora de un conjunto abierto es semicontinua inferior. La función de suelo , que devuelve el mayor número entero menor o igual a un número real dado está en todas partes superior semicontinuo. Del mismo modo, la función de techo es semicontinuo más bajo.
Una función puede ser semicontinua superior o inferior sin ser continua a la izquierda ni a la derecha . Por ejemplo, la función
es semicontinuo superior en , ya que su valor allí es mayor que su valor en su vecindario. Sin embargo, no es continuo a la izquierda ni a la derecha: el límite de la izquierda es igual a 1 y el límite de la derecha es igual a 1/2, los cuales son diferentes del valor de la función de 2. Si se modifica, por ejemplo, estableciendo entonces es semicontinuo más bajo
De manera similar, la función
es semicontinuo superior en mientras que los límites de la función desde la izquierda o la derecha en cero ni siquiera existen.
Si es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y es el espacio de curvas en(con la distancia supremum entonces la longitud funcional que asigna a cada curva su longitud es semicontinuo inferior.
La función del indicador de cualquier conjunto abierto es semicontinua más baja. La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior. Sin embargo, en el análisis convexo, el término "función indicadora" se refiere a menudo a la función característica , y la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior.
Dejar ser un espacio de medida y dejar denotar el conjunto de funciones medibles positivas dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a. Luego, por el lema de Fatou, la integral, vista como un operador de a es semicontinuo más bajo.
Condiciones suficientes
Si y son dos funciones de valor real que son semicontinuas superiores en entonces asi es Si ambas funciones no son negativas, entonces la función del producto también será semicontinuo superior en Lo mismo vale para las funciones semicontinuas inferiores en [3]
La composicion de funciones semicontinuas superiores y no es necesariamente semicontinuo superior, pero si tampoco es decreciente, entonces es semicontinuo superior. [4]
Multiplicar una función semicontinua superior positiva por un número negativo la convierte en una función semicontinua inferior.
Suponer es una función semicontinua inferior para cada índice en un conjunto no vacío y definir como supremum puntiagudo ; es decir,
- para cada
Luego es semicontinuo más bajo. [5] [2] Incluso si todos los son continuos, no necesita ser continuo; de hecho, toda función semicontinua inferior en un espacio uniforme (por ejemplo, un espacio métrico ) surge como el supremo de una secuencia de funciones continuas. Asimismo, el mínimo puntual de una colección arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior.
Suponer son funciones semicontinuas inferiores no negativas indexadas por tal que para cada Luego es semicontinuo inferior. [2] Si además cada es continuo, entonces es necesariamente continuo. [2]
El máximo y mínimo de un número finito de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior, y lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas inferiores.
Propiedades
Si es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado y acotado ) y es semicontinuo superior, entonces tiene un máximo en La declaración análoga para (-Las funciones semicontinuas inferiores valoradas en] y los mínimos también son verdaderos. (Consulte el artículo sobre el teorema del valor extremo para obtener una demostración).
Cualquier función semicontinua superior en un espacio topológico arbitrario es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de
Ver también
- Función continua: función matemática sin cambios repentinos de valor
- Continuidad direccional
- Función semicontinua multivalor
Referencias
- ^ Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, serie A . 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . Señor 1819784 .
- ^ a b c d e f Muger, Michael (2020). Topología para el matemático que trabaja . págs. 93–94.
- ^ Puterman, Martin L. (2005). Procesos de decisión de Markov Programación dinámica estocástica discreta . Wiley-Interscience. págs. 602 . ISBN 978-0-471-72782-8.
- ^ Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica . Berlín: Springer. pag. 143 . ISBN 9783540662358.
- ^ "Teorema de Baire" . Enciclopedia de Matemáticas .
Otras lecturas
- Benesova, B .; Kruzik, M. (2017). "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funcionales integrales". Revisión SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137 / 16M1060947 .
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 1–4 . Saltador. ISBN 0-201-00636-7.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 5–10 . Saltador. ISBN 3-540-64563-2.
- Gelbaum, Bernard R .; Olmsted, John MH (2003). Contraejemplos en análisis . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42875-3.
- Hyers, Donald H .; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Temas de análisis y aplicaciones no lineales . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.