En matemáticas, un álgebra de operador de vértice ( VOA ) es una estructura algebraica que juega un papel importante en la teoría de campos conforme bidimensional y la teoría de cuerdas . Además de las aplicaciones físicas, las álgebras de operadores de vértices han demostrado ser útiles en contextos puramente matemáticos como la monstruosa luz de la luna y la correspondencia geométrica de Langlands .
La noción relacionada de álgebra de vértices fue introducida por Richard Borcherds en 1986, motivado por la construcción de un álgebra de Lie de dimensión infinita debida a Igor Frenkel . En el curso de esta construcción, se emplea un espacio de Fock que admite una acción de operadores de vértice adjuntos a vectores de celosía. Borcherds formuló la noción de álgebra de vértices axiomatizando las relaciones entre los operadores de vértices de celosía, produciendo una estructura algebraica que permite construir nuevas álgebras de Lie siguiendo el método de Frenkel.
La noción de álgebra de operadores de vértices fue introducida como una modificación de la noción de álgebra de vértices, por Frenkel, James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, como parte de su proyecto para construir el módulo Moonshine . Observaron que muchas álgebras de vértices que aparecen en la naturaleza tienen una estructura adicional útil (una acción del álgebra de Virasoro) y satisfacen una propiedad acotada por debajo con respecto a un operador de energía. Motivados por esta observación, agregaron la acción de Virasoro y la propiedad delimitada por debajo como axiomas.
Ahora tenemos una motivación post-hoc para estas nociones de la física, junto con varias interpretaciones de los axiomas que inicialmente no se conocían. Físicamente, los operadores de vértice que surgen de inserciones de campo holomórfico en puntos (es decir, vértices) en la teoría de campo conforme bidimensional admiten expansiones de producto de operador cuando las inserciones chocan, y estas satisfacen precisamente las relaciones especificadas en la definición de álgebra de operador de vértice. De hecho, los axiomas de un álgebra de operador de vértice son una interpretación algebraica formal de lo que los físicos llaman álgebras quirales , o "álgebras de simetrías quirales", donde estas simetrías describen las identidades de Ward satisfechas por una teoría de campo conforme, incluida la invariancia conforme. Otras formulaciones de los axiomas del álgebra de vértice incluyen el trabajo posterior de Borcherds sobre anillos conmutativos singulares, álgebras sobre ciertas operadas en curvas introducidas por Huang, Kriz y otros, y objetos teóricos del módulo D llamados álgebras quirales introducidos por Alexander Beilinson y Vladimir Drinfeld . Si bien están relacionadas, estas álgebras quirales no son exactamente iguales a los objetos con el mismo nombre que usan los físicos.
Ejemplos básicos importantes de álgebras de operadores de vértice incluyen VOA de celosía (modelado de teorías de campo conforme de celosía), VOA dados por representaciones de álgebras afines de Kac-Moody (del modelo WZW ), VOA de Virasoro (es decir, VOA correspondientes a representaciones del álgebra de Virasoro ) y el módulo Moonshine V ♮ , que se distingue por su monstruosa simetría. Ejemplos más sofisticados, como las W-álgebras afines y el complejo quiral de Rham en una variedad compleja, surgen en la teoría de la representación geométrica y la física matemática .
Definicion formal
Álgebra de vértice
Un álgebra de vértices es una colección de datos que satisfacen ciertos axiomas.
Datos
- un espacio vectorial V , llamado espacio de estados. El campo subyacente se toma típicamente como los números complejos, aunque la formulación original de Borcherds permitía un anillo conmutativo arbitrario.
- un elemento de identidad 1 ∈ V , a veces escritoo Ω para indicar un estado de vacío.
- un endomorfismo T : V → V , llamado "traducción". (La formulación original de Borcherds incluía un sistema de potencias divididas de T , porque no asumió que el anillo de tierra fuera divisible).
- un mapa de multiplicación lineal Y : V ⊗ V → V (( z )) , donde V (( z )) es el espacio de todas las series formal de Laurent con coeficientes en V . Esta estructura se presenta alternativamente como una colección infinita de productos bilineales u n v , o como un mapa de multiplicación por la izquierda V → Fin ( V ) [[ z ± 1 ]] , llamado correspondencia de campo de estado. Para cada u ∈ V , la distribución formal con valores de operador Y ( u , z ) se llama operador de vértice o campo (insertado en cero), y el coeficiente de z - n −1 es el operador u n . La notación estándar para la multiplicación es
- .
Axiomas
Estos datos son necesarios para satisfacer los siguientes axiomas:
- Identidad. Para cualquier u ∈ V , Y (1, z ) u = u = uz 0 y Y ( u , z ) 1 ∈ u + zV [[ z ]] .
- Traducción. T (1) = 0 , y para cualquier u , v ∈ V ,
- Localidad (identidad Jacobi o identidad Borcherds). Para cualquier u , v ∈ V , existe un entero positivo N tal que:
Formulaciones equivalentes del axioma de localidad
El axioma de la localidad tiene varias formulaciones equivalentes en la literatura, por ejemplo, Frenkel-Lepowsky-Meurman introdujo la identidad de Jacobi:
donde definimos la serie delta formal por:
Borcherds [1] usado inicialmente las dos identidades siguientes: para cualesquiera vectores u , v , y w , y los números enteros m y n tenemos
y
- .
Más tarde dio una versión más expansiva que es equivalente pero más fácil de usar: para cualquier vector u , v y w , y enteros m , n y q tenemos
Finalmente, hay una versión de función formal de localidad: para cualquier u , v , w ∈ V , hay un elemento
tal que Y ( u , z ) Y ( v , x ) w e Y ( v , x ) Y ( u , z ) w son las expansiones correspondientes deen V (( z )) (( x )) y V (( x )) (( z )) .
Álgebra de operadores de vértice
Un álgebra de operador de vértice es un álgebra de vértice equipada con un elemento conforme ω , de modo que el operador de vértice Y ( ω , z ) es el peso de dos campos de Virasoro L ( z ) :
y satisface las siguientes propiedades:
- [ L m , L n ] = ( m - n ) L m + n + (δ m + n, 0/12) ( m 3 - m ) c Id V , donde c es una constante llamada carga central , o rango de V . En particular, los coeficientes de este operador de vértice dotan a V de una acción del álgebra de Virasoro con carga central c .
- L 0 actúa semisimplemente sobre V con valores propios enteros que están delimitados por debajo.
- Bajo la clasificación proporcionada por los valores propios de L 0 , la multiplicación en V es homogénea en el sentido de que si u y v son homogéneos, entonces u n v es homogénea de grado deg ( u ) + deg ( v ) - n - 1 .
- La identidad 1 tiene grado 0 y el elemento conforme ω tiene grado 2.
- L -1 = t .
Un homomorfismo de álgebras de vértices es un mapa de los espacios vectoriales subyacentes que respeta la estructura adicional de identidad, traducción y multiplicación. Los homomorfismos de las álgebras de operadores de vértices tienen formas "débiles" y "fuertes", según respeten los vectores conformes.
Álgebras conmutativas de vértices
Un álgebra de vértice V es conmutativa si todos los operadores de vértice se conmutan entre sí. Esto es equivalente a la propiedad de que todos los productos Y ( u , z ) v se encuentran en V [[ z ]]. Dada un álgebra de vértice conmutativa, los términos constantes de multiplicación dotan al espacio vectorial de una estructura de anillo conmutativa, y T es una derivación. A la inversa, cualquier anillo conmutativo V con derivación T tiene una estructura de álgebra de vértice canónica, donde establecemos Y ( u , z ) v = u –1 v z 0 = uv . Si la derivación T desaparece, podemos establecer ω = 0 para obtener un álgebra de operador de vértice concentrada en grado cero.
Cualquier álgebra de vértices de dimensión finita es conmutativa. En particular, incluso los ejemplos más pequeños de álgebras de vértices no conmutativas requieren una introducción significativa.
Propiedades básicas
El operador de traslación T en un álgebra de vértices induce simetrías infinitesimales en la estructura del producto y satisface las siguientes propiedades:
- Y ( u , z ) 1 = e zT u
- Tu = u -2 1, por lo que T se determina por Y .
- Y ( Tu , z ) = d ( Y ( u , z )) / dz
- e xT Y ( u , z ) e −xT = Y ( e xT u , z ) = Y ( u , z + x )
- (simetría oblicua ) Y ( u , z ) v = e zT Y ( v , - z ) u
Para un álgebra de operadores de vértice, los otros operadores de Virasoro satisfacen propiedades similares:
- x L 0 Y ( u , z ) x −L 0 = Y ( x L 0 u , xz )
- e xL 1 Y ( u , z ) e −xL 1 = Y (e x (1 – xz) L 1 (1– xz ) −2L 0 u , z (1– xz ) −1 )
- (cuasi-conformidad) para todo m ≥ – 1.
- (Asociatividad, o propiedad de Cousin): Para cualquier u , v , w ∈ V , el elemento
dada en la definición también se expande a Y ( Y ( u , z - x ) v , x ) w en V (( x )) (( z - x )).
La propiedad de asociatividad de un álgebra de vértice se deriva del hecho de que el conmutador de Y ( u , z ) e Y ( v , x ) es aniquilado por una potencia finita de z - x , es decir, se puede expandir como una combinación lineal finita. de derivadas de la función delta formal en ( z - x ), con coeficientes en End ( V ).
Reconstrucción: Sea V un álgebra de vértice, y sea { J a } un conjunto de vectores, con los campos correspondientes J a ( z ) ∈ End ( V ) [[ z ± 1 ]]. Si V está dividido por monomios en los coeficientes de peso positivos de los campos (es decir, productos finitos de los operadores J a n aplicados a 1, donde n es negativo), entonces podemos escribir el producto del operador de tal monomio como un producto normalmente ordenado. de derivadas de potencia divididas de campos (aquí, el orden normal significa que los términos polares de la izquierda se mueven hacia la derecha). Específicamente,
De manera más general, si se le da un espacio vectorial V con un endomorfismo T y un vector 1, y se asigna a un conjunto de vectores J a un conjunto de campos J a ( z ) ∈ Fin ( V ) [[ z ± 1 ]] que son mutuamente locales, cuyos coeficientes de ponderación positivos generan V , y que satisfacen las condiciones de identidad y traducción, entonces la fórmula anterior describe una estructura de vértice álgebra.
Ejemplo: el bosón libre de rango 1
Un ejemplo básico de un álgebra de vértice no conmutativa es el bosón libre de rango 1, también llamado álgebra de operador de vértice de Heisenberg. Es "generado" por un solo vector b , en el sentido de que aplicando los coeficientes del campo b ( z ) = Y ( b , z ) al vector 1 , obtenemos un conjunto de expansión. El espacio vectorial subyacente es el anillo polinomial de variable infinita C [ x 1 , x 2 , ...], donde para n positivo , el coeficiente b –n de Y ( b , z ) actúa como una multiplicación por x n y b n actúa como n veces la derivada parcial en x n . La acción de b 0 es la multiplicación por cero, produciendo la representación de Fock de "momento cero" V 0 del álgebra de Lie de Heisenberg (generada por b n para enteros n , con relaciones de conmutación [ b n , b m ] = n δ n, - m ), es decir, inducida por la representación trivial de la subálgebra abarcada por b n , n ≥ 0.
El espacio de Fock V 0 se puede convertir en un álgebra de vértice mediante la siguiente reconstrucción:
donde: ..: denota el orden normal (es decir, moviendo todas las derivadas en x hacia la derecha). Los operadores de vértice también pueden escribirse como una función de una función multivariable f como:
si entendemos que cada término en la expansión de f tiene un orden normal.
El bosón libre de rango n se obtiene tomando un producto tensorial de n veces del bosón libre de rango 1. Para cualquier vector b en el espacio n -dimensional, se tiene un campo b ( z ) cuyos coeficientes son elementos del álgebra de Heisenberg de rango n , cuyas relaciones de conmutación tienen un término de producto interno adicional: [ b n , c m ] = n (b , c) δ n, –m .
Ejemplo: álgebras de operadores de vértice de Virasoro
Las álgebras de operadores de vértices de Virasoro son importantes por dos razones: Primero, el elemento conforme en un álgebra de operadores de vértices induce canónicamente un homomorfismo a partir de un álgebra de operadores de vértices de Virasoro, por lo que desempeñan un papel universal en la teoría. En segundo lugar, están íntimamente conectados con la teoría de las representaciones unitarias del álgebra de Virasoro, y desempeñan un papel importante en la teoría de campos conforme . En particular, los modelos mínimos unitarios de Virasoro son cocientes simples de estas álgebras de vértices, y sus productos tensoriales proporcionan una forma de construir combinatoriamente álgebras de operadores de vértices más complicadas.
El álgebra del operador del vértice de Virasoro se define como una representación inducida del álgebra de Virasoro : si elegimos una carga central c , hay un módulo unidimensional único para la subálgebra C [z] ∂ z + K para el cual K actúa por c Id , y C [z] ∂ z actúa trivialmente, y el módulo inducido correspondiente está dividido por polinomios en L –n = –z −n – 1 ∂ z cuando n rangos sobre enteros mayores que 1. El módulo entonces tiene función de partición
- .
Este espacio tiene una estructura de álgebra de operadores de vértice, donde los operadores de vértice se definen por:
y . El hecho de que el campo Virasoro L (z) sea local con respecto a sí mismo se puede deducir de la fórmula de su autoconmutador:
donde c es la carga central .
Dado un homomorfismo de álgebra de vértice de un álgebra de vértice de Virasoro de carga central c a cualquier otro álgebra de vértice, el operador de vértice adjunto a la imagen de ω satisface automáticamente las relaciones de Virasoro, es decir, la imagen de ω es un vector conforme. Por el contrario, cualquier vector conforme en un álgebra de vértice induce un homomorfismo de álgebra de vértice distinguido de algún álgebra de operador de vértice de Virasoro.
Las álgebras de operadores de vértice de Virasoro son simples, excepto cuando c tiene la forma 1–6 ( p - q ) 2 / pq para enteros coprimos p , q estrictamente mayores que 1; esto se sigue de la fórmula determinante de Kac. En estos casos excepcionales, se tiene un ideal máximo único y el cociente correspondiente se denomina modelo mínimo. Cuando p = q +1, las álgebras de vértices son representaciones unitarias de Virasoro, y sus módulos se conocen como representaciones de series discretas. Desempeñan un papel importante en la teoría de campos conforme en parte porque son inusualmente manejables, y para p pequeño , corresponden a sistemas de mecánica estadística bien conocidos en criticidad, por ejemplo, el modelo de Ising , el modelo de Ising tricrítico , el modelo de tres modelo estatal de Potts , etc. Gracias al trabajo de Weiqang Wang [2] sobre las reglas de fusión , tenemos una descripción completa de las categorías de tensores de los modelos mínimos unitarios. Por ejemplo, cuando c = 1/2 (Ising), hay tres módulos irreducibles con el peso L 0 más bajo 0, 1/2 y 1/16, y su anillo de fusión es Z [ x , y ] / ( x 2 –1, y 2 - x –1, xy - y ).
Ejemplo: módulos de vacío WZW
Al reemplazar el álgebra de Lie de Heisenberg con un álgebra de Lie Kac-Moody afín sin torcer (es decir, la extensión central universal del álgebra de bucles en un álgebra de Lie simple de dimensión finita ), se puede construir la representación del vacío de la misma manera que la libre Se construye el álgebra del vértice del bosón. Aquí, WZW se refiere al modelo de Wess-Zumino-Witten , que produce la anomalía que se interpreta como la extensión central.
Concretamente, retirando la extensión central
a lo largo de la inclusión produce una extensión dividida, y el módulo de vacío se induce a partir de la representación unidimensional de este último sobre el que actúa un elemento de base central mediante una constante elegida llamada "nivel". Dado que los elementos centrales se pueden identificar con productos internos invariantes en el álgebra de Lie de tipo finito, normalmente se normaliza el nivel para que la forma de Matar tenga un nivel dos veces mayor que el número doble de Coxeter . De manera equivalente, el nivel uno da el producto interno para el cual la raíz más larga tiene la norma 2. Esto coincide con la convención del álgebra de bucles , donde los niveles están discretizados por una tercera cohomología de grupos de Lie compactos simplemente conectados.
Al elegir una base J una de lo finito álgebra tipo Lie, se puede formar una base de la álgebra de Lie afín usando J un n = J un t n junto con un elemento central K . Mediante la reconstrucción, podemos describir los operadores de vértice mediante productos ordenados normales de las derivadas de los campos
Cuando el nivel no es crítico, es decir, el producto interno no es menos la mitad de la forma Killing, la representación del vacío tiene un elemento conforme, dado por la construcción Sugawara . [a] Para cualquier elección de bases duales J a , J a con respecto al producto interno de nivel 1, el elemento conforme es
y produce un álgebra de operador de vértice cuya carga central es. En el nivel crítico, la estructura conforme se destruye, ya que el denominador es cero, pero se pueden producir operadores L n para n ≥ –1 tomando un límite cuando k se acerca a la criticidad.
Esta construcción se puede modificar para que funcione para el bosón libre de rango 1. De hecho, los vectores de Virasoro forman una familia de un parámetro ω s = 1/2 x 1 2 + s x 2 , dotando a las álgebras de operadores de vértice resultantes con carga central 1-12s 2 . Cuando s = 0, tenemos la siguiente fórmula para la dimensión graduada:
Esto se conoce como la función generadora de particiones , y también se escribe como q 1/24 veces el peso −1/2 de la forma modular 1 / η (la función eta de Dedekind ). El bosón libre de rango n tiene entonces una familia de n parámetros de vectores Virasoro, y cuando esos parámetros son cero, el carácter es q n / 24 veces el peso - n / 2 forma modular η −n .
Módulos
Al igual que los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo o representación. Los módulos juegan un papel importante en la teoría de campos conforme, donde a menudo se les llama sectores. Una suposición estándar en la literatura de física es que el espacio de Hilbert completo de una teoría de campo conforme se descompone en una suma de productos tensoriales de los sectores que se mueven a la izquierda y a la derecha:
Es decir, una teoría de campo conforme tiene un álgebra de operadores de vértice de simetrías quirales que se mueven a la izquierda, un álgebra de operadores de vértices de simetrías quirales que se mueven a la derecha y los sectores que se mueven en una dirección dada son módulos para el álgebra de operadores de vértices correspondiente.
Dado un álgebra de vértice V con multiplicación Y , un módulo V es un espacio vectorial M equipado con una acción Y M : V ⊗ M → M (( z )), que satisface las siguientes condiciones:
- (Identidad) Y M (1, z) = Id M
- (Asociatividad o identidad de Jacobi) Para cualquier u , v ∈ V , w ∈ M , hay un elemento
tal que Y M ( u , z ) Y M ( v , x ) w y Y M ( Y ( u , z - x ) v , x ) w son las correspondientes expansiones deen M (( z )) (( x )) y M (( x )) (( z - x )). De manera equivalente, se mantiene la siguiente " identidad Jacobi ":
Los módulos de un álgebra de vértice forman una categoría abeliana . Cuando se trabaja con álgebra de operadores vértice, la definición anterior se da el nombre de " módulo débil ", y V se requiere -modules para satisfacer la condición adicional de que L 0 actúa semisimply con eigenspaces y valores propios de dimensión finita limitada hacia abajo en cada clase lateral de Z . El trabajo de Huang, Lepowsky, Miyamoto y Zhang ha demostrado en varios niveles de generalidad que los módulos de un álgebra de operadores de vértice admiten una operación de producto de tensor de fusión y forman una categoría de tensor trenzado .
Cuando la categoría de módulos V es semisimple con un número finito de objetos irreducibles, el operador de vértice álgebra V se llama racional. Se sabe que las álgebras de operadores de vértices racionales que satisfacen una hipótesis adicional de finitud (conocida como condición de finitud C 2 de Zhu) se comportan particularmente bien y se denominan "regulares". Por ejemplo, el teorema de invariancia modular de Zhu de 1996 afirma que los caracteres de los módulos de un VOA regular forman una representación con valores vectoriales de SL 2 ( Z ). En particular, si un VOA es holomórfico , es decir, su categoría de representación es equivalente a la de los espacios vectoriales, entonces su función de partición es SL 2 ( Z ) -invariante hasta una constante. Huang demostró que la categoría de módulos de un VOA regular es una categoría tensorial modular , y sus reglas de fusión satisfacen la fórmula de Verlinde .
Para conectar con nuestro primer ejemplo, los módulos irreductibles del bosón libre de rango 1 están dados por espacios de Fock V λ con algún momento fijo λ, es decir, representaciones inducidas del álgebra de Lie de Heisenberg , donde el elemento b 0 actúa por multiplicación escalar por λ . El espacio se puede escribir como C [ x 1 , x 2 , ...] v λ , donde v λ es un vector de estado fundamental distinguido. La categoría de módulo no es semisimple, ya que se puede inducir una representación del álgebra de Lie abeliana donde b 0 actúa mediante un bloque de Jordan no trivial . Para el bosón libre de rango n , se tiene un módulo irreducible V λ para cada vector λ en el espacio complejo n -dimensional. Cada vector b ∈ C n produce el operador b 0 , y el espacio de Fock V λ se distingue por la propiedad de que cada uno de estos b 0 actúa como una multiplicación escalar por el producto interno ( b , λ).
A diferencia de los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo retorcido unido a un automorfismo. Para un automorfismo σ de orden N , la acción tiene la forma V ⊗ M → M (( z 1 / N )), con la siguiente condición de monodromía : si u ∈ V satisface σ u = exp (2π ik / N ) u , entonces u n = 0 a menos que n satisfaga n + k / N ∈ Z (existe cierto desacuerdo sobre los signos entre los especialistas). Geométricamente, los módulos retorcidos se pueden unir a los puntos de ramificación en una curva algebraica con una cubierta de Galois ramificada . En la literatura de la teoría de campos conforme, los módulos retorcidos se denominan sectores retorcidos y están íntimamente conectados con la teoría de cuerdas en los orbifolds .
Álgebra de operadores de vértice definida por un retículo par
La construcción del álgebra de vértices de celosía fue la motivación original para definir las álgebras de vértices. Se construye tomando una suma de módulos irreducibles para el bosón libre correspondiente a vectores de celosía y definiendo una operación de multiplicación especificando operadores entrelazados entre ellos. Es decir, si Λ es un retículo par, el álgebra de vértice del retículo V Λ se descompone en módulos bosónicos libres como:
Las álgebras de vértices de celosía están unidas canónicamente a cubiertas dobles de celosías integrales uniformes , en lugar de las celosías mismas. Si bien cada una de estas celosías tiene un álgebra de vértice de celosía única hasta el isomorfismo, la construcción del álgebra de vértice no es funcional, porque los automorfismos de celosía tienen una ambigüedad en la elevación. [1]
Las cubiertas dobles en cuestión están determinadas unívocamente hasta el isomorfismo por la siguiente regla: los elementos tienen la forma ± e α para los vectores de celosía α ∈ Λ (es decir, hay un mapa para Λ enviar e α a α que se olvida de los signos), y la multiplicación satisface las relaciones e α e β = (–1) (α, β) e β e α . Otra forma de describir esto es que, dada una aún celosía Λ , hay un único (hasta coborde) normalizada cociclo ε ( α , β ) con valores de ± 1 tal que (-1) ( α , β ) = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , donde la condición de normalización es que ε (α, 0) = ε (0, α) = 1 para todo α ∈ Λ . Este ciclo induce una extensión central de Λ por un grupo de orden 2, y obtenemos un anillo de grupo trenzado C ε [Λ] con base e α ( α ∈ Λ) , y regla de multiplicación e α e β = ε ( α , β ) e α + β - la condición de ciclo en ε asegura la asociatividad del anillo. [3]
El operador de vértice adjunto al vector de peso más bajo v λ en el espacio de Fock V λ es
donde z λ es una abreviatura del mapa lineal que lleva cualquier elemento del espacio α-Fock V α al monomio z ( λ , α ) . Los operadores de vértice para otros elementos del espacio de Fock se determinan luego mediante reconstrucción.
Como en el caso del bosón libre, se puede elegir un vector conforme, dado por un elemento s del espacio vectorial Λ ⊗ C , pero la condición de que los espacios de Fock adicionales tengan valores propios enteros L 0 restringe la elección de s : para una base ortonormal x i , el vector 1/2 x i, 1 2 + s 2 debe satisfacer ( s , λ ) ∈ Z para todo λ ∈ Λ, es decir, s se encuentra en la red dual.
Si la red par Λ es generada por sus "vectores raíz" (los que satisfacen (α, α) = 2), y dos vectores raíz cualesquiera están unidos por una cadena de vectores raíz con productos internos consecutivos distintos de cero, entonces el álgebra del operador de vértice es el cociente simple único del módulo de vacío del álgebra afín de Kac-Moody del álgebra de Lie simple simple entrelazada correspondiente en el nivel uno. Esto se conoce como la construcción de Frenkel-Kac (o Frenkel - Kac - Segal ) y se basa en la construcción anterior de Sergio Fubini y Gabriele Veneziano del operador de vértice taquiónico en el modelo de resonancia dual . Entre otras características, los modos cero de los operadores de vértice correspondientes a los vectores raíz dan una construcción del álgebra de Lie simple subyacente, relacionada con una presentación originalmente debida a Jacques Tits . En particular, se obtiene una construcción de todos los grupos de Lie de tipo ADE directamente de sus redes de raíces. Y esta se considera comúnmente la forma más sencilla de construir el grupo E 8 de 248 dimensiones . [3] [4]
Operador de vértice superalgebras
Al permitir que el espacio vectorial subyacente sea un superespacio (es decir, un espacio vectorial de grado Z / 2 Z) se puede definir una superalgebra de vértice con los mismos datos que un álgebra de vértice, con 1 en V + y T un operador par. Los axiomas son esencialmente los mismos, pero se deben incorporar signos adecuados en el axioma de localidad, o en una de las formulaciones equivalentes. Es decir, si un y b son homogéneas, se compara Y ( un , z ) Y ( b , w ) con ε Y ( b , w ) Y ( un , z ), donde ε es -1 si tanto un y b son impar y 1 de lo contrario. Si además hay un elemento Virasoro ω en la parte par de V 2 , y se satisfacen las restricciones de clasificación habituales, entonces V se denomina superalgebra de operador de vértice .
Uno de los ejemplos más simples es el operador de vértice superalgebra generado por un solo fermión libre ψ. Como representación de Virasoro, tiene carga central 1/2 y se descompone como una suma directa de los módulos Ising de menor peso 0 y 1/2. También se puede describir como una representación de espín del álgebra de Clifford en el espacio cuadrático t 1/2 C [ t , t −1 ] ( dt ) 1/2 con apareamiento de residuos. El operador de vértice superalgebra es holomórfico, en el sentido de que todos los módulos son sumas directas de sí mismo, es decir, la categoría de módulo es equivalente a la categoría de espacios vectoriales.
El cuadrado tensor de la fermion libre se llama el fermion Charged libre, y por correspondencia de Higgs-fermión, es isomorfa a la red vértice superálgebra unido a la red extraña Z . [3] Esta correspondencia ha sido utilizada por Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa para construir soluciones de solitones a la jerarquía KP de PDE no lineales.
Estructuras superconformales
El álgebra de Virasoro tiene algunas extensiones supersimétricas que aparecen naturalmente en la teoría de campos superconformales y la teoría de supercuerdas . Las álgebras superconformales N = 1, 2 y 4 son de particular importancia.
Infinitesimal holomorphic superconformal transformaciones de un supercurve (con una incluso local de coordenadas z y N impar coordenadas locales theta 1 , ..., θ N ) son generadas por los coeficientes de un super-tensión-energía tensor T (z, θ 1 ,. .., θ N ).
Cuando N = 1, T tiene una parte impar dada por un campo de Virasoro L ( z ), y una parte par dada por un campo
sujeto a relaciones de conmutación
Al examinar la simetría de los productos del operador, se encuentra que hay dos posibilidades para el campo G : los índices n son todos enteros, lo que da como resultado el álgebra de Ramond , o todos los medios enteros, lo que genera el álgebra de Neveu-Schwarz . Estas álgebras tienen representaciones unitarias en series discretas con carga central.
y representaciones unitarias para todo c mayor que 3/2, con el menor peso h solo limitado por h ≥ 0 para Neveu-Schwarz y h ≥ c / 24 para Ramond.
Un vector superconformal N = 1 en un álgebra de operador de vértice V de carga central c es un elemento impar τ ∈ V de peso 3/2, tal que
G −1/2 τ = ω, y los coeficientes de G ( z ) producen una acción del álgebra de N = 1 Neveu-Schwarz en la carga central c .
Para la supersimetría N = 2, se obtienen los campos pares L ( z ) y J ( z ), y los campos impares G + (z) y G - (z). El campo J ( z ) genera una acción de las álgebras de Heisenberg (descritas por los físicos como una corriente U (1)). Existen álgebras superconformales de Ramond y Neveu-Schwarz N = 2, dependiendo de si la indexación en los campos G es integral o semi-integral. Sin embargo, la corriente U (1) da lugar a una familia de un parámetro de álgebras superconformales isomorfas que se interpolan entre Ramond y Neveu-Schwartz, y esta deformación de la estructura se conoce como flujo espectral. Las representaciones unitarias están dadas por series discretas con carga central c = 3-6 / m para enteros m al menos 3, y un continuo de pesos más bajos para c > 3.
Una estructura superconformal N = 2 en un álgebra de operador de vértice es un par de elementos impares τ + , τ - de peso 3/2, y un elemento par µ de peso 1 tal que τ ± genera G ± (z), y µ genera J ( z ).
Para N = 3 y 4, las representaciones unitarias solo tienen cargas centrales en una familia discreta, con c = 3 k / 2 y 6 k , respectivamente, ya que k varía sobre enteros positivos.
Construcciones adicionales
- Subálgebras de punto fijo: Dada una acción de un grupo de simetría en un álgebra de operadores de vértice, la subálgebra de vectores fijos es también un álgebra de operadores de vértices. En 2013, Miyamoto demostró que dos importantes propiedades de finitud, a saber, la condición C 2 de Zhu y la regularidad, se conservan cuando se toman puntos fijos en acciones de grupos finitos con solución.
- Extensiones actuales: Dado un álgebra de operador de vértice y algunos módulos de peso conformal integral, se puede, en circunstancias favorables, describir una estructura de álgebra de operador de vértice en la suma directa. Las álgebras de vértices de celosía son un ejemplo estándar de esto. Otra familia de ejemplos son los VOA enmarcados, que comienzan con productos tensoriales de los modelos de Ising y agregan módulos que corresponden a códigos adecuadamente uniformes.
- Orbifolds: Dado un grupo cíclico finito que actúa sobre un VOA holomórfico, se conjetura que se puede construir un segundo VOA holomórfico al unir módulos retorcidos irreducibles y tomar puntos fijos bajo un automorfismo inducido, siempre que esos módulos retorcidos tengan un peso conformal adecuado. Se sabe que esto es cierto en casos especiales, por ejemplo, grupos de orden 3 como máximo que actúan sobre los VOA de celosía.
- La construcción de la clase lateral (debido a Goddard, Kent y Olive): dado un álgebra V de operador de vértice de carga central cy un conjunto S de vectores, se puede definir el conmutador C ( V , S ) como el subespacio de vectores v estrictamente conmutan con todos los campos procedentes de S , es decir, tal que Y ( s , z ) v ∈ V [[ z ]] para todo s ∈ S . Este resulta ser un subálgebra vértice, con Y , T , y la identidad heredada de V . y si S es un VOA de carga central c S , la commutant es un VOA de carga central c - c S . Por ejemplo, la inclusión de SU (2) en el nivel k +1 en el producto tensorial de dos álgebras SU (2) en los niveles k y 1 produce la serie discreta de Virasoro con p = k +2, q = k +3, y esto se utilizó para probar su existencia en la década de 1980. Nuevamente con SU (2), la incrustación del nivel k +2 en el producto tensorial del nivel k y el nivel 2 produce la serie discreta superconformal N = 1.
- Reducción de BRST: Para cualquier vector v de grado 1 que satisfaga v 0 2 = 0, la cohomología de este operador tiene una estructura de superalgebra de vértice graduada. De manera más general, se puede usar cualquier campo de peso 1 cuyo residuo tenga un cuadrado cero. El método habitual es tensor con fermiones, ya que entonces se tiene un diferencial canónico. Un caso especial importante es la reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov aplicada a álgebras afines de Kac-Moody para obtener álgebras W afines como cohomología de grado 0. Estas álgebras de W también admiten construcciones como subálgebras de vértice de bosones libres dadas por núcleos de operadores de cribado.
Ejemplos adicionales
- El álgebra del vértice del monstruo (también llamado el "módulo de luz de luna"), la clave para la demostración de Borcherds de las conjeturas de la luz de luna monstruosa , fue construida por Frenkel, Lepowsky y Meurman en 1988. Es notable porque su función de partición es el invariante modular j -744, y su El grupo de automorfismo es el grupo simple esporádico más grande, conocido como el grupo de monstruos . Se construye orbitando el VOA de la celosía de Leech mediante el automorfismo de orden 2 inducido al reflejar la celosía de Leech en el origen. Es decir, se forma la suma directa del VOA de la red Leech con el módulo trenzado y se toman los puntos fijos bajo una involución inducida. Frenkel, Lepowsky y Meurman conjeturaron en 1988 quees el único álgebra de operador de vértice holomórfico con carga central 24 y función de partición j –744. Esta conjetura sigue abierta.
- Complejo quiral de Rham: Malikov, Schechtman y Vaintrob demostraron que mediante un método de localización, uno puede unir canónicamente un sistema bcβγ (supercampo bosón-fermión) a una variedad compleja suave. Este complejo de haces tiene un diferencial distinguido, y la cohomología global es un vértice superalgebra. Ben-Zvi, Heluani y Szczesny demostraron que una métrica de Riemann en la variedad induce una estructura superconformal N = 1, que se promueve a una estructura N = 2 si la métrica es Kähler y Ricci-flat, y una estructura hiperKähler induce una N = 4 estructura. Borisov y Libgober demostraron que se puede obtener el género elíptico de dos variables de una variedad compleja compacta a partir de la cohomología de Chiral de Rham; si la variedad es Calabi-Yau, entonces este género es una forma débil de Jacobi . [5]
Estructuras algebraicas relacionadas
- Si se considera solo la parte singular del OPE en un álgebra de vértice, se llega a la definición de un álgebra conforme de Lie . Dado que a menudo uno solo se preocupa por la parte singular del OPE, esto hace que las álgebras conformes de Lie sean un objeto natural para estudiar. Hay un funtor de álgebras de vértices a álgebras conformales de Lie que olvida la parte regular de OPE, y tiene un adjunto izquierdo, llamado el functor de "álgebra de vértice universal". Los módulos de vacío de álgebras afines de Kac-Moody y álgebras de vértices de Virasoro son álgebras de vértices universales y, en particular, pueden describirse de manera muy concisa una vez que se desarrolle la teoría de fondo.
- Hay varias generalizaciones de la noción de álgebra de vértices en la literatura. Algunas generalizaciones leves implican un debilitamiento del axioma de localidad para permitir la monodromía, por ejemplo, las álgebras entrelazadas abelianas de Dong y Lepowsky. Uno puede verlos aproximadamente como objetos de álgebra de vértice en una categoría de tensor trenzado de espacios vectoriales graduados, de la misma manera que una superalgebra de vértice es un objeto de este tipo en la categoría de espacios super vectoriales. Las generalizaciones más complicadas se relacionan con q -deformaciones y representaciones de grupos cuánticos, como en el trabajo de Frenkel-Reshetikhin, Etingof-Kazhdan y Li.
- Beilinson y Drinfeld introdujeron una noción de álgebra quiral basada en la teoría de la gavilla que está estrechamente relacionada con la noción de álgebra de vértices, pero que se define sin utilizar ninguna serie de potencias visibles. Dada una curva algebraica X , un álgebra quiral en X es un módulo D X A equipado con una operación de multiplicaciónen X × X que satisface una condición de asociatividad. También introdujeron una noción equivalente de álgebra de factorización que es un sistema de poleas cuasicoherentes en todos los productos finitos de la curva, junto con una condición de compatibilidad que implica retrocesos al complemento de varias diagonales. Cualquier álgebra quiral equivariante de traducción en la línea afín se puede identificar con un álgebra de vértice tomando la fibra en un punto, y existe una forma natural de adjuntar un álgebra quiral en una curva algebraica suave a cualquier álgebra de operador de vértice.
Ver también
- Álgebra de operadores
Notas
- ^ La historia de la construcción de Sugawara es complicada, con varios intentos necesarios para obtener la fórmula correcta. [1]
Citas
- ↑ a b Borcherds, 1986 .
- ^ Wang 1993 .
- ↑ a b c Kac, 1998 .
- ^ Frenkel, Lepowsky y Meurman 1988 .
- ^ Borisov y Libgober (2000) .
Fuentes
- Borcherds, Richard (1986), "Álgebras de vértices, álgebras de Kac-Moody y el monstruo", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 83 : 3068-3071, Bibcode : 1986PNAS ... 83.3068B , doi : 10.1073 / pnas.83.10.3068 , PMC 323452 , PMID 16593694
- Borisov, Lev A .; Libgober, Anatoly (2000), "Géneros elípticos de variedades tóricas y aplicaciones a la simetría especular", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 453–485, arXiv : math / 9904126 , doi : 10.1007 / s002220000058 , MR 1757003
- Frenkel, Edward ; Ben-Zvi, David (2001), Álgebras de vértices y curvas algebraicas , Estudios y monografías matemáticas, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
- Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Álgebras de operador de vértice y el monstruo , Matemáticas puras y aplicadas, 134 , Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
- Kac, Victor (1998), Álgebras de vértices para principiantes , University Lecture Series, 10 (2a ed.), American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1396-X
- Wang, Weiqiang (1993), "Racionalidad de las álgebras de operadores de vértice de Virasoro", Duke Math. J. IMRN , 71 : 197–211
- Xu, Xiaoping (1998), Introducción al operador de vértice superalgebras y sus módulos , Springer, ISBN 079235242-4