Suma exponencial

En matemáticas , una suma exponencial puede ser una serie finita de Fourier (es decir, un polinomio trigonométrico ), u otra suma finita formada usando la función exponencial , generalmente expresada por medio de la función

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Por lo tanto, una suma exponencial típica puede tomar la forma

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

sumados sobre una secuencia finita de números reales x _n .

Formulación

Si permitimos que algunos coeficientes reales de una _n , para obtener el formulario

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

es lo mismo que permitir exponentes que son números complejos . Ambas formas son ciertamente útiles en aplicaciones. Una gran parte de la teoría analítica de números del siglo XX se dedicó a encontrar buenas estimaciones para estas sumas, una tendencia iniciada por el trabajo básico de Hermann Weyl en aproximación diofántica .

Estimados

La idea central del tema es que una suma

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

se estima trivialmente por el número N de términos. Es decir, el valor absoluto

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

por la desigualdad del triángulo , ya que cada sumando tiene un valor absoluto 1. En las aplicaciones, a uno le gustaría hacerlo mejor. Eso implica probar que tiene lugar alguna cancelación, o en otras palabras, que esta suma de números complejos en el círculo unitario no es de números todos con el mismo argumento . Lo mejor que es razonable esperar es una estimación de la forma

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

lo que significa, hasta la constante implícita en la notación O grande , que la suma se asemeja a un paseo aleatorio en dos dimensiones.

Tal estimación puede considerarse ideal; es inalcanzable en muchos de los principales problemas, y se estima

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

deben utilizarse, donde la función o ( N ) representa sólo un pequeño ahorro en la estimación trivial. Un 'pequeño ahorro' típico puede ser un factor de log ( N ), por ejemplo. Incluso un resultado aparentemente menor en la dirección correcta debe remitirse a la estructura de la secuencia inicial x _n , para mostrar un grado de aleatoriedad . Las técnicas involucradas son ingeniosas y sutiles.

Una variante de la 'diferenciación de Weyl' investigada por Weyl que implica una suma exponencial generadora

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

Fue estudiado previamente por el propio Weyl, desarrolló un método para expresar la suma como el valor , donde 'G' se puede definir mediante una ecuación diferencial lineal similar a la ecuación de Dyson obtenida mediante la suma por partes.${\displaystyle G(0)}$

Historia

Si la suma tiene la forma

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

donde f es una función suave, podríamos usar la fórmula de Euler-Maclaurin para convertir la serie en una integral, más algunas correcciones que involucren derivadas de S ( x ), luego, para valores grandes de a , podría usar el método de "fase estacionaria" para calcular la integral y dar una evaluación aproximada de la suma. Los principales avances en el tema fueron el método de Van der Corput (c. 1920), relacionado con el principio de la fase estacionaria , y el posterior método de Vinogradov (c. 1930).

El método del tamiz grande (c. 1960), obra de muchos investigadores, es un principio general relativamente transparente; pero ningún método tiene una aplicación general.

Tipos de suma exponencial

Se utilizan muchos tipos de sumas para formular problemas particulares; las aplicaciones suelen requerir una reducción a algún tipo conocido, a menudo mediante ingeniosas manipulaciones. Suma parcial se puede utilizar para eliminar los coeficientes de un _n , en muchos casos.

Una distinción básica es entre una suma exponencial completa , que normalmente es una suma de todas las clases de residuos módulo algún número entero N (o anillo finito más general ), y una suma exponencial incompleta donde el rango de suma está restringido por alguna desigualdad . Ejemplos de sumas exponenciales completas son las sumas de Gauss y las sumas de Kloosterman ; Estos son, en cierto sentido, campos finitos o análogos de anillos finitos de la función gamma y algún tipo de función de Bessel., respectivamente, y tienen muchas propiedades "estructurales". Un ejemplo de una suma incompleta es la suma parcial de la suma cuadrática de Gauss (de hecho, el caso investigado por Gauss ). Aquí hay buenas estimaciones para sumas en rangos más cortos que el conjunto completo de clases de residuos, porque, en términos geométricos, las sumas parciales se aproximan a una espiral de Cornu ; esto implica una cancelación masiva.

En la teoría se producen tipos auxiliares de sumas, por ejemplo , sumas de caracteres ; volviendo a la tesis de Harold Davenport . Las conjeturas de Weil tenían aplicaciones importantes para completar sumas con dominio restringido por condiciones polinomiales (es decir, a lo largo de una variedad algebraica sobre un campo finito).

Sumas de Weyl

Uno de los tipos más generales de suma exponencial es la suma de Weyl , con exponentes 2π if ( n ) donde f es una función suave de valor real bastante general . Estas son las sumas involucradas en la distribución de los valores.

ƒ ( n ) módulo 1,

según el criterio de equidistribución de Weyl . Un avance básico fue la desigualdad de Weyl para tales sumas, para el polinomio f .

Existe una teoría general de pares de exponentes , que formula estimaciones. Un caso importante es donde f es logarítmico, en relación con la función zeta de Riemann . Véase también el teorema de equidistribución . ^[1]

Ejemplo: la suma cuadrática de Gauss

Sea p un primo impar y sea . Entonces la suma cuadrática de Gauss viene dada por${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

donde las raíces cuadradas se toman como positivas.

Este es el grado ideal de cancelación que uno podría esperar sin ningún conocimiento a priori de la estructura de la suma, ya que coincide con la escala de un paseo aleatorio .

Ver también

• Lema de Hua

Referencias

1. Montgomery (1994) p.39

• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 84 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001 .
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .

Otras lecturas

• Korobov, NM (1992). Sumas exponenciales y sus aplicaciones . Matemáticas y sus aplicaciones. Serie soviética. 80 . Traducido del ruso por Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl  0754.11022 .

enlaces externos

• Una breve introducción a las sumas de Weyl en Mathworld