2 22 panal | |
---|---|
(Sin imágen) | |
Tipo | Teselación uniforme |
Símbolo de coxeter | 2 22 |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3 2,2 } |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipo de 6 caras | 2 21 ![]() |
Tipos de 5 caras | 2 11 {3 4 }![]() ![]() |
Tipo de 4 caras | {3 3 }![]() |
Tipo de célula | {3,3}![]() |
Tipo de cara | {3}![]() |
Figura de la cara | {3} × {3} duoprisma |
Figura de borde | {3 2,2 } ![]() |
Figura de vértice | 1 22 ![]() |
Grupo Coxeter | , [[3,3,3 2,2 ]] |
Propiedades | vértice-transitivo , faceta-transitivo |
En geometría , el panal 2 22 es una teselación uniforme del espacio euclidiano de seis dimensiones. Puede representarse con el símbolo de Schläfli {3,3,3 2,2 }. Está construido a partir de 2 21 facetas y tiene una figura de 1 22 vértice , con 54 2 21 politopos alrededor de cada vértice.
Su disposición de vértice es la celosía E 6 , y el sistema de raíces del grupo E 6 Lie, por lo que también se puede llamar panal E 6 .
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 6 dimensiones.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
La eliminación de un nodo en el extremo de una de las ramas de 2 nodos deja el 2 21 , su único tipo de faceta ,
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace 1 22 ,.
La figura del borde es la figura del vértice de la figura del vértice, siendo aquí un 5-simplex birectificado , t 2 {3 4 },.
La figura de la cara es la figura del vértice de la figura del borde, siendo aquí un duoprisma triangular , {3} × {3},.
Número de besos
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 5-esfera en el empaque más denso conocido en 6 dimensiones, con el beso número 72, representado por los vértices de su vértice figura 1 22 .
E 6 celosía
La disposición del vértice del panal 2 22 se llama celosía E 6 . [1]
La celosía E 6 2 , con simetría [[3,3,3 2,2 ]] , se puede construir mediante la unión de dos celosías E 6 :
∪
La celosía E 6 * [2] (o E 6 3 ) con simetría [3 [3 2,2,2 ]]. La celda de Voronoi de la E 6 * celosía es el rectificado 1 22 politopo, y la teselación de Voronoi es una bitruncated 2 22 de panal de abeja . [3] Está construido por 3 copias de los vértices de celosía E 6 , una de cada una de las tres ramas del diagrama de Coxeter.
∪
∪
= dual a
.
Plegado geométrico
La grupo está relacionado con el mediante un plegado geométrico , por lo que este panal se puede proyectar en el panal de 4 dimensiones de 16 celdas .
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{3,3,3 2,2 } | {3,3,4,3} |
Panales relacionados
El panal 2 22 es uno de los 127 panales uniformes (39 únicos) consimetría. 24 de ellos tienen simetría doble [[3,3,3 2,2 ]] con 2 ramas igualmente anilladas, y 7 tienen simetría sextuplicada ( ¡ 3 ! ) [3 [3 2,2,2 ]] con anillos idénticos en los 3 sucursales. No hay panales regulares en la familia desde su Coxeter diagrama de un no lineal gráfica, pero la 2 22 y birectified 2 22 son isotópica , con sólo un tipo de faceta : 2 21 , y rectificadas 1 22 politopos respectivamente.
Simetría | Pedido | Panales |
---|---|---|
[3 2,2,2 ] | Completo | 8: |
[[3,3,3 2,2 ]] | × 2 | 24:
|
[3 [3 2,2,2 ]] | × 6 | 7: |
Nido de abeja birectificado 2 22
Nido de abeja birectificado 2 22 | |
---|---|
(Sin imágen) | |
Tipo | Teselación uniforme |
Símbolo de coxeter | 0 222 |
Símbolo de Schläfli | {3 2,2,2 } |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipo de 6 caras | 0 221 |
Tipos de 5 caras | 0 22 0 211 |
Tipo de 4 caras | 0 21 24 celdas 0 111 |
Tipo de célula | Tetraedro 0 20 Octaedro 0 11 |
Tipo de cara | Triángulo 0 10 |
Figura de vértice | Propisma {3} × {3} × {3} |
Grupo Coxeter | 6 ×, [3 [3 2,2,2 ]] |
Propiedades | vértice-transitivo , faceta-transitivo |
El panal birectificado 2 22 , ha rectificado 1 22 facetas politopo ,
, y una figura de vértice propio {3} × {3} × {3} .
Sus facetas se centran en la disposición de vértices de la celosía E 6 * , como:
∪
∪
Construcción
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace un proprism {3} × {3} × {3},.
La eliminación de un nodo en el extremo de una de las ramas de 3 nodos deja el 1 22 , su único tipo de faceta ,.
La eliminación de un segundo nodo final define 2 tipos de 5 caras: 5-simplex birectificado , 0 22 y 5-ortoplex birectificado , 0 211 .
La eliminación de un tercer nodo final define 2 tipos de 4 caras: 5 celdas rectificadas , 0 21 y 24 celdas , 0 111 .
La eliminación de un cuarto nodo final define 2 tipos de celdas: octaedro , 0 11 y tetraedro , 0 20 .
k 22 politopos
El panal 2 22 , es el cuarto en una serie dimensional de politopos uniformes, expresada por Coxeter como la serie k 22 . El final es un panal hiperbólico paracompacto, 3 22 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | E 6 | = E 6 + | = E 6 ++ | |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Simetría | [[3 2,2, -1 ]] | [[3 2,2,0 ]] | [[3 2,2,1 ]] | [[3 2,2,2 ]] | [[3 2,2,3 ]] |
Pedido | 72 | 1440 | 103.680 | ∞ | |
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | ∞ | ∞ |
Nombre | −1 22 | 0 22 | 1 22 | 2 22 | 3 22 |
El panal 2 22 es el tercero en otra serie dimensional 2 2k .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | A 5 | E 6 | = E 6 + | E 6 ++ |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grafico | ![]() | ![]() | ∞ | ∞ | |
Nombre | 2 2, -1 | 2 20 | 2 21 | 2 22 | 2 23 |
Notas
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/E6.html
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/Es6.html
- ^ Las celdas de Voronoi de las celosías E6 * y E7 * , Edward Pervin
Referencias
- Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Politopos regulares de Coxeter (1963), Macmillan Company
- Politopos regulares , tercera edición, (1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítulo 5: El caleidoscopio)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- RT Worley , la región de Voronoi de E6 * . J. Austral. Matemáticas. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268-278.
- Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Empaquetaduras de esferas, celosías y grupos ((3ª ed.) Ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. p125-126, 8.3 Las celosías de 6 dimensiones: E6 y E6 *
- Klitzing, Richard. "6D Hexacomb x3o3o3o3o * c3o3o - jakoh" .
- Klitzing, Richard. "6D Hexacumbas o3o3x3o3o * c3o3o - ramoh" .
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |