En geometría algebraica , una acción de un esquema de grupo es una generalización de una acción de grupo a un esquema de grupo . Precisamente, dado un grupo S -esquema G , una acción izquierda de G sobre un S -esquema X es un S -morfismo
tal que
- (asociatividad) , dónde es la ley de grupo,
- (unitalidad) , dónde es la sección de identidad de G .
Una acción derecha de G sobre X se define de forma análoga. Un esquema equipado con una acción de izquierda o derecha de un esquema de grupo G se denomina G -Esquema . Un morfismo equivariante entre esquemas G es un morfismo de esquemas que entrelaza las respectivas acciones G.
De manera más general, también se puede considerar (al menos algún caso especial de) una acción de un funtor de grupo : viendo a G como un funtor, una acción se da como una transformación natural que satisface las condiciones análogas a las anteriores. [1] Alternativamente, algunos autores estudian la acción de grupo en el lenguaje de un grupoide ; una acción de esquema grupal es entonces un ejemplo de esquema grupal .
Construye
Los constructos habituales para una acción de grupo , como las órbitas, se generalizan a una acción de esquema de grupo. Dejar ser una acción de esquema de grupo determinada como se indicó anteriormente.
- Dado un punto con valor T , el mapa orbital se da como .
- La órbita de x es la imagen del mapa orbital.
- El estabilizador de x es la fibra sobre del mapa
Problema de construir un cociente
A diferencia de una acción de grupo basada en la teoría de conjuntos, no existe una forma sencilla de construir un cociente para una acción de esquema de grupo. Una excepción es el caso cuando la acción es gratuita, el caso de un haz de fibras principal .
Hay varios enfoques para superar esta dificultad:
- Estructura de nivel : quizás el más antiguo, el enfoque reemplaza un objeto para clasificar por un objeto junto con una estructura de nivel
- Teoría geométrica invariante : deseche las órbitas defectuosas y luego tome un cociente. El inconveniente es que no existe una forma canónica de introducir la noción de "órbitas malas"; la noción depende de una elección de linealización . Ver también: cociente categórico , cociente GIT .
- Construcción de Borel : este es un enfoque esencialmente de topología algebraica; este enfoque requiere que uno trabaje con un espacio de dimensión infinita .
- Enfoque analítico, la teoría del espacio de Teichmüller
- Pila de cocientes : en cierto sentido, esta es la respuesta definitiva al problema. Aproximadamente, un "preapilamiento cociente" es la categoría de órbitas y uno apila (es decir, la introducción de la noción de torsor) para obtener un apilamiento cociente.
Dependiendo de las aplicaciones, otro enfoque sería cambiar el enfoque de un espacio y luego a cosas en un espacio; por ejemplo, topos . Entonces, el problema pasa de la clasificación de órbitas a la de objetos equivariantes .
Ver también
Referencias
- ^ En detalle, dada una acción de esquema de grupo, para cada morfismo , determina una acción de grupo ; es decir, el grupoactúa sobre el conjunto de puntos T. Por el contrario, si para cada, hay una acción grupal y si esas acciones son compatibles; es decir, forman una transformación natural , luego, por el lema de Yoneda , determinan una acción de esquema de grupo.
- Mumford, David ; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994). Teoría geométrica invariante . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)]. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. Señor 1304906 .