En matemáticas , en la intersección de la teoría de números y las funciones especiales , la constante de Apéry es la suma de los recíprocos de los cubos positivos . Es decir, se define como el número
Binario | 1,0011 0011 1011 1010 … |
Decimal | 1,20205 69031 59594 2854… |
Hexadecimal | 1.33BA 004F 0062 1383 … |
Fracción continua | Tenga en cuenta que esta fracción continua es infinita, pero no se sabe si esta fracción continua es periódica o no. |
donde ζ es la función zeta de Riemann . Tiene un valor aproximado de [1]
La constante lleva el nombre de Roger Apéry . Surge de forma natural en una serie de problemas físicos, incluidos los términos de segundo y tercer orden de la relación giromagnética del electrón utilizando la electrodinámica cuántica . También surge en el análisis de árboles de expansión mínimos aleatorios [2] y en conjunto con la función gamma al resolver ciertas integrales que involucran funciones exponenciales en un cociente que aparecen ocasionalmente en física, por ejemplo al evaluar el caso bidimensional del modelo de Debye. y la ley de Stefan-Boltzmann .
Numero irracional
¿Es la constante trascendental de Apéry?
ζ (3) recibió el nombre de constante de Apéry en honor al matemático francés Roger Apéry , quien demostró en 1978 que es un número irracional . [3] Este resultado se conoce como teorema de Apéry . La prueba original es compleja y difícil de comprender, [4] y más tarde se encontraron pruebas más simples. [5]
La prueba de irracionalidad simplificada de Beukers implica aproximar el integrando de la integral triple conocida para ζ (3) ,
por los polinomios de Legendre . En particular, el artículo de van der Poorten narra este enfoque al señalar que
dónde , son los polinomios de Legendre y las subsecuencias son enteros o casi enteros .
Aún no se sabe si la constante de Apéry es trascendental .
Representaciones de series
Clásico
Además de la serie fundamental:
Leonhard Euler dio la representación de la serie: [6]
en 1772, que posteriormente fue redescubierto varias veces. [7]
Otras representaciones de series clásicas incluyen:
Rápida convergencia
Desde el siglo XIX, varios matemáticos han encontrado series de aceleración de convergencia para calcular los lugares decimales de ζ (3) . Desde la década de 1990, esta búsqueda se ha centrado en series computacionalmente eficientes con tasas de convergencia rápidas (consulte la sección " Dígitos conocidos ").
La siguiente representación en serie fue encontrada por AA Markov en 1890, [8] redescubierta por Hjortnaes en 1953, [9] y redescubierta una vez más y ampliamente publicitada por Apéry en 1979: [3]
La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 1,43 nuevos decimales correctos por término: [10]
La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 3,01 nuevos decimales correctos por término: [11]
La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 5,04 nuevos decimales correctos por término: [12]
Se ha utilizado para calcular la constante de Apéry con varios millones de decimales correctos. [13]
La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 3,92 nuevos decimales correctos por término: [14]
Dígito a dígito
En 1998, Broadhurst dio una representación en serie que permite calcular dígitos binarios arbitrarios y, por lo tanto, obtener la constante en un tiempo casi lineal y en un espacio logarítmico . [15]
Otros
Ramanujan encontró la siguiente representación en serie : [16]
Simon Plouffe encontró la siguiente representación en serie en 1998: [17]
Srivastava (2000) recopiló muchas series que convergen a la constante de Apéry.
Representaciones integrales
Existen numerosas representaciones integrales de la constante de Apéry. Algunos de ellos son simples, otros son más complicados.
Fórmulas simples
Por ejemplo, este se sigue de la representación de suma para la constante de Apéry:
- .
Los dos siguientes se derivan directamente de las conocidas fórmulas integrales para la función zeta de Riemann :
y
- .
Éste se sigue de una expansión de Taylor de χ 3 ( e ix ) sobre x = ±π/2, donde χ ν ( z ) es la función chi de Legendre :
Tenga en cuenta la similitud con
donde G es la constante del catalán .
Fórmulas más complicadas
Otras fórmulas incluyen: [18]
- ,
y, [19]
- ,
Mezclando estas dos fórmulas, se puede obtener:
- ,
Por simetría,
- ,
Sumando ambos, .
Además, [20]
- .
Una conexión con las derivadas de la función gamma.
también es muy útil para la derivación de varias representaciones integrales a través de las fórmulas integrales conocidas para las funciones gamma y poligamma . [21]
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de la constante de Apéry ζ (3) ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al rendimiento cada vez mayor de las computadoras como a las mejoras algorítmicas.
Fecha | Dígitos decimales | Computación realizada por |
---|---|---|
1735 | dieciséis | Leonhard Euler |
desconocido | dieciséis | Adrien-Marie Legendre |
1887 | 32 | Thomas Joannes Stieltjes |
1996 | 520 000 | Greg J. Fee y Simon Plouffe |
1997 | 1 000 000 | Bruno Haible y Thomas Papanikolaou |
Mayo de 1997 | 10 536 006 | Patrick Demichel |
Febrero de 1998 | 14 000 074 | Sebastián Wedeniwski |
Marzo de 1998 | 32 000 213 | Sebastián Wedeniwski |
Julio de 1998 | 64 000 091 | Sebastián Wedeniwski |
Diciembre de 1998 | 128 000 026 | Sebastian Wedeniwski [1] |
Septiembre de 2001 | 200 001 000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
Febrero de 2002 | 600 001 000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
Febrero de 2003 | 1 000 000 000 | Patrick Demichel y Xavier Gourdon [22] |
Abril de 2006 | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo |
21 de enero de 2009 | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee y Raymond Chan [23] |
15 de febrero de 2009 | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee y Raymond Chan [23] |
17 de septiembre de 2010 | 100 000 001 000 | Alexander J. Yee [24] |
23 de septiembre de 2013 | 200 000 001 000 | Robert J. Setti [24] |
7 de agosto de 2015 | 250 000 000 000 | Ron Watkins [24] |
21 de diciembre de 2015 | 400 000 000 000 | Dipanjan Nag [25] |
13 de agosto de 2017 | 500 000 000 000 | Ron Watkins [24] |
26 de mayo de 2019 | 1 000 000 000 000 | Ian Cutress [26] |
26 de julio de 2020 | 1 200 000 000 100 | Seungmin Kim [27] [28] |
Recíproco
El recíproco de ζ (3) (0.8319073725807 ...) es la probabilidad de que tres enteros positivos cualesquiera , elegidos al azar, sean primos relativos , en el sentido de que a medida que N va al infinito, la probabilidad de que tres enteros positivos menores que N elegidos uniformemente al azar no compartirán un factor primo común que se acerque a este valor. (La probabilidad de n enteros positivos es 1 / ζ (n) ) [29]
Extensión a ζ (2 n + 1)
Mucha gente ha intentado extender la prueba de Apéry de que ζ (3) es irracional a otros valores de la función zeta con argumentos extraños. Infinidad de números ζ (2 n + 1) deben ser irracionales, [30] y al menos uno de los números ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) y ζ (11) deben ser irracionales. [31]
Ver también
- Función zeta de Riemann
- Problema de Basilea - ζ (2)
- Lista de sumas de recíprocos
Notas
- ↑ a b Wedeniwski (2001) .
- ^ Frieze (1985) .
- ↑ a b Apéry (1979) .
- ↑ van der Poorten (1979) .
- ^ Beukers (1979) ; Zudilin (2002) .
- ↑ Euler (1773) .
- ^ Srivastava (2000) , p. 571 (1,11).
- ^ Markov (1890) .
- ^ Hjortnaes (1953) .
- ^ Amdeberhan (1996) .
- ^ Amdeberhan y Zeilberger (1997) .
- ^ Wedeniwski (1998) ; Wedeniwski (2001) . En su mensaje a Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski afirma que derivó esta fórmula de Amdeberhan & Zeilberger (1997) . El año del descubrimiento (1998) se menciona en la Tabla de registros de Simon Plouffe (8 de abril de 2001).
- ^ Wedeniwski (1998) ; Wedeniwski (2001) .
- ^ Mohammed (2005) .
- ^ Broadhurst (1998) .
- ^ Berndt (1989 , capítulo 14, fórmulas 25.1 y 25.3).
- ^ Plouffe (1998) .
- ^ Jensen (1895) .
- ^ Beukers (1979) .
- ^ Blagouchine (2014) .
- ^ Evgrafov y col. (1969) , ejercicio 30.10.1.
- ^ Gourdon y Sebah (2003) .
- ↑ a b Yee (2009) .
- ↑ a b c d Yee (2017) .
- ↑ Nag (2015) .
- ^ Récords establecidos por y-cruncher , recuperado el 8 de junio de 2019
- ^ Registros establecidos por y-cruncher , archivados desde el original en 08/10/2020 , recuperado 10 de agosto de, 2020
- ^ Constante récord mundial de Apéry por Seungmin Kim , recuperado el 28 de julio de 2020
- ^ Mollin (2009) .
- ^ Rivoal (2000) .
- ^ Zudilin (2001) .
Referencias
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- Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de ζ 2 {\ Displaystyle \ zeta 2} et ζ 3 {\ Displaystyle \ zeta 3} " , Astérisque , 61 : 11-13.
- Berndt, Bruce C. (1989), Cuadernos de Ramanujan, Parte II , Springer.
- Beukers, F. (1979), "Una nota sobre la irracionalidad de y ", Bull. London Math. Soc. , 11 (3): 268-272, doi : 10.1112 / blms / 11.3.268.
- Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación por métodos de integración de contorno y algunos resultados relacionados", The Ramanujan Journal , 35 (1): 21-110, doi : 10.1007 / s11139-013-9528- 5 , S2CID 120943474.
- Broadhurst, DJ (1998), Escaleras polilogarítmicas, series hipergeométricas y los diez millones de dígitos de y , arXiv : math.CA/9803067.
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Otras lecturas
- Ramaswami, V. (1934), "Notes on Riemann's -function ", J. London Math. Soc. , 9 (3): 165–169, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.3.165.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Constante de Apéry" , MathWorld
- Plouffe, Simon, Zeta (3) o Apéry constante a 2000 lugares
- Setti, Robert J. (2015), Apéry's Constant - Zeta (3) - 200 Billion Digits , archivado desde el original el 8 de octubre de 2013.
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