Cuadrilátero

polígono con cuatro lados y cuatro esquinas

Cuadrilátero
Algunos tipos de cuadriláteros
Aristas y vértices	4
Símbolo de Schläfli	{4} (para cuadrado)
Zona	varios métodos; vea abajo
Ángulo interno ( grados )	90 ° (para cuadrado y rectángulo)

Un cuadrilátero es un polígono en geometría plana euclidiana con cuatro aristas (lados) y cuatro vértices (esquinas). Otros nombres para cuadrilátero incluyen cuadrilátero (en analogía con el triángulo ) y tetrágono (en analogía a, por ejemplo, pentágono o hexágono ) ^{[ cita requerida ]} . Un cuadrilátero con vértices${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ a veces se denota como ${\displaystyle \square ABCD}$. ^{[1] [2]}

La palabra "cuadrilátero" se deriva de las palabras latinas quadri , una variante de cuatro, y latus , que significa "lado".

Los cuadriláteros son simples (no auto intersectantes) o complejos (auto intersectantes o cruzados). Los cuadriláteros simples son convexos o cóncavos .

Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple (y plano) ABCD suman 360 grados de arco , es decir ^[2]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

Este es un caso especial de la fórmula de suma de ángulos interiores de n -gon: ( n - 2) × 180 °.

Todos los cuadriláteros que no se cruzan por sí mismos forman mosaicos en el plano , mediante rotaciones repetidas alrededor de los puntos medios de sus bordes. ^[3]

Cuadriláteros simples

Cualquier cuadrilátero que no se interseca a sí mismo es un cuadrilátero simple.

Cuadriláteros convexos

Diagrama de Euler de algunos tipos de cuadriláteros simples. (Reino Unido) denota inglés británico y (EE.UU.) denota inglés americano.

Cuadriláteros convexos por simetría, representados con un diagrama de Hasse .

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son menores de 180 °, y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.

• Cuadrilátero irregular ( inglés británico ) o trapecio ( inglés norteamericano ): ningún lado es paralelo. (En inglés británico, esto alguna vez se llamó trapezoide . Para obtener más información, consulte Trapezoide § Trapecio vs Trapezoide )
• Trapecio (Reino Unido) o trapezoide (EE. UU.): Al menos un par de lados opuestos son paralelos . Los trapecios (Reino Unido) y los trapezoides (EE. UU.) Incluyen paralelogramos.
• Trapecio isósceles (Reino Unido) o trapezoide isósceles (EE. UU.): Un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de la base son iguales en medida. Las definiciones alternativas son un cuadrilátero con un eje de simetría que biseca un par de lados opuestos, o un trapezoide con diagonales de igual longitud.
• Paralelogramo : un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Las condiciones equivalentes son que los lados opuestos tengan la misma longitud; que los ángulos opuestos son iguales; o que las diagonales se bisecan entre sí. Los paralelogramos incluyen rombos (incluidos los rectángulos llamados cuadrados) y romboides (incluidos los rectángulos llamados oblongos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los rombos y todos los romboides y, por lo tanto, también incluyen todos los rectángulos.
• Rombo , rombo: ^[2] los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero). Una condición equivalente es que las diagonales se bisecten perpendicularmente entre sí. De manera informal: "un cuadrado desplazado" (pero que también incluye estrictamente un cuadrado).
• Romboide : un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes desiguales y algunos ángulos son oblicuos (equiv., Sin ángulos rectos). De manera informal: "un oblongo empujado". No todas las referencias están de acuerdo, algunas definen un romboide como un paralelogramo que no es un rombo. ^[4]
• Rectángulo : los cuatro ángulos son ángulos rectos (equiangular). Una condición equivalente es que las diagonales se bisecten entre sí y tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen cuadrados y oblongos. De manera informal: "una caja u oblonga" (incluido un cuadrado).
• Cuadrado (cuadrilátero regular): los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo) y que las diagonales se bisecten perpendicularmente entre sí y tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es tanto un rombo como un rectángulo (es decir, cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
• Oblongo : más largo que ancho o más ancho que largo (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado). ^[5]
• Cometa : dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud. Esto implica que una diagonal divide la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales son iguales en medida. También implica que las diagonales son perpendiculares. Las cometas incluyen rombos.

• Cuadrilátero tangencial : los cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y solo si los lados opuestos tienen sumas iguales.
• Trapezoide tangencial : un trapezoide donde los cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito .
• Cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito . Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman 180 °.
• Cometa derecha : cometa con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero armónico : los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero bicéntrico : es tanto tangencial como cíclico.
• Cuadrilátero ortodiagonal : las diagonales se cruzan en ángulo recto .
• Cuadrilátero equidiagonal : las diagonales tienen la misma longitud.
• Cuadrilátero ex-tangencial : las cuatro extensiones de los lados son tangentes a un círculo .
• Un cuadrilátero equílico tiene dos lados iguales opuestos que cuando se extienden, se encuentran a 60 °.
• Un cuadrilátero de Watt es un cuadrilátero con un par de lados opuestos de igual longitud. ^[6]
• Un cuadrilátero cuadriculado es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran en el perímetro de un cuadrado. ^[7]
• Un cuadrilátero diametral es un cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro del círculo circunferencial. ^[8]
• Un cuadrilátero de Hjelmslev es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos. ^[9]

Cuadriláteros cóncavos

En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior es mayor que 180 ° y una de las dos diagonales se encuentra fuera del cuadrilátero.

• Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como una cometa, pero donde un ángulo interior es reflejo. Ver cometa .

Cuadriláteros complejos

Un antiparalelogramo

Un autointerseca cuadrilátero se llama indistintamente una cruzada cuadrilátero , cuadrilátero cruzado , mariposa cuadrilátero o corbata de lazo cuadrilátero . En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulos "interiores" a cada lado del cruce (dos agudos y dos reflejos , todos a la izquierda o todos a la derecha a medida que se traza la figura) suman 720 °. ^[10]

• Trapezoide cruzado (EE. UU.) O trapecio (Commonwealth): ^[11] un cuadrilátero cruzado en el que un par de lados no adyacentes es paralelo (como un trapezoide )
• Antiparalelogramo : un cuadrilátero cruzado en el que cada par de lados no adyacentes tienen longitudes iguales (como un paralelogramo )
• Rectángulo cruzado : un antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de un rectángulo , por lo que tiene un par de lados opuestos paralelos.
• Cuadrado cruzado : un caso especial de un rectángulo cruzado donde dos de los lados se cruzan en ángulos rectos

Segmentos de línea especiales

Las dos diagonales de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los vértices opuestos.

Los dos bimedianos de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. ^[12] Se cruzan en el "centroide del vértice" del cuadrilátero (ver § Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo a continuación).

Las cuatro maltitudes de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado, a través del punto medio del lado opuesto. ^[13]

Área de un cuadrilátero convexo

Hay diversas fórmulas generales para la zona K de un cuadrilátero convexo ABCD con lados un = AB , b = BC , c = CD y d = DA .

Fórmulas trigonométricas

El área se puede expresar en términos trigonométricos como ^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}\sin \theta ,}$

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellos es θ . ^[15] En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado y cometa), esta fórmula se reduce a${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$ya que θ es 90 ° .

El área también se puede expresar en términos de bimedianos como ^[16]

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

donde las longitudes de los bimedians son m y n y el ángulo entre ellos es φ .

La fórmula de Bretschneider ^{[17] [14]} expresa el área en términos de lados y dos ángulos opuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

donde los lados en secuencia son a , b , c , d , donde s es el semiperímetro, y A y C son dos (de hecho, dos) ángulos opuestos. Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, cuando A + C = 180 ° .

Otra fórmula zona en términos de los lados y ángulos, con ángulo de C siendo entre los lados b y c , y A siendo entre los lados una y d , es

${\displaystyle K={\tfrac {ad}{2}}\sin {A}+{\tfrac {bc}{2}}\sin {C}.}$

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {ad+bc}{2}}\sin {A}.}$

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados y ángulos opuestos son iguales, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que θ no sea 90 ° : ^[18]

${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Otra fórmula de área que incluye los lados a , b , c , d es ^[16]

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}{4}}\sin {\varphi }}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas .

La última fórmula del área trigonométrica incluyendo los lados un , b , c , d y el ángulo alfa (entre una y b ) es: ^{[ citación necesaria ]}

${\displaystyle K={\tfrac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\tfrac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},}$

que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α ), simplemente cambiando el primer signo + a - .

Fórmulas no trigonométricas

Los siguientes dos fórmulas expresan la zona en términos de los lados un , b , c y d , los semiperímetro s , y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {ac+bd+pq}{4}}(ac+bd-pq)}},}$ ^[19]

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.}$ ^[20]

El primero se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, ya que entonces pq = ac + bd .

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m , ny las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},}$ ^[21]

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.}$ ^{[22] : Thm. 7}

De hecho, cualquier tres de los cuatro valores de m , n , p , y q son suficientes para la determinación de la zona, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[23] : pág. 126} Las expresiones correspondientes son: ^[24]

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}{2}},}$

si se dan las longitudes de dos bimedianos y una diagonal, y ^[24]

${\displaystyle K={\tfrac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}{4}},}$

si se dan las longitudes de dos diagonales y una bimediana.

Fórmulas vectoriales

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular usando vectores . Deje vectores AC y BD forman las diagonales de A a C y de B a D . El área del cuadrilátero es entonces

${\displaystyle K={\tfrac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},}$

que es la mitad de la magnitud del producto cruzado de los vectores AC y BD . En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) y BD como ( x ₂ , y ₂ ) , esto se puede reescribir como:

${\displaystyle K={\tfrac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.}$

Diagonales

Propiedades de las diagonales en cuadriláteros

En la siguiente tabla se indica si las diagonales de algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud. ^[25] La lista se aplica a los casos más generales y excluye los subconjuntos nombrados.

Cuadrilátero	Diagonales bisectantes	Diagonales perpendiculares	Diagonales iguales
Trapezoide	No	Ver nota 1	No
Trapecio isósceles	No	Ver nota 1	sí
Paralelogramo	sí	No	No
cometa	Ver nota 2	sí	Ver nota 2
Rectángulo	sí	No	sí
Rombo	sí	sí	No
Cuadrado	sí	sí	sí

Nota 1: Los trapezoides e isósceles más generales no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapezoides (no similares) e isósceles que tienen diagonales perpendiculares y no tienen ningún otro cuadrilátero con nombre.

Nota 2: En una cometa, una diagonal biseca a la otra. La cometa más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de cometas (no similares) en las que las diagonales tienen la misma longitud (y las cometas no tienen ningún otro cuadrilátero con nombre).

Longitudes de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular usando la ley de los cosenos en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Por lo tanto

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son ^[26]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Generalizaciones de la ley del paralelogramo y el teorema de Ptolomeo

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD , la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales. Por lo tanto

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales. ^{[23] : p.126} Esto a veces se conoce como teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo .

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider derivó en 1842 la siguiente generalización del teorema de Ptolomeo , con respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo ^[27]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relación puede considerarse una ley de cosenos para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , donde A + C = 180 °, se reduce a pq = ac + bd . Dado que cos ( A + C ) ≥ −1, también da una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

Otras relaciones métricas

Si X e Y son los pies de las normales de B y D a la diagonal AC = p en un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , entonces ^{[28] : p. 14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , y donde las diagonales se cruzan en E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

donde e = AE , f = BE , g = CE y h = DE . ^[29]

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices especificados. Las dos diagonales p, q y los cuatro longitudes de los lados a, b, c, d de un cuadrilátero están relacionados ^[14] por el Cayley-Menger determinante , como sigue:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Bisectrices de ángulo

Las bisectrices internas de un ángulo de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico ^{[23] : p.127} (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos adyacentes son concíclicos ) o son concurrentes . En el último caso, el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial .

En el cuadrilátero ABCD , si las bisectrices de los ángulos A y C se encuentran en la diagonal BD , entonces las bisectrices de los ángulos B y D se encuentran en la diagonal AC . ^[30]

Bimedianos

El paralelogramo de Varignon EFGH

Los bimedianos de un cuadrilátero son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. La intersección de los bimedianos es el centroide de los vértices del cuadrilátero. ^[14]

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de un paralelogramo llamado paralelogramo de Varignon . Tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad de largo que la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados siempre que el área de este último se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. ^[31]
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.

Los dos bimedianos en un cuadrilátero y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales en ese cuadrilátero son concurrentes y todos están bisecados por su punto de intersección. ^{[23] : pág . 125}

En un cuadrilátero convexo con lados a , b , c y d , la longitud del bimediano que conecta los puntos medios de los lados a y c es

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

donde p y q son la longitud de las diagonales. ^[32] La longitud de la bimedian que conecta los puntos medios de los lados b y d es

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

De ahí ^{[23] : p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Esto también es un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de los bimedianos también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se usa el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De dónde ^[22]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

y

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta el bimediano.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales: ^[28]

• Los dos bimedianos tienen la misma longitud si y solo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Los dos bimedianos son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Identidades trigonométricas

Los cuatro ángulos de un cuadrilátero simple ABCD satisfacen las siguientes identidades: ^[33]

${\displaystyle \sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}}$

y

${\displaystyle {\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D}}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.}$

Además, ^[34]

${\displaystyle {\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+\cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

En las dos últimas fórmulas, no se permite que ningún ángulo sea un ángulo recto , ya que tan 90 ° no está definido.

Desigualdades

Área

Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos a , b , c , d y las diagonales p , q , entonces su área K satisface ^[35]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$con igualdad solo para un rectángulo .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad solo por un cuadrado .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$ con igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$con igualdad solo para un rectángulo. ^[dieciséis]

De la fórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado de manera que un lado es igual a la suma de los otros tres (se ha colapsado en un segmento de línea , por lo que el área es cero).

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad ^[36]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando el perímetro como L , tenemos ^{[36] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

con igualdad solo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para longitudes diagonales p y q , con igualdad si y sólo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K y diagonales AC = p , BD = q . Entonces ^[37]

${\displaystyle K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}}$ con igualdad solo por un cuadrado.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K , entonces se cumple la siguiente desigualdad: ^[38]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ con igualdad solo por un cuadrado.

Diagonales y bimedianas

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo .

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo , que es una igualdad en un cuadrilátero cíclico , en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Se afirma que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

donde hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico. ^{[23] : p.128-129} Esto a menudo se denomina desigualdad de Ptolomeo .

En cualquier cuadrilátero convexo los bimedianos m, ny las diagonales p, q están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

con igualdad si y solo si las diagonales son iguales. ^{[39] : Prop.1} Esto se sigue directamente de la identidad cuadrilátera.${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Lados

Los lados un , b , c , y d de cualquier cuadrilátero satisfacer ^{[40] : p.228, # 275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

y ^{[40] : p.234, # 466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$

Propiedades máximas y mínimas

Entre todos los cuadriláteros con un perímetro dado , el que tiene el área más grande es el cuadrado . Esto se llama teorema isoperimétrico para cuadriláteros . Es una consecuencia directa de la desigualdad de áreas ^{[36] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

donde K es el área de un cuadrilátero con convexa perímetro L . La igualdad es válida si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado. El teorema dual establece que de todos los cuadriláteros con un área determinada, el cuadrado tiene el perímetro más corto.

El cuadrilátero con longitudes de lado dadas que tiene el área máxima es el cuadrilátero cíclico . ^[41]

De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, el cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande. ^{[36] : p.119} Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

donde θ es el ángulo entre las diagonales p y q . La igualdad es válida si y solo si θ = 90 °.

Si P es un punto interior en un cuadrilátero convexo ABCD , entonces

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

De esta desigualdad se deduce que el punto dentro de un cuadrilátero que minimiza la suma de distancias a los vértices es la intersección de las diagonales. Por tanto, ese punto es el punto de Fermat de un cuadrilátero convexo. ^{[42] : pág . 120}

Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo

El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias formas diferentes. El "centroide de vértice" proviene de considerar que el cuadrilátero está vacío pero que tiene masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" proviene de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro de área) proviene de considerar que la superficie del cuadrilátero tiene densidad constante. En general, estos tres puntos no son todos el mismo punto. ^[43]

El "centroide de vértice" es la intersección de los dos bimedianos . ^[44] Como con cualquier polígono, las x y Y coordenadas del centroide vértice son las medias aritméticas de la x y Y coordenadas de los vértices.

El "centroide de área" del cuadrilátero ABCD se puede construir de la siguiente manera. Sean G _a , G _b , G _c , G _d los centroides de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces, el "centroide del área" es la intersección de las líneas G _a G _c y G _b G _d . ^[45]

En un cuadrilátero convexo general ABCD , no hay analogías naturales con el circuncentro y ortocentro de un triángulo . Pero dos de esos puntos se pueden construir de la siguiente manera. Sean O _a , O _b , O _c , O _d los circuncentros de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente; y denotar por H _a , H _b , H _c , H _dlos ortocentros en los mismos triángulos. Entonces, la intersección de las rectas O _a O _c y O _b O _d se llama cuasicircumcentro , y la intersección de las rectas H _a H _c y H _b H _d se llama cuasiortocentro del cuadrilátero convexo. ^[45] Estos puntos se pueden usar para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircumcentro Oson colineales en este orden, y HG = 2 GO . ^[45]

También se puede definir un centro de cuasinineo E como la intersección de las líneas E _a E _c y E _b E _d , donde E _a , E _b , E _c , E _d son los centros de nueve puntos de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces E es el punto medio de OH . ^[45]

Otra línea notable en un cuadrilátero convexo no paralelogramo es la línea de Newton , que conecta los puntos medios de las diagonales, el segmento que conecta estos puntos está bisecado por el centroide del vértice. Una línea más interesante (en cierto sentido dual a la de Newton ) es la línea que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide del vértice. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (de área). El centroide del vértice divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (área) en la proporción 3: 1. ^[46]

Para cualquier cuadrilátero ABCD con puntos P y Q, las intersecciones de AD y BC y AB y CD , respectivamente, los círculos (PAB), (PCD), (QAD) y (QBC) pasan por un punto común M , llamado Miquel. punto. ^[47]

Para un cuadrilátero convexo ABCD en el que E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD , sea ω un círculo a través de E y F que se encuentra con CB internamente en M y DA internamente. en N . Deje CA se reúnen de nuevo en ω L y dejar que DB se reúnen de nuevo en ω K . Entonces se sostiene: las líneas rectas NK y ML se cruzan en el punto Pque se encuentra en el lado AB ; las rectas NL y KM se cruzan en el punto Q que se encuentra en el lado CD . Los puntos P y Q se denominan "puntos pascales" formados por un círculo ω en los lados AB y CD .^{[48] [49] [50]}

Otras propiedades de los cuadriláteros convexos

• Deje que los cuadrados exteriores se dibujen en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son (a) de igual longitud y (b) perpendiculares . Por tanto, estos centros son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Esto se llama teorema de Van Aubel .
• Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de aristas determinadas, existe un cuadrilátero cíclico con las mismas longitudes de aristas. ^[41]
• Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y los lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos. ^[51]

Taxonomía

Una taxonomía de cuadriláteros, usando un diagrama de Hasse .

La figura de la derecha ilustra una taxonomía jerárquica de cuadriláteros. Las clases inferiores son casos especiales de clases superiores a las que están conectados. Tenga en cuenta que "trapezoide" aquí se refiere a la definición norteamericana (el equivalente británico es un trapecio). Se utilizan definiciones inclusivas en todas partes.

Inclinar cuadriláteros

Los bordes laterales (rojos) del difenoide tetragonal representan un cuadrilátero oblicuo en zig-zag regular

Un cuadrilátero no plano se llama cuadrilátero sesgado . Las fórmulas para calcular sus ángulos diedros a partir de las longitudes de los bordes y el ángulo entre dos bordes adyacentes se derivaron para trabajar en las propiedades de moléculas como el ciclobutano que contienen un anillo "fruncido" de cuatro átomos. ^[52] Históricamente, el término cuadrilátero gauche también se usó para referirse a un cuadrilátero sesgado. ^[53] Un cuadrilátero sesgado junto con sus diagonales forman un tetraedro (posiblemente no regular) y, a la inversa, cada cuadrilátero sesgado proviene de un tetraedro donde se eliminan un par de bordes opuestos .

Ver también

• Cuadrilátero completo
• Construcción de bisectriz perpendicular de un cuadrilátero
• Cuadrilátero de Saccheri
• Tipos de malla § Cuadrilátero
• Cuadrángulo (geografía)

Referencias

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Enlaces externos

• "Cuadrángulo, completo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares , colinealidad proyectiva y clasificación interactiva de cuadriláteros a partir del nudo
• Definiciones y ejemplos de cuadriláteros y Definición y propiedades de tetragones de Mathopenref
• Un árbol cuadrilátero jerárquico (dinámico) en bocetos de geometría dinámica
• Una clasificación ampliada de cuadriláteros en la página de inicio de Dynamic Math Learning
• El papel y la función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros por Michael de Villiers