El lema de Céa es un lema en matemáticas . Introducido por Jean Céa en su Ph.D. disertación, es una herramienta importante para probar estimaciones de error para el método de elementos finitos aplicado a ecuaciones diferenciales parciales elípticas .
Declaración de lema
Dejar ser un espacio real de Hilbert con la norma Dejar ser una forma bilineal con las propiedades
- por alguna constante y todo en ( continuidad )
- por alguna constante y todo en ( coercitividad o-elipticidad).
Dejar ser un operador lineal acotado . Considere el problema de encontrar un elemento. en tal que
- para todos en
Considere el mismo problema en un subespacio de dimensión finita de entonces, en satisface
- para todos en
Según el teorema de Lax-Milgram , cada uno de estos problemas tiene exactamente una solución. El lema de Céa establece que
- para todos en
Es decir, la solución subespacial es "la mejor" aproximación de en hasta la constante
La prueba es sencilla
- para todos en
Usamos el -ortogonalidad de y
que se sigue directamente de
- para todos en .
Nota: el lema de Céa también se mantiene en espacios complejos de Hilbert, luego se usa una forma sesquilínea en lugar de uno bilineal. El supuesto de coercitividad se convierte entonces en para todos en (observe el signo de valor absoluto alrededor ).
Estimación del error en la norma energética.
En muchas aplicaciones, la forma bilineal es simétrico, entonces
- para todos en
Esto, junto con las propiedades anteriores de este formulario, implica que es un producto interior en La norma resultante
Se llama norma energética , ya que corresponde a una energía física en muchos problemas. Esta norma es equivalente a la norma original.
Utilizando la -ortogonalidad de y y la desigualdad de Cauchy-Schwarz
- para todos en .
Por tanto, en la norma energética, la desigualdad en el lema de Céa se convierte en
- para todos en
(observe que la constante en el lado derecho ya no está presente).
Esto establece que la solución subespacial es la mejor aproximación a la solución de espacio completo con respecto a la norma energética. Geométricamente, esto significa quees la proyección de la solución en el subespacio con respecto al producto interior (vea la imagen adyacente).
Usando este resultado, también se puede derivar una estimación más precisa en la norma . Desde
- para todos en ,
resulta que
- para todos en .
Una aplicación del lema de Céa
Aplicaremos el lema de Céa para estimar el error de calcular la solución de una ecuación diferencial elíptica por el método de elementos finitos .
Considere el problema de encontrar una función satisfaciendo las condiciones
dónde es una función continua dada .
Físicamente, la solución para este problema de valor límite de dos puntos representa la forma que toma una cuerda bajo la influencia de una fuerza tal que en cada punto Entre y la densidad de fuerza es (dónde es un vector unitario que apunta verticalmente, mientras que los puntos finales de la cadena están en una línea horizontal, vea la imagen adyacente). Por ejemplo, esa fuerza puede ser la gravedad , cuando es una función constante (ya que la fuerza gravitacional es la misma en todos los puntos).
Deje que el espacio de Hilbert sé el espacio Sobolev que es el espacio de todas las funciones integrables en cuadrados definido en que tienen una derivada débil en con también siendo cuadrado integrable, y satisface las condiciones El producto interior de este espacio es
- para todos y en
Después de multiplicar el problema del valor límite original por en este espacio y realizando una integración por partes , se obtiene el problema equivalente
- para todos en ,
con
- ,
y
Se puede demostrar que la forma bilineal y el operador Satisfacer los supuestos del lema de Céa.
Para determinar un subespacio de dimensión finita de considerar una partición
del intervalo y deja ser el espacio de todas las funciones continuas afines en cada subintervalo de la partición (tales funciones se denominan lineales por partes ). Además, suponga que cualquier función en toma el valor 0 en los extremos de Resulta que es un subespacio vectorial de cuya dimensión es (el número de puntos en la partición que no son puntos finales).
Dejar ser la solución al problema del subespacio
- para todos en
para que uno pueda pensar en a partir de una aproximación lineal por partes a la solución exacta Según el lema de Céa, existe una constante dependiente solo de la forma bilineal tal que
- para todos en
Para calcular explícitamente el error entre y considera la función en que tiene los mismos valores que en los nodos de la partición (así que se obtiene por interpolación lineal en cada intervalo de los valores de en los puntos finales del intervalo). Se puede demostrar usando el teorema de Taylor que existe una constante eso depende solo de los puntos finales y tal que
para todos en dónde es la mayor longitud de los subintervalos en la partición, y la norma del lado derecho es la norma L 2 .
Esta desigualdad luego produce una estimación del error
Luego, sustituyendo en el lema de Céa se sigue que
dónde es una constante diferente de la anterior (depende solo de la forma bilineal, que implícitamente depende del intervalo ).
Este resultado es de fundamental importancia, ya que establece que el método de los elementos finitos se puede utilizar para calcular aproximadamente la solución de nuestro problema, y que el error en la solución calculada disminuye proporcionalmente al tamaño de la partición. El lema de Céa se puede aplicar en la misma línea para derivar estimaciones de error para problemas de elementos finitos en dimensiones superiores (aquí el dominio de estaba en una dimensión), y al usar polinomios de orden superior para el subespacio
Referencias
- Céa, Jean (1964). Aproximación variaciónnelle des problèmes aux limites (PDF) (tesis doctoral). Annales de l'Institut Fourier 14. 2 . págs. 345–444 . Consultado el 27 de noviembre de 2010 . (Obra original de J. Céa)
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