En matemáticas , el disco (o disco ) unitario abierto alrededor de P (donde P es un punto dado en el plano ), es el conjunto de puntos cuya distancia desde P es menor que 1:
El disco unitario cerrado alrededor de P es el conjunto de puntos cuya distancia desde P es menor o igual a uno:
Los discos unitarios son casos especiales de discos y bolas unitarias ; como tales, contienen el interior del círculo unitario y, en el caso del disco unitario cerrado, el círculo unitario en sí.
Sin más especificaciones, el término disco unitario se usa para el disco unitario abierto sobre el origen ,, con respecto a la métrica euclidiana estándar . Es el interior de un círculo de radio 1, centrado en el origen. Este conjunto se puede identificar con el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno. Cuando se ve como un subconjunto del plano complejo ( C ), el disco unitario a menudo se denota.
El disco unitario abierto, el plano y el semiplano superior
La función
es un ejemplo de una función analítica y biyectiva real del disco unitario abierto al plano; su función inversa también es analítica. Considerado como una variedad analítica bidimensional real , el disco unitario abierto es, por lo tanto, isomorfo al plano completo. En particular, el disco de la unidad abierta es homeomorfo para todo el plano.
Sin embargo, no existe un mapa biyectivo conforme entre el disco unitario abierto y el plano. Considerado como una superficie de Riemann , el disco unitario abierto es, por tanto, diferente del plano complejo .
Hay mapas biyectivos conformes entre el disco unitario abierto y el semiplano superior abierto . Considerado así como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es isomorfo ("biholomorfo" o "conforme de manera equivalente") al semiplano superior, y los dos se usan a menudo indistintamente.
De manera mucho más general, el teorema de mapeo de Riemann establece que cada subconjunto abierto simplemente conectado del plano complejo que es diferente del plano complejo mismo admite un mapa conforme y biyectivo en el disco unitario abierto.
Un mapa conforme biyectivo desde el disco unitario abierto hasta el semiplano superior abierto es la transformación de Möbius
- que es la inversa de la transformada de Cayley .
Geométricamente, uno puede imaginar que el eje real se dobla y se contrae de modo que el semiplano superior se convierte en el interior del disco y el eje real forma la circunferencia del disco, salvo un punto en la parte superior, el "punto en el infinito". También se puede construir un mapa conformal biyectivo desde el disco de la unidad abierta hasta el semiplano superior abierto como la composición de dos proyecciones estereográficas : primero, el disco de la unidad se proyecta estereográficamente hacia arriba sobre la semiesfera superior de la unidad, tomando el "polo sur "de la esfera unitaria como centro de proyección, y luego esta semiesfera se proyecta lateralmente sobre un semiplano vertical que toca la esfera, tomando el punto de la semiesfera opuesto al punto de contacto como centro de proyección.
El disco unitario y el semiplano superior no son intercambiables como dominios para los espacios Hardy . Contribuye a esta diferencia el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional) mientras que la línea real no la tiene.
Plano hiperbólico
El disco unitario abierto forma el conjunto de puntos para el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. Los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario forman las "líneas" en este modelo. El círculo unitario es el absoluto de Cayley que determina una métrica en el disco mediante el uso de una relación cruzada al estilo de la métrica de Cayley-Klein . En el lenguaje de la geometría diferencial, los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario son geodésicas que muestran la distancia más corta entre puntos en el modelo. El modelo incluye movimientos expresados por el grupo unitario especial SU (1,1) . El modelo de disco se puede transformar al modelo de semiplano de Poincaré mediante el mapeo g dado anteriormente.
Tanto el disco de Poincaré como el semiplano de Poincaré son modelos conformes del plano hiperbólico, es decir, los ángulos entre las curvas que se cruzan se conservan mediante los movimientos de sus grupos de isometría.
Otro modelo de espacio hiperbólico también se construye en el disco de la unidad abierta: el modelo Beltrami-Klein . No es conforme , pero tiene la propiedad de que las geodésicas son líneas rectas.
Unidades de discos con respecto a otras métricas
También se consideran los discos unitarios con respecto a otras métricas . Por ejemplo, con la métrica de taxi y la métrica de Chebyshev, los discos parecen cuadrados (aunque las topologías subyacentes son las mismas que la euclidiana).
El área del disco unitario euclidiano es π y su perímetro es 2π. Por el contrario, el perímetro (relativo a la métrica del taxi) del disco unitario en la geometría del taxi es 8. En 1932, Stanisław Gołąb demostró que en las métricas que surgen de una norma , el perímetro del disco unitario puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremos se obtienen si y solo si el disco unitario es un hexágono regular o un paralelogramo , respectivamente.
Ver también
- Gráfico de disco unitario
- Esfera unitaria
- Conjetura de Bieberbach
Referencias
- S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Unidad de disco" . MathWorld .
- Sobre el perímetro y área del disco unitario , por JC Álvarez Pavia y AC Thompson