Espacio métrico completo
En análisis matemático , un espacio métrico M se llama completa (o un espacio de Cauchy ) si cada secuencia de Cauchy de puntos en M tiene un límite que también está en M .
Intuitivamente, un espacio está completo si no hay "puntos faltantes" en él (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no está completo porque, por ejemplo, "falta" en él, aunque se puede construir una secuencia de Cauchy de números racionales que converja con él (ver más ejemplos a continuación). Siempre es posible "llenar todos los huecos", lo que lleva a completar un espacio determinado, como se explica a continuación.
El espacio Q de números racionales , con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no está completo. Considere, por ejemplo, la secuencia definida por x 1 = 1 y Esta es una secuencia de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: si la secuencia tuviera un límite x , entonces resolviendo necesariamente x 2 = 2, todavía ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerado como una secuencia de números reales , converge al número irracional .
El intervalo abierto (0,1) , nuevamente con la métrica de valor absoluto, tampoco está completo. La secuencia definida por x n = 1 / n es Cauchy, pero no tiene límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado [0,1] está completo; por ejemplo, la secuencia dada tiene un límite en este intervalo y el límite es cero.
El espacio R de números reales y el espacio C de números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) están completos, al igual que el espacio euclidiano R n , con la métrica de distancia habitual . Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden estar completos o no; los que están completos son los espacios de Banach . El espacio C [ a , b ] de funciones continuas de valor real en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach, y por lo tanto un espacio métrico completo, con respecto a la norma supremum. Sin embargo, la norma suprema no da una norma sobre el espacio C ( a , b ) de funciones continuas en ( a , b ) , ya que puede contener funciones ilimitadas. En cambio, con la topología de convergencia compacta , a C ( a , b ) se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción completa.
El espacio Q p de p -números ádicos está completo para cualquier número primo p . Este espacio completa Q con la métrica p -ádica de la misma manera que R completa Q con la métrica habitual.