En matemáticas , un Artin L -Función es un tipo de serie de Dirichlet asociados a una representación lineal ρ de un grupo de Galois G . Estas funciones fueron introducidas en 1923 por Emil Artin , en relación con su investigación sobre la teoría del campo de clases . Sus propiedades fundamentales, en particular la conjetura de Artin descrita a continuación, han resultado resistentes a una prueba fácil. Uno de los objetivos de la teoría de campo de clases no abeliana propuesta es incorporar la naturaleza analítica compleja de las funciones L de Artin en un marco más amplio, como el que proporcionaformas automórficas y el programa Langlands . Hasta ahora, solo una pequeña parte de dicha teoría se ha asentado sobre una base firme.
Definición
Dado , una representación de en un espacio vectorial complejo de dimensión finita , dónde es el grupo de Galois de la extensión finita de campos numéricos, el Artin -función: está definido por un producto de Euler . Para cada ideal principal en 's anillo de enteros , hay un factor de Euler, que es más fácil de definir en el caso enestá unramificado en(cierto para casi todos ). En ese caso, el elemento Frobenius se define como una clase de conjugación en. Por tanto, el polinomio característico deestá bien definido. El factor de Euler para es una ligera modificación del polinomio característico, igualmente bien definido,
como función racional en t , evaluada en, con una variable compleja en la notación habitual de función zeta de Riemann . (Aquí N es la norma de campo de un ideal).
Cuándo se ramifica, y I es el grupo de inercia que es un subgrupo de G , se aplica una construcción similar, pero para el subespacio de V fijo (punto a punto) por I . [nota 1]
La función L de Artin es entonces el producto infinito sobre todos los ideales primos de estos factores. Como Artin reciprocidad muestra, cuando G es un grupo abeliano estos L -Funciones tienen una segunda descripción (como Dirichlet L -Funciones cuando K es el número racional campo, y como Hecke L -Funciones en general). La novedad viene con G no abeliano y sus representaciones.
Una aplicación es dar factorizaciones de funciones zeta de Dedekind , por ejemplo, en el caso de un campo numérico que es Galois sobre los números racionales. De acuerdo con la descomposición de la representación regular en representaciones irreducibles , tales un zeta-función divide en un producto de Artin L -Funciones, para cada representación irreducible de G . Por ejemplo, el caso más simple es cuando G es el grupo simétrico de tres letras. Dado que G tiene una representación irreductible de grado 2, se produce una función L de Artin para tal representación, al cuadrado, en la factorización de la función zeta de Dedekind para dicho campo numérico, en un producto con la función zeta de Riemann (para el representación trivial ) y una función L del tipo de Dirichlet para la representación de la firma.
Más precisamente para una extensión de Galois del grado n , la factorización
sigue desde
dónde es la multiplicidad de la representación irreductible en la representación regular, f es el orden dey n se reemplaza por n / e en los números primos ramificados.
Dado que los caracteres son una base ortonormal de las funciones de clase , después de mostrar algunas propiedades analíticas de laobtenemos el teorema de densidad de Chebotarev como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas .
Ecuación funcional
Las funciones L de Artin satisfacen una ecuación funcional . La función está relacionado en sus valores con , dónde denota la representación conjugada compleja . Más precisamente, L se reemplaza por, que es L multiplicado por ciertos factores gamma , y luego hay una ecuación de funciones meromórficas
- ,
con un cierto número complejo W (ρ) de valor absoluto 1. Es el número raíz de Artin . Se ha estudiado profundamente con respecto a dos tipos de propiedades. En primer lugar, Robert Langlands y Pierre Deligne establecieron una factorización en las constantes locales de Langlands-Deligne ; esto es significativo en relación con las relaciones conjeturales con las representaciones automórficas . Además, el caso de que ρ y ρ * sean representaciones equivalentes es exactamente aquel en el que la ecuación funcional tiene la misma función L en cada lado. Es el caso, algebraicamente hablando, cuando ρ es una representación real o una representación cuaterniónica . El número raíz de Artin es, entonces, +1 o -1. La cuestión de qué signo aparece está relacionada con la teoría del módulo de Galois ( Perlis 2001 ) .
La conjetura de Artin
La conjetura de Artin sobre las funciones L de Artin establece que la función L de Artinde una representación irreducible no trivial ρ es analítica en todo el plano complejo. [1]
Esto es conocido por las representaciones unidimensionales, las funciones L se asocian luego a los caracteres de Hecke y, en particular, a las funciones L de Dirichlet . [1] De manera más general, Artin mostró que la conjetura de Artin es cierta para todas las representaciones inducidas a partir de representaciones unidimensionales. Si el grupo de Galois es superesoluble o más generalmente monomial , entonces todas las representaciones son de esta forma, por lo que se mantiene la conjetura de Artin.
André Weil demostró la conjetura de Artin en el caso de los campos funcionales .
Las representaciones bidimensionales se clasifican según la naturaleza del subgrupo de imágenes: puede ser cíclico, diedro, tetraédrico, octaédrico o icosaédrico. La conjetura de Artin para el caso cíclico o diedro se deriva fácilmente del trabajo de Erich Hecke . Langlands usó el levantamiento de cambio de base para probar el caso tetraédrico, y Jerrold Tunnell extendió su trabajo para cubrir el caso octaédrico; Andrew Wiles usó estos casos en su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura . Richard Taylor y otros han logrado algunos avances en el caso icosaédrico (no resoluble); esta es un área activa de investigación. La conjetura de Artin para representaciones bidimensionales extrañas e irreductibles se deriva de la prueba de la conjetura de modularidad de Serre , independientemente del subgrupo de imágenes proyectivas.
El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos implica que todas las funciones L de Artin son productos de potencias integrales positivas y negativas de las funciones L de Hecke y, por lo tanto, son meromórficas en todo el plano complejo.
Langlands (1970) señaló que la conjetura de Artin se deriva de resultados suficientemente sólidos de la filosofía de Langlands , relacionados con las funciones L asociadas a representaciones automórficas para GL (n) para todos. Más precisamente, las conjeturas de Langlands asocian una representación automórfica del grupo adelico GL n ( A Q ) a cada representación n- dimensional irreducible del grupo de Galois, que es una representación cuspidal si la representación de Galois es irreducible, de modo que Artin L- La función de la representación de Galois es la misma que la función L automórfica de la representación automórfica. La conjetura de Artin se sigue inmediatamente del hecho conocido de que las funciones L de las representaciones automórficas cuspidales son holomórficas. Esta fue una de las principales motivaciones del trabajo de Langlands.
La conjetura de Dedekind
Una conjetura más débil (a veces conocida como conjetura de Dedekind) establece que si M / K es una extensión de los campos numéricos , entonces el cocientede sus funciones zeta de Dedekind es completa.
El teorema de Aramata-Brauer establece que la conjetura se cumple si M / K es Galois.
Más en general, dejar que N el cierre de Galois de M sobre K y G el grupo de Galois de N / K . El cocientees igual a los Artin L-funciones asociadas a la representación natural asociado a la acción de G en la K complejo incrustación de -invariants M . Así, la conjetura de Artin implica la conjetura de Dedekind.
La conjetura fue probada cuando G es un grupo solucionable , independientemente por Koji Uchida y RW van der Waall en 1975. [2]
Ver también
- Función L equivariante
Notas
- ^ Podría decirse que es más correcto pensar en cambio en las coinvariantes , el espacio de cociente más grandefijado por I , en lugar de las invariantes, pero el resultado aquí será el mismo. Cf. Función L de Hasse-Weil para una situación similar.
Referencias
- ↑ a b Martinet (1977) p.18
- ^ (Prasad y Yogananda 2000 )
- Artin, E. (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Matemáticas. Abh . 3 . Reimpreso en sus obras completas, ISBN 0-387-90686-X . Traducción al inglés en Artin L-Functions: A Historical Approach por N. Snyder.
- Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (en alemán), 8 : 292–306, doi : 10.1007 / BF02941010 , JFM 56.0173.02
- Tunnell, Jerrold (1981). "Conjetura de Artin para representaciones de tipo octaédrico" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . NS 5 (2): 173-175. doi : 10.1090 / S0273-0979-1981-14936-3 .
- Gelbart, Stephen (1977). "Formas automórficas y conjetura de Artin". Funciones modulares de una variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) . Notas de clase en matemáticas. 627 . Berlín: Springer. págs. 241–276.
- Langlands, Robert (1967). "Carta al Prof. Weil" .
- Langlands, Robert P. (1970). "Problemas en la teoría de formas automórficas". Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III . Notas de clase en matemáticas. 170 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 18–61. doi : 10.1007 / BFb0079065 . ISBN 978-3-540-05284-5. Señor 0302614 .
- Martinet, J. (1977). "Teoría del carácter y funciones L de Artin". En Fröhlich, A. (ed.). Campos numéricos algebraicos, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 . Prensa académica. págs. 1-87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0359.12015 .
- Prasad, Dipendra; Yogananda, CS (2000). "Un informe sobre la conjetura de holomorfia de Artin". En Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (eds.). Teoría de números (PDF) . Birkhäuser Basel. págs. 301–314. doi : 10.1007 / 978-3-0348-7023-8_16 . ISBN 978-3-0348-7023-8.
enlaces externos
- Perlis, R. (2001) [1994], "Números raíz de Artin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press