A continuación, se resumen breves definiciones y notaciones que se utilizan en este artículo.
Colector
, están - colectores lisos dimensionales, donde . Es decir, variedades diferenciables que se pueden diferenciar suficientes veces para los propósitos de esta página.
, denotar un punto en cada una de las variedades.
El límite de una variedad es un colector , que tiene dimensión . Una orientación sobre induce una orientación sobre .
Por lo general, denotamos una subvariedad por.
Paquetes tangentes y cotangentes
, denotar el paquete tangente y el paquete cotangente , respectivamente, de la variedad suave.
, denotar los espacios tangentes de, en los puntos , , respectivamente. denota el espacio cotangente de en el punto .
Las secciones de los haces tangentes, también conocidas como campos vectoriales , se denotan típicamente como tal que en un punto tenemos . Las secciones del paquete cotangente, también conocidas como formas 1 diferenciales (o campos covector ), se denotan típicamente como tal que en un punto tenemos . Una notación alternativa para es .
Diferencial k -formas
Diferencial -formas, a las que nos referimos simplemente como -formas aquí, son formas diferenciales definidas en. Denotamos el conjunto de todos-formas como . Para normalmente escribimos , , .
-formas son solo funciones escalares en . denota la constante -forma igual a En todas partes.
Elementos omitidos de una secuencia
Cuando se nos da entradas y un -formulario denotamos omisión de la a entrada por escrito
Producto exterior
El producto exterior también se conoce como producto de cuña . Se denota por. El producto exterior de un-formulario y un -formulario producir un -formulario . Se puede escribir usando el conjunto de todas las permutaciones de tal que como
Derivado direccional
La derivada direccional de una forma 0 a lo largo de una sección es una forma 0 denotada
Derivado exterior
La derivada exterior está definido para todos . Generalmente omitimos el subíndice cuando está claro por el contexto.
Para -formulario tenemos como el -forma que da la derivada direccional, es decir, para la sección tenemos , la derivada direccional de a lo largo de . [6]
Para , [6]
Soporte de mentira
El soporte de secciones de Lie se define como la sección única que satisface
Mapas de tangentes
Si es un mapa suave, entonces define un mapa tangente de a . Se define a través de curvas. en con derivada tal que
Tenga en cuenta que es un -forma con valores en .
Echar para atrás
Si es un mapa suave, luego el retroceso de un-formulario se define de tal manera que para cualquier -submanifold dimensional
El retroceso también se puede expresar como
Producto interior
También conocido como derivado interior, el producto interior al que se le da una sección es un mapa que sustituye efectivamente la primera entrada de un -formular con . Si y luego
Tensor métrico
Dada una forma bilineal no degenerada en cada que es continuo en , la variedad se convierte en una variedad pseudo-riemanniana . Denotamos el tensor métrico , definido puntualmente por . Nosotros llamamosla firma de la métrica. Una variedad de Riemann tiene, mientras que el espacio de Minkowski tiene.
Isomorfismos musicales
El tensor métrico induce mapeos de dualidad entre campos vectoriales y formas unitarias: estos son los isomorfismos musicales planos y agudo . Una sección corresponde a la única forma única tal que para todas las secciones , tenemos:
Una forma corresponde al campo de vector único tal que para todos , tenemos:
Estas asignaciones se extienden a través de la multilinealidad a las asignaciones de -campos vectoriales para -formas y -formas para -campos vectoriales a través de
Estrella de Hodge
Para un n- múltiple M , el operador estrella de Hodge es un mapeo de dualidad que toma una -formulario a una -formulario .
Puede definirse en términos de un marco orientado por , ortonormal con respecto al tensor métrico dado :
Operador co-diferencial
El operador co-diferencial en una colector dimensional es definido por
El operador de Hodge-Dirac ,, es un operador de Dirac estudiado en el análisis de Clifford .
Colector orientado
Un - colector orientable dimensional es un colector que puede equiparse con una opción de -formulario que es continuo y distinto de cero en todas partes en .
Forma de volumen
Sobre un colector orientable la elección canónica de una forma de volumen dado un tensor métricoy una orientación es por cualquier base ordenados para que coincida con la orientación.
Formulario de área
Dada una forma de volumen y un vector normal unitario también podemos definir una forma de área en el límite
Forma bilineal en k -formas
Una generalización del tensor métrico, la forma bilineal simétrica entre dos-formas , se define puntualmente en por
La -forma bilineal para el espacio de -formas es definido por
En el caso de una variedad de Riemann, cada uno es un producto interno (es decir, es positivo-definido).
Derivada de la mentira
Definimos la derivada de Lie a través de la fórmula mágica de Cartan para una sección determinada como
Describe el cambio de un -forma a lo largo de un flujo asociado a la sección .
Operador de Laplace-Beltrami
El laplaciano Se define como .
- Si
- ( forma bilineal )
- ( Identidad Jacobi )
Dimensiones
Si
- por
- por
Si es una base, luego una base de es
Productos exteriores
Dejar y ser campos vectoriales.
Proyección y rechazo
- ( producto interior doble a la cuña )
- por
Si , luego
- es la proyección de sobre el complemento ortogonal de .
- es el rechazo de, el resto de la proyección.
- por lo tanto ( descomposición proyección-rechazo )
Dado el límite con vector normal unitario
- extrae la componente tangencial del límite.
- extrae el componente normal del límite.
Expresiones de suma
- dado un marco ortonormal orientado positivamente .
Descomposición de Hodge
Si , tal que [ cita requerida ]
Lema de Poincaré
Si un colector sin fronteras tiene cohomología trivial , luego cualquier cerrado es exacto. Este es el caso si M es contráctil .