Campo (matemáticas)
En matemáticas , un campo es un conjunto en el que la suma , resta , multiplicación y división se definen y se comportan como lo hacen las operaciones correspondientes en números racionales y reales . Por tanto, un campo es una estructura algebraica fundamental que se utiliza ampliamente en álgebra , teoría de números y muchas otras áreas de las matemáticas.
Los campos más conocidos son el campo de los números racionales , el campo de los números reales y el campo de los números complejos . Muchos otros campos, como los campos de funciones racionales, los campos de funciones algebraicas , los campos numéricos algebraicos y los campos p -ádicos, se usan y estudian comúnmente en matemáticas, particularmente en teoría de números y geometría algebraica . La mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos , es decir, campos con un número finito de elementos .
La relación de dos campos se expresa mediante la noción de extensión de campo . La teoría de Galois , iniciada por Évariste Galois en la década de 1830, está dedicada a comprender las simetrías de las extensiones de campo. Entre otros resultados, esta teoría muestra que la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo no se pueden hacer con un compás y una regla . Además, muestra que las ecuaciones quínticas son, en general, algebraicamente irresolubles.
Los campos sirven como nociones fundamentales en varios dominios matemáticos. Esto incluye diferentes ramas del análisis matemático , que se basan en campos con estructura adicional. Los teoremas básicos del análisis dependen de las propiedades estructurales del campo de los números reales. Lo más importante para los propósitos algebraicos, cualquier campo puede usarse como escalares para un espacio vectorial , que es el contexto general estándar para el álgebra lineal . Los campos numéricos , los hermanos del campo de los números racionales, se estudian en profundidad en la teoría de números . Los campos de función pueden ayudar a describir las propiedades de los objetos geométricos.
De manera informal, un campo es un conjunto, junto con dos operaciones definidas en ese conjunto: una operación de suma escrita como a + b , y una operación de multiplicación escrita como a ⋅ b , las cuales se comportan de manera similar como se comportan para números racionales y números reales , incluyendo la existencia de un inverso aditivo - a para todos los elementos a , y de un inverso multiplicativo b −1 para cada elemento b distinto de cero . Esto permite considerar también las llamadas operaciones inversas de resta., a - b , y división , a / b , definiendo:
Formalmente, un campo es un conjunto F junto con dos operaciones binarias en F llamadas suma y multiplicación . [1] Una operación binaria en F es un mapeo F × F → F , es decir, una correspondencia que asocia con cada par ordenado de elementos de F un elemento de F determinado de forma única . [2] [3] El resultado de la adición de una y b se llama la suma de una y b , y se denota una+ b . Del mismo modo, el resultado de la multiplicación de una y b se denomina el producto de un y b , y se denota ab o un ⋅ b . Se requieren estas operaciones para satisfacer las siguientes propiedades, que se refiere como axiomas de campo (en estos axiomas, un , b , y c son arbitrarias elementos del campo F ):
