En matemáticas , un operador autoadjunto en un espacio vectorial complejo de dimensión finita V con producto interno (de manera equivalente, un operador hermitiano en el caso de dimensión finita) es un mapa lineal A (de V a sí mismo) que es su propio adjunto :para todos los vectores v y w. Si V es de dimensión finita con una base ortonormal dada , esto equivale a la condición de que la matriz de A sea una matriz hermitiana , es decir, igual a su transpuesta conjugada A ∗ . Según el teorema espectral de dimensión finita , V tiene una base ortonormal tal que la matriz de A relativa a esta base es una matriz diagonal con entradas en los números reales . En este artículo, consideramos generalizaciones de este concepto a operadores en espacios de Hilbert de dimensión arbitraria.
Los operadores autoadjuntos se utilizan en análisis funcional y mecánica cuántica . En la mecánica cuántica, su importancia radica en la formulación de Dirac-von Neumann de la mecánica cuántica, en la que los observables físicos como la posición, el momento , el momento angular y el giro están representados por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. De particular importancia es el operador hamiltoniano definido por
que como un corresponde observables a la energía total de una partícula de masa m en un campo potencial real de V . Los operadores diferenciales son una clase importante de operadores ilimitados .
La estructura de los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert de dimensión infinita se parece esencialmente al caso de dimensión finita. Es decir, los operadores son autoadjuntos si y solo si son unitariamente equivalentes a los operadores de multiplicación de valor real. Con las modificaciones adecuadas, este resultado puede extenderse a operadores posiblemente ilimitados en espacios de dimensión infinita. Dado que un operador autoadjunto definido en todas partes está necesariamente acotado, es necesario estar más atento al problema del dominio en el caso ilimitado. Esto se explica a continuación con más detalle.
Operadores autoadjuntos limitados
Suponer es un operador lineal acotado de un espacio de Hilbert H a sí mismo. Entonces hay un operador acotado único, llamado adjunto detal que (en notación bra-ket )
para todos en H . [1] Decimos que A es autoadjunto (los físicos usan el término "hermitiano") si. De manera equivalente, un operador acotado A es autoadjunto si
para todos y en H .
Todo operador lineal acotado T : H → H en un espacio de Hilbert H se puede escribir en la formadonde A : H → H y B : H → H son operadores autoadjuntos acotados. [2]
Propiedades de los operadores autoadjuntos delimitados
Sea H un espacio de Hilbert y sea A : H → H un operador lineal autoadjunto acotado definido en.
- es real para todos . [3]
- . [3]
- Si la imagen de A , denotada por, es denso en H entonces es invertible.
- Los autovalores de A son reales y los autovectores que pertenecen a diferentes autovalores son ortogonales. [3]
- Si es un valor propio de A entonces; En particular,. [3]
- Si una secuencia de operadores lineales autoadjuntos delimitados es convergente, entonces el límite es autoadjunto. [2]
- Existe un numero , igual a cualquiera o y una secuencia tal que y por todo i . [4]
Operadores simétricos
Sutilezas del caso ilimitado
En muchas aplicaciones, nos vemos llevados a considerar operadores que son ilimitados; los ejemplos incluyen la posición, el impulso y los operadores hamiltonianos en la mecánica cuántica, así como muchos operadores diferenciales. En el caso ilimitado, hay una serie de problemas técnicos sutiles que deben abordarse. En particular, existe una distinción crucial entre los operadores que son meramente "simétricos" (definidos en esta sección) y los que son "autoadjuntos" (definidos en la siguiente sección). En el caso de los operadores diferenciales definidos en dominios delimitados, estos problemas técnicos tienen que ver con hacer una elección adecuada de las condiciones de contorno.
Definición de un operador simétrico
Ahora consideramos un operador acotado A en un espacio de Hilbert H . Esto significa que A es un mapa lineal de un subespacio de H , el "dominio" de A , denotado—A la propia H. Normalmente asumimos quees un subespacio denso de H . Dicho operador se llama simétrico si, en notación entre corchetes ,
para todos los elementos x y y en el dominio de A .
Si A es simétrico y, entonces A está necesariamente acotado. [5] Es decir, un operador simétrico ilimitado no se puede definir en todo el espacio de Hilbert. Dado que los operadores considerados en la mecánica cuántica son ilimitados, es imposible definirlos como operadores simétricos en todo el espacio de Hilbert.
En la literatura de física , el término hermitiano se usa en lugar del término simétrico. La literatura de física generalmente pasa por alto la distinción entre operadores que son simplemente simétricos y operadores que son en realidad autoadjuntos (como se define en la siguiente sección).
Aunque la noción de operador simétrico es fácil de entender, no es la noción "correcta" en el caso general ilimitado. Específicamente, el teorema espectral se aplica solo a los operadores que son autoadjuntos (definidos en la siguiente sección) y no a la mayoría de los operadores que son meramente simétricos. En particular, aunque los valores propios de un operador simétrico son necesariamente reales, un operador simétrico no necesita tener ningún vector propio, y mucho menos una base ortonormal de ellos.
Más en general, un operador lineal parcialmente definida A partir de un espacio vectorial topológico E en su espacio dual continuo E * se dice que es simétrica si
para todos los elementos x y y en el dominio de A . Este uso es bastante estándar en la literatura sobre análisis funcional.
Un simple ejemplo
Como se señaló anteriormente, el teorema espectral se aplica solo a los operadores autoadjuntos y no en general a los operadores simétricos. Sin embargo, en este punto podemos dar un ejemplo simple de un operador simétrico que tiene una base ortonormal de vectores propios. (Este operador es en realidad "esencialmente autoadjunto".) Se puede ver que el operador A a continuación tiene una inversa compacta , lo que significa que la ecuación diferencial correspondiente Af = g se resuelve mediante algún operador G integral, por lo tanto compacto . El operador simétrico compacto G tiene entonces una familia contable de autovectores que están completos en L 2 . La misma, entonces se puede decir de A .
Considere el espacio de Hilbert complejo L 2 [0,1] y el operador diferencial
con que consta de todas las funciones infinitamente diferenciables de valor complejo f en [0, 1] que satisfacen las condiciones de contorno
Luego, la integración por partes del producto interno muestra que A es simétrica. Se invita al lector a realizar la integración por partes dos veces y verificar que las condiciones de contorno dadas para asegúrese de que los términos de frontera en la integración por partes desaparezcan.
Las funciones propias de A son las sinusoides
con los valores propios reales n 2 π 2 ; la conocida ortogonalidad de las funciones seno se sigue como consecuencia de la propiedad de ser simétricas.
Consideramos las generalizaciones de este operador a continuación.
Propiedades de los operadores simétricos
Sea H un espacio de Hilbert y sea A un operador lineal con valor H definido en.
- Si A es simétrico, entonces es real para todos .
Operadores autoadjuntos
Definición de un operador autoadjunto
Brevemente, un operador lineal A densamente definido en un espacio de Hilbert es autoadjunto si es igual a su adjunto. Es decir, A es autoadjunto si (1) el dominio de A coincide con el dominio del adjunto, y (2) el operador A está de acuerdo con su adjunto en este dominio común.
Ahora elaboramos la definición anterior. Dado un operador lineal A densamente definido en H , su adjunto A ∗ se define de la siguiente manera:
- El dominio de A ∗ consta de vectores x en H tales que (que es un mapa lineal densamente definido ) es un funcional lineal continuo. Por continuidad y la densidad del dominio de A , se extiende a una lineal continua única funcional en todos H .
- Según el teorema de representación de Riesz para funcionales lineales, si x está en el dominio de A ∗ , hay un vector único z en H tal que Este vector z se define como A ∗ x . Se puede demostrar que la dependencia de z sobre x es lineal.
Observe que es la densidad del dominio del operador, junto con la parte de unicidad de la representación de Riesz, lo que garantiza que el operador adjunto esté bien definido.
Un resultado del tipo Hellinger-Toeplitz dice que un operador que tiene un adjunto acotado definido en todas partes está acotado.
La condición para que un operador lineal en un espacio de Hilbert sea autoadjunto es más fuerte que simétrico . Aunque esta distinción es técnica, es muy importante; el teorema espectral se aplica solo a los operadores que son autoadjuntos y no a los operadores que son meramente simétricos. Para una discusión extensa de la distinción, vea el Capítulo 9 de Hall (2013).
Para cualquier operador A densamente definido en el espacio de Hilbert, se puede definir su operador adjunto A ∗ . Para un operador simétrico A , el dominio del operador A ∗ contiene el dominio del operador A , y la restricción del operador A ∗ en el dominio de A coincide con el operador A , es decir, A ⊆ A ∗ , en otras palabras A * es una extensión de una . Para un operador autoadjunto A, el dominio de A ∗ es el mismo que el dominio de A , y A = A ∗ . Consulte también Extensiones de operadores simétricos y operador ilimitado .
Autoadincidencia esencial
Un operador simétrico A siempre se puede cerrar; es decir, el cierre de la gráfica de A es la gráfica de un operador. Se dice que un operador simétrico A es esencialmente autoadjunto si el cierre de A es autoadjunto. De manera equivalente, A es esencialmente autoadjunto si tiene una extensión autoadjunta única . En términos prácticos, tener un operador esencialmente autoadjunto es casi tan bueno como tener un operador autoadjunto, ya que simplemente necesitamos tomar el cierre para obtener un operador autoadjunto.
Interpretación geométrica
Existe una forma geométrica útil de ver el adjunto de un operador A en H de la siguiente manera: consideramos el gráfico G ( A ) de A definido por
Teorema - Sea J el mapeo simpléctico
Un operador densamente definido A es simétrica si y sólo si A ⊆ A * , donde el subconjunto notación A ⊆ A * se entiende que significa G ( A ) ⊆ G ( A * ) . Un operador A es autoadjunto si y solo si A = A ∗ ; es decir, si y solo si G ( A ) = G ( A ∗ ) .
Un ejemplo
Considere el espacio complejo de Hilbert L 2 ( R ) y el operador que multiplica una función dada por x :
El dominio de A es el espacio de todas las funciones L 2 para cual también es integrable en cuadrado. Entonces A es autoadjunto. [6] Por otro lado, A no tiene funciones propias. (De manera más precisa, una no tiene ningún normalizable vectores propios, es decir, los vectores propios que son en realidad en el espacio de Hilbert en la que A se define).
Como veremos más adelante, los operadores autoadjuntos tienen propiedades espectrales muy importantes; de hecho, son operadores de multiplicación en espacios de medida general.
La distinción entre operadores simétricos y autoadjuntos
Como se ha discutido anteriormente, aunque la distinción entre un operador simétrico y un operador autoadjunto (o esencialmente autoadjunto) es sutil, es importante ya que la autoadjunta es la hipótesis del teorema espectral. Aquí discutimos algunos ejemplos concretos de la distinción; vea la sección a continuación sobre extensiones de operadores simétricos para la teoría general.
Condiciones de borde
En el caso de que el espacio de Hilbert sea un espacio de funciones en un dominio acotado, estas distinciones tienen que ver con un tema familiar en física cuántica: no se puede definir un operador, como el momento o el operador hamiltoniano, en un dominio acotado sin especificar condiciones de contorno . En términos matemáticos, elegir las condiciones de contorno equivale a elegir un dominio apropiado para el operador. Considere, por ejemplo, el espacio de Hilbert(el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo [0,1]). Definamos un operador de "impulso" A en este espacio mediante la fórmula habitual, estableciendo la constante de Planck igual a 1:
Ahora debemos especificar un dominio para A , lo que equivale a elegir condiciones de contorno. Si elegimos
entonces A no es simétrico (porque los términos de frontera en la integración por partes no desaparecen).
Si elegimos
luego, utilizando la integración por partes, se puede verificar fácilmente que A es simétrica. Este operador no es esencialmente autoadjunto, [7] sin embargo, básicamente porque hemos especificado demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A , lo que hace que el dominio del adjunto sea demasiado grande. (Este ejemplo se analiza también en la sección "Ejemplos" a continuación).
Específicamente, con la elección anterior de dominio para A , el dominio del cierrede A es
mientras que el dominio del adjunto de A es
Es decir, el dominio del cierre tiene las mismas condiciones de contorno que el dominio de A mismo, solo una suposición de suavidad menos estricta. Mientras tanto, dado que hay "demasiadas" condiciones de contorno en A , hay "muy pocas" (en realidad, ninguna en este caso) para. Si calculamos por usando la integración por partes, entonces desde desaparece en ambos extremos del intervalo, no hay condiciones de frontera en son necesarios para cancelar los términos de contorno en la integración por partes. Por lo tanto, cualquier función suficientemente suave está en el dominio de , con . [8]
Dado que el dominio del cierre y el dominio del adjunto no concuerdan, A no es esencialmente autoadjunto. Después de todo, un resultado general dice que el dominio del adjunto dees el mismo que el dominio de la adjunta de A . Así, en este caso, el dominio del adjunto de es más grande que el dominio de en sí mismo, mostrando que no es autoadjunto, lo que por definición significa que A no es esencialmente autoadjunto.
El problema con el ejemplo anterior es que impusimos demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A . Una mejor elección de dominio sería utilizar condiciones de contorno periódicas:
Con este dominio, A es esencialmente autoadjunto. [9]
En este caso, podemos comprender las implicaciones de los problemas de dominio para el teorema espectral. Si usamos la primera elección de dominio (sin condiciones de frontera), todas las funciones por son vectores propios, con valores propios , por lo que el espectro es todo el plano complejo. Si usamos la segunda opción de dominio (con condiciones de frontera de Dirichlet), A no tiene vectores propios. Si usamos la tercera opción de dominio (con condiciones de contorno periódicas), podemos encontrar una base ortonormal de vectores propios para A , las funciones. Por lo tanto, en este caso, encontrar un dominio tal que A sea autoadjunto es un compromiso: el dominio tiene que ser lo suficientemente pequeño para que A sea simétrico, pero lo suficientemente grande para que.
Operadores de Schrödinger con potenciales singulares
Un ejemplo más sutil de la distinción entre operadores simétricos y (esencialmente) autoadjuntos proviene de los operadores de Schrödinger en mecánica cuántica. Si la energía potencial es singular, particularmente si el potencial no está limitado por debajo, el operador de Schrödinger asociado puede fallar en ser esencialmente autoadjunto. En una dimensión, por ejemplo, el operador
no es esencialmente autoadjunta en el espacio de funciones suaves y en rápida descomposición. [10] En este caso, el fracaso de la autoadjunción esencial refleja una patología en el sistema clásico subyacente: una partícula clásica con unel potencial se escapa al infinito en un tiempo finito. Este operador no tiene un autoadjunto único , pero admite extensiones autoadjuntos obtenidas especificando "condiciones de contorno en el infinito". (Desdees un operador real, conmuta con conjugación compleja. Así, los índices de deficiencia son automáticamente iguales, que es la condición para tener una extensión autoadjunta. Consulte la discusión de las extensiones de los operadores simétricos a continuación).
En este caso, si definimos inicialmente en el espacio de funciones suaves, que decaen rápidamente, el adjunto será "el mismo" operador (es decir, dado por la misma fórmula) pero en el dominio más grande posible, a saber
Entonces es posible demostrar que no es un operador simétrico, lo que ciertamente implica que no es esencialmente autoadjunto. En efecto,tiene vectores propios con valores propios imaginarios puros, [11] [12] lo cual es imposible para un operador simétrico. Esta extraña ocurrencia es posible debido a una cancelación entre los dos términos en: Hay funciones en el dominio de por lo cual ni ni está por separado en , pero la combinación de ellos ocurre en es en . Esto permite ser asimétrico, aunque ambos y son operadores simétricos. Este tipo de cancelación no ocurre si reemplazamos el potencial repelente con el potencial limitante .
Las condiciones para que los operadores de Schrödinger sean autoadjuntos o esencialmente autoadjuntos se pueden encontrar en varios libros de texto, como los de Berezin y Shubin, Hall y Reed y Simon enumerados en las referencias.
Teorema espectral
En la literatura de física, el teorema espectral se establece a menudo diciendo que un operador autoadjunto tiene una base ortonormal de vectores propios. Los físicos conocen bien, sin embargo, el fenómeno del "espectro continuo"; así, cuando hablan de una "base ortonormal" se refieren a una base ortonormal en el sentido clásico o algún análogo continuo de la misma. En el caso del operador de impulso, por ejemplo, los físicos dirían que los vectores propios son las funciones , que claramente no están en el espacio de Hilbert . (Los físicos dirían que los vectores propios son "no normalizables"). Los físicos continuarían diciendo que estos "vectores propios" son ortonormales en un sentido continuo, donde el delta de Kronecker habitual se reemplaza por una función delta de Dirac .
Aunque estas afirmaciones pueden parecer desconcertantes para los matemáticos, se pueden hacer rigurosas mediante el uso de la transformada de Fourier, que permite una función que se expresará como una "superposición" (es decir, integral) de las funciones , aunque estas funciones no están en . La transformada de Fourier "diagonaliza" al operador de momento; es decir, lo convierte en el operador de multiplicación por, dónde es la variable de la transformada de Fourier.
El teorema espectral en general se puede expresar de manera similar como la posibilidad de "diagonalizar" a un operador mostrando que es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. Otras versiones del teorema espectral tienen la intención similar de capturar la idea de que un operador autoadjunto puede tener "vectores propios" que no están realmente en el espacio de Hilbert en cuestión.
Declaración del teorema espectral
Los operadores A , B parcialmente definidos en los espacios de Hilbert H , K son unitariamente equivalentes si y solo si hay una transformación unitaria U : H → K tal que
- U mapea dom A biyectivamente sobre dom B ,
Un operador de multiplicación se define como sigue: Sea ( X , Σ, μ) un numerable aditivo espacio de medida y f una función medible de valor real en X . Un operador T de la forma
cuyo dominio es el espacio de ψ para el cual el lado derecho de arriba está en L 2 se llama operador de multiplicación.
Una versión del teorema espectral se puede enunciar de la siguiente manera.
Teorema : cualquier operador de multiplicación es un operador autoadjunto (densamente definido). Cualquier operador autoadjunto es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. [13]
Otras versiones del teorema espectral se pueden encontrar en el artículo del teorema espectral vinculado anteriormente.
El teorema espectral para operadores autoadjuntos ilimitados se puede demostrar reduciendo al teorema espectral para operadores unitarios (por lo tanto acotados). [14] Esta reducción utiliza la transformada de Cayley para operadores autoadjuntos que se define en la siguiente sección. Podríamos notar que si T es una multiplicación por f, entonces el espectro de T es solo el rango esencial de f.
Cálculo funcional
Una aplicación importante del teorema espectral es definir un " cálculo funcional ". Es decir, si es una función en la línea real y es un operador autoadjunto, deseamos definir el operador . Si tiene una verdadera base ortonormal de vectores propios con valores propios , luego es el operador con autovectores y valores propios . El objetivo del cálculo funcional es extender esta idea al caso donde tiene espectro continuo.
De particular importancia en la física cuántica es el caso en el que es el operador hamiltoniano y es exponencial. En este caso, el cálculo funcional debería permitirnos definir el operador
que es el operador que define la evolución temporal en la mecánica cuántica.
Dada la representación de T como el operador de multiplicación por—Como lo garantiza el teorema espectral— es fácil caracterizar el cálculo funcional: si h es una función de Borel de valor real acotada en R , entonces h ( T ) es el operador de multiplicación por la composición.
Resolución de la identidad
Se ha acostumbrado a introducir la siguiente notación
dónde es la función característica del intervalo . La familia de los operadores de proyección E T (λ) se denomina resolución de la identidad de T . Además, se puede probar la siguiente representación integral de Stieltjes para T :
La definición de la integral de operador anterior se puede reducir a la de una integral de Stieltjes con valor escalar utilizando la topología de operador débil. Sin embargo, en los tratamientos más modernos, esta representación suele evitarse, ya que la mayoría de los problemas técnicos pueden resolverse mediante el cálculo funcional.
Formulación en la literatura de física.
En física, particularmente en mecánica cuántica, el teorema espectral se expresa de una manera que combina el teorema espectral como se indicó anteriormente y el cálculo funcional de Borel usando la notación de Dirac de la siguiente manera:
Si H es autoadjunto yf es una función de Borel ,
con
donde se ejecuta la integral sobre todo el espectro de H . La notación sugiere que H se diagonalizada por los vectores propios Ψ E . Esta notación es puramente formal . Se puede ver la similitud entre la notación de Dirac y la sección anterior. La resolución de la identidad (a veces llamada medidas valoradas por proyección) se asemeja formalmente a las proyecciones de rango 1. En la notación de Dirac, las medidas (proyectivas) se describen mediante valores propios y estados propios , ambos objetos puramente formales. Como era de esperar, esto no sobrevive al paso a la resolución de la identidad. En la última formulación, las mediciones se describen utilizando la medida espectral de, si el sistema está preparado en antes de la medición. Alternativamente, si uno quisiera preservar la noción de autoestados y hacerla rigurosa, en lugar de meramente formal, se puede reemplazar el espacio de estados por un espacio de Hilbert adecuado y manipulado .
Si f = 1 , el teorema se denomina resolución de unidad:
En el caso es la suma de un Hermitian H y un operador oblicuo-Hermitiano (ver matriz oblicua-Hermitiana ), se define el conjunto de bases biortogonales
y escribe el teorema espectral como:
(Consulte el método de partición de Feshbach-Fano para conocer el contexto en el que estos operadores aparecen en la teoría de la dispersión ).
Extensiones de operadores simétricos
La siguiente pregunta surge en varios contextos: si un operador A en el espacio de Hilbert H es simétrico, ¿cuándo tiene extensiones autoadjuntas? Se dice que un operador que tiene una extensión autoadjunta única es esencialmente autoadjunto ; de manera equivalente, un operador es esencialmente autoadjunto si su cierre (el operador cuyo gráfico es el cierre de la gráfica de A ) es autoadjunto. En general, un operador simétrico podría tener muchas extensiones autoadjuntas o ninguna. Por lo tanto, nos gustaría una clasificación de sus extensiones autoadjuntas.
El primer criterio básico para la autoadincidencia esencial es el siguiente: [15]
Teorema : si A es un operador simétrico en H , entonces A es esencialmente autoadjunto si y solo si el rango de los operadores y son densos en H .
De manera equivalente, A es esencialmente autoadjunta si y solo si los operadores y tienen núcleos triviales. [16] Es decir, A deja de ser autoadjunta si y solo si tiene un vector propio con valor propio o .
Otra forma de ver el problema la proporciona la transformada de Cayley de un operador autoadjunto y los índices de deficiencia. (A menudo es de conveniencia técnica tratar con operadores cerrados . En el caso simétrico, el requisito de cierre no presenta obstáculos, ya que se sabe que todos los operadores simétricos se pueden cerrar ).
Teorema : suponga que A es un operador simétrico. Entonces hay un operador lineal único parcialmente definido
Aquí, ran y dom denotan la imagen (en otras palabras, rango) y el dominio , respectivamente. W ( A ) es isométrico en su dominio. Por otra parte, la gama de 1 - W ( A ) es denso en H .
Por el contrario, dado cualquier operador U parcialmente definido que es isométrico en su dominio (que no es necesariamente cerrado) y tal que 1 - U es denso, hay un operador (único) S ( U )
tal que
El operador S ( U ) está densamente definido y es simétrico.
Las asignaciones W y S son inversas entre sí. [ aclaración necesaria ]
El mapeo W se denomina transformada de Cayley . Asocia una isometría parcialmente definida a cualquier operador simétrico densamente definido. Tenga en cuenta que las asignaciones W y S son monótonas : esto significa que si B es un operador simétrico que extiende el operador simétrico densamente definido A , entonces W ( B ) extiende W ( A ), y de manera similar para S.
Teorema : una condición necesaria y suficiente para que A sea autoadjunta es que su transformada de Cayley W ( A ) sea unitaria.
Esto nos da inmediatamente una condición necesaria y suficiente para que A tenga una extensión autoadjunta, como sigue:
Teorema - Una condición necesaria y suficiente para que A tenga una extensión autoadjunta es que W ( A ) tenga una extensión unitaria.
Un operador isométrico V parcialmente definido en un espacio de Hilbert H tiene una extensión isométrica única al cierre normativo de dom ( V ). Un operador isométrico parcialmente definido con dominio cerrado se denomina isometría parcial .
Dada una isometría parcial V , los índices de deficiencia de V se definen como la dimensión de los complementos ortogonales del dominio y rango:
Teorema : una isometría parcial V tiene una extensión unitaria si y solo si los índices de deficiencia son idénticos. Además, V tiene una extensión unitaria única si y solo si los índices de deficiencia son ambos cero.
Vemos que hay una biyección entre extensiones simétricas de un operador y extensiones isométricas de su transformada de Cayley. La extensión simétrica es autoadjunta si y solo si la extensión isométrica correspondiente es unitaria.
Un operador simétrico tiene una extensión autoadjunta única si y solo si ambos índices de deficiencia son cero. Se dice que dicho operador es esencialmente autoadjunto . Los operadores simétricos que no son esencialmente autoadjuntos pueden tener una extensión autoadjunta canónica . Tal es el caso de los operadores simétricos no negativos (o más generalmente, los operadores que están acotados por debajo). Estos operadores siempre tienen una extensión de Friedrichs definida canónicamente y para estos operadores podemos definir un cálculo funcional canónico. Muchos operadores que ocurren en el análisis están delimitados por debajo (como el negativo del operador laplaciano ), por lo que el tema de la contigüidad esencial para estos operadores es menos crítico.
Extensiones autoadjuntas en mecánica cuántica
En mecánica cuántica, los observables corresponden a operadores autoadjuntos. Según el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro , los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de operadores de evolución temporal. Sin embargo, muchos problemas físicos se formulan como una ecuación de evolución en el tiempo que involucra operadores diferenciales para los cuales el hamiltoniano es solo simétrico. En tales casos, el hamiltoniano es esencialmente autoadjunto, en cuyo caso el problema físico tiene soluciones únicas o se intenta encontrar extensiones autoadjuntos del hamiltoniano correspondientes a diferentes tipos de condiciones de frontera o condiciones en el infinito.
Ejemplo. El operador unidimensional de Schrödinger con el potencial, definido inicialmente en funciones suaves con soporte compacto, es esencialmente autoadjunto (es decir, tiene un cierre autoadjunto) para 0 < α ≤ 2 pero no para α > 2 . Ver Berezin y Schubin, páginas 55 y 86, o la Sección 9.10 en Hall.
El fracaso de la autoadincidencia esencial para tiene una contraparte en la dinámica clásica de una partícula con potencial : La partícula clásica escapa al infinito en un tiempo finito. [17]
Ejemplo. No existe un operador de momento autoadjunto p para una partícula que se mueve en una media línea. Sin embargo, el hamiltonianode una partícula "libre" en una media línea tiene varias extensiones autoadjuntas correspondientes a diferentes tipos de condiciones de contorno. Físicamente, estas condiciones de contorno están relacionadas con los reflejos de la partícula en el origen (ver Reed y Simon, vol. 2).
Fórmulas de von Neumann
Suponga que A es simétrica densamente definida. Entonces, cualquier extensión simétrica de A es una restricción de A *. De hecho, A ⊆ B y B simétrico produce B ⊆ A * aplicando la definición de dom ( A *).
Teorema : suponga que A es un operador simétrico densamente definido. Dejar
Estas se denominan fórmulas de von Neumann en la referencia de Akhiezer y Glazman.
Ejemplos de
Un operador simétrico que no es esencialmente autoadjunto
Primero consideramos el espacio de Hilbert y el operador diferencial
definido en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables en [0,1], satisfaciendo las condiciones de contorno
Entonces D es un operador simétrico como se puede demostrar mediante la integración por partes . Los espacios N + , N - (definidos a continuación) están dados respectivamente por las soluciones distributivas de la ecuación
que están en L 2 [0, 1]. Se puede demostrar que cada uno de estos espacios solución es unidimensional, generado por las funciones x → e −x y x → e x respectivamente. Esto muestra que D no es esencialmente autoadjunto, [18] pero tiene extensiones autoadjunto. Estas extensiones autoadjuntos se parametrizada por el espacio de asignaciones unitarias N + → N - , que en este caso pasa a ser el círculo unitario T .
En este caso, el fracaso de la autoadjunta esencial se debe a una elección "incorrecta" de las condiciones de contorno en la definición del dominio de . Desde es un operador de primer orden, solo se necesita una condición de límite para garantizar que es simétrico. Si reemplazamos las condiciones de contorno dadas anteriormente por la condición de contorno único
- ,
entonces D seguiría siendo simétrica y ahora, de hecho, sería esencialmente autoadjunta. Este cambio de condiciones de contorno da una extensión en particular esencialmente autoadjunta de D . Otras extensiones esencialmente autoadjuntas provienen de la imposición de condiciones de contorno de la forma..
Este sencillo ejemplo ilustra un hecho general sobre las extensiones de autoadjuntos de simétrica operadores diferenciales P en un conjunto abierto M . Están determinadas por los mapas unitarios entre los espacios de valores propios
donde P dist es la extensión de distribución de P .
Operadores de coeficiente constante
A continuación, damos el ejemplo de operadores diferenciales con coeficientes constantes . Dejar
ser un polinomio en R n con coeficientes reales , donde α varía sobre un conjunto (finito) de índices múltiples . Por lo tanto
y
También usamos la notación
Entonces el operador P (D) definido en el espacio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en R n por
es esencialmente autoadjunta en L 2 ( R n ).
Teorema - Sea P una función polinomial en R n con coeficientes reales, F la transformada de Fourier considerada como un mapa unitario L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ). Entonces F * P (D) F es esencialmente autoadjunta y su extensión autoadjunta único es el operador de la multiplicación por la función P .
De manera más general, considere los operadores diferenciales lineales que actúan sobre funciones de valor complejo infinitamente diferenciables de soporte compacto. Si M es un subconjunto abierto de R n
donde a α son (no necesariamente constantes) funciones infinitamente diferenciables. P es un operador lineal
Correspondiente a P hay otro operador diferencial, el adjunto formal de P
Teorema - El adjunto P * de P es una restricción de la extensión distributiva del adjunto formal a un subespacio apropiado de. Específicamente:
Teoría de la multiplicidad espectral
La representación de multiplicación de un operador autoadjunto, aunque extremadamente útil, no es una representación canónica. Esto sugiere que no es fácil extraer de esta representación un criterio para determinar cuándo los operadores autoadjuntos A y B son unitariamente equivalentes. La representación de grano más fino que discutimos ahora involucra la multiplicidad espectral. Este círculo de resultados se denomina teoría de la multiplicidad espectral de Hahn - Hellinger .
Multiplicidad uniforme
Primero definimos multiplicidad uniforme :
Definición . Un operador autoadjunto A tiene multiplicidad uniforme n donde n es tal que 1 ≤ n ≤ ω si y solo si A es unitariamente equivalente al operador M f de la multiplicación por la función f (λ) = λ en
donde H n es un espacio de Hilbert de dimensión n . El dominio de M f consta de funciones vectoriales ψ en R tales que
Las medidas aditivas contables no negativas μ, ν son mutuamente singulares si y solo si se admiten en conjuntos de Borel disjuntos.
Teorema - Sea A un operador autoadjunto en un espacio H de Hilbert separable . Luego hay una secuencia ω de medidas finitas aditivas contables en R (algunas de las cuales pueden ser idénticamente 0)
Esta representación es única en el siguiente sentido: para dos representaciones cualesquiera de la misma A , las medidas correspondientes son equivalentes en el sentido de que tienen los mismos conjuntos de medida 0.
Integrales directas
El teorema de la multiplicidad espectral se puede reformular utilizando el lenguaje de integrales directas de espacios de Hilbert:
Teorema - [19] Cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable es unitariamente equivalente a la multiplicación por la función λ ↦ λ en
A diferencia de la versión del operador de multiplicación del teorema espectral, la versión integral directa es única en el sentido de que la clase de equivalencia de medida de μ (o equivalentemente sus conjuntos de medida 0) se determina de forma única y la función medible se determina casi en todas partes con respecto a μ. [20] La funciónes la función de multiplicidad espectral del operador.
Ahora podemos establecer el resultado de clasificación para los operadores autoadjuntos: dos operadores autoadjuntos son unitariamente equivalentes si y solo si (1) sus espectros concuerdan como conjuntos, (2) las medidas que aparecen en sus representaciones integrales directas tienen los mismos conjuntos de medida cero, y (3) sus funciones de multiplicidad espectral concuerdan casi en todas partes con respecto a la medida en la integral directa. [21]
Ejemplo: estructura del Laplaciano
El laplaciano en R n es el operador
Como se señaló anteriormente, el Laplaciano está diagonalizado por la transformada de Fourier. En realidad, es más natural considerar el negativo del laplaciano −Δ ya que como operador no es negativo; (ver operador elíptico ).
Teorema : si n = 1, entonces −Δ tiene multiplicidad uniforme, de lo contrario −Δ tiene multiplicidad uniforme . Además, la medida μ mult puede tomarse como medida de Lebesgue en [0, ∞).
Espectro de puntos puros
Un operador de autoadjunta A en H tiene espectro punto puro si y sólo si H tiene una base ortonormal { e i } i ∈ I que consiste de autovectores para A .
Ejemplo . El hamiltoniano para el oscilador armónico tiene un potencial cuadrático V , es decir
Este hamiltoniano tiene un espectro de puntos puro; esto es típico de los hamiltonianos de estado ligado en mecánica cuántica. Como se señaló en un ejemplo anterior, una condición suficiente para que un operador simétrico ilimitado tenga vectores propios que formen una base espacial de Hilbert es que tenga una inversa compacta.
Ver también
- Operador compacto en el espacio Hilbert
- Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger
- Operador ilimitado
Citas
- ^ Salón 2013 Proposición A.53
- ↑ a b Griffel , 2002 , p. 238.
- ↑ a b c d e Griffel , 2002 , págs. 224-230.
- ↑ a b Griffel , 2002 , págs. 240-245.
- ↑ Hall 2013 Corolario 9.9
- ↑ Hall 2013 Proposición 9.30
- ↑ Hall 2013 Proposición 9.27
- ↑ Hall 2013 Proposition 9.28
- ^ Hall 2013 Ejemplo 9.25
- ^ Teorema de Hall 2013 9.41
- ^ Berezin y Shubin 1991 p. 85
- ↑ Hall 2013 Sección 9.10
- ^ Teoremas Hall 2013 7.20 y 10.10
- ^ Salón 2013 Sección 10.4
- ^ Teorema 9.21 de Hall 2013
- ↑ Hall 2013 Corolario 9.22
- ^ Hall 2013 Capítulo 2, Ejercicio 4
- ^ Salón 2013 Sección 9.6
- ^ Teoremas de Hall 2013 7.19 y 10.9
- ↑ Hall 2013 Proposición 7.22
- ↑ Hall 2013 Proposición 7.24
Referencias
- Akhiezer, NI ; Glazman, IM (1981), Teoría de los operadores lineales en el espacio de Hilbert , Dos volúmenes, Pitman, ISBN 9780486318653
- Berezin, FA; Shubin, MA (1991), La ecuación de Schrödinger , Kluwer
- Griffel, DH (2002). Análisis funcional aplicado . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 0-486-42258-5. OCLC 49250076 .
- Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Kato, T. (1966), Teoría de la perturbación para operadores lineales , Nueva York: Springer
- Moretti, V. (2018), Teoría espectral y mecánica cuántica: Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica , Springer-Verlag, ISBN 978-3-319-70706-8
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Reed, M .; Simon, B. (1972), Métodos de física matemática , Vol 2, Academic Press
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Teschl, G. (2009), Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger , Providence: American Mathematical Society
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Yosida, K. (1965), Análisis funcional , Academic Press