En comparación con la relatividad general , las variables dinámicas de la teoría de la gravitación métrica-afín son tanto una métrica pseudo-riemanniana como una conexión lineal general en una variedad mundial . La teoría de la gravitación afín métrica se ha sugerido como una generalización natural de la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan con torsión, donde una conexión lineal obedece a la condición de que una derivada covariante de una métrica sea igual a cero.
La teoría de la gravitación métrica-afín proviene directamente de la teoría de la gravitación de calibre, donde una conexión lineal general desempeña el papel de un campo de calibre . Dejarser el paquete tangente sobre un colector provisto de coordenadas de paquete . Una conexión lineal general enestá representado por una forma de conexión con valores de tangente
Está asociado a una conexión principal en el paquete de tramas principal. de fotogramas en los espacios tangentes a cuyo grupo de estructura es un grupo lineal general . En consecuencia, puede tratarse como un campo de calibre . Una métrica pseudo-riemanniana en se define como una sección global del paquete de cocientes , dónde es el grupo de Lorentz . Por lo tanto, se puede considerar como un campo de Higgs clásico en la teoría de la gravitación de calibre . Las simetrías de calibre de la teoría de la gravitación métrica-afín son transformaciones covariantes generales .
Es esencial que, dada una métrica pseudo-riemanniana , cualquier conexión lineal en admite una división
en los símbolos de Christoffel
y un tensor de torsión
dónde
Debido a esta división, la teoría de la gravitación métrica-afín posee una colección diferente de variables dinámicas que son una métrica pseudo-Riemanniana, un tensor de no metricidad y un tensor de torsión. Como consecuencia, un lagrangiano de la teoría de la gravitación afín métrica puede contener diferentes términos expresados tanto en la curvatura de una conexióny sus tensores de torsión y no metricidad. En particular, una gravedad f (R) afín métrica , cuyo lagrangiano es una función arbitraria de una curvatura escalar de , se considera.
Una conexión lineal se llama la conexión métrica para una métrica pseudo-Riemanniana Si es su sección integral, es decir, la condición de métrica
sostiene. Una conexión métrica lee
Por ejemplo, la conexión Levi-Civita en Relatividad General es una conexión métrica sin torsión.
Una conexión métrica está asociada a una conexión principal en un subpaquete reducido de Lorentz del paquete de marcos correspondiente a una sección del paquete del cociente . Restringida a las conexiones métricas, la teoría de la gravitación métrica-afín llega a la teoría de la gravitación de Einstein-Cartan antes mencionada .
Al mismo tiempo, cualquier conexión lineal define una conexión principal adaptada en un subpaquete reducido de Lorentz por su restricción a una subálgebra de Lorentz de un álgebra de Lie de un grupo lineal general . Por ejemplo, el operador de Dirac en la teoría de la gravitación afín métrica en presencia de una conexión lineal general está bien definido, y depende solo de la conexión adaptada . Por lo tanto, la teoría de la gravitación de Einstein-Cartan se puede formular como métrica-afín, sin apelar a la restricción de la métrica.
En la teoría de la gravitación métrica-afín, en comparación con la de Einstein-Cartan, surge una pregunta sobre una fuente de materia de un tensor de no metricidad. Es lo que se denomina hipermomento, por ejemplo, una corriente de Noether de simetría de escala .
Ver también
Referencias
- F.Hehl, J. McCrea, E. Mielke, Y. Ne'eman, Teoría de calibre métrico-afín de la gravedad: ecuaciones de campo, identidades de Noether, espinores mundiales y ruptura de la invariancia de dilatón, Physics Reports 258 (1995) 1-171 ; arXiv : gr-qc / 9402012
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