Geometría no euclidiana

Comportamiento de líneas con una perpendicular común en cada uno de los tres tipos de geometría

por período

AEC
Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio
1-1400
Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara
1400 a 1700
Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida
1700-1900
Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter
En la actualidad
Atiyah Gromov

En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge al relajar el requisito métrico o al reemplazar el postulado paralelo con una alternativa. En el último caso se obtiene geometría hiperbólica y geometría elíptica , las tradicionales geometrías no euclidianas. Cuando el requisito métrico se relaja, entonces hay planos afines asociados con elálgebras planas , que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han denominado geometría no euclidiana.

La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas . El quinto postulado de Euclides , el postulado paralelo , es equivalente al postulado de Playfair , que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier recta dada $ly$ un punto A , que no está en $l$ , hay exactamente una recta que pasa por A que no se cruza $l$ . En geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitas líneas a través de A que no intersecan $l$ , mientras que en geometría elíptica, cualquier línea a través de A interseca $l$ .

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas extendidas indefinidamente en un plano bidimensional que son perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

En la geometría euclidiana, las líneas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea trazada perpendicular a una línea en cualquier punto intersecará la otra línea y la longitud del segmento de línea que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen. como paralelos.
En la geometría hiperbólica, se "curvan alejándose" entre sí, aumentando en distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; estas líneas a menudo se denominan ultraparalelas .
En geometría elíptica, las líneas se "curvan" entre sí y se cruzan.

Historia

Fondo

La geometría euclidiana , llamada así por el matemático griego Euclides , incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaron de esto no fueron ampliamente aceptadas como legítimas hasta el siglo XIX.

El debate que finalmente condujo al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió Elementos . En los Elementos , Euclides comienza con un número limitado de suposiciones (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y busca probar todos los demás resultados ( proposiciones ) en el trabajo. El más notorio de los postulados a menudo se conoce como "Quinto Postulado de Euclides", o simplemente el postulado paralelo , que en la formulación original de Euclides es:

Si una línea recta cae sobre dos líneas rectas de tal manera que los ángulos interiores del mismo lado son menos que dos ángulos rectos, entonces las líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en el que están los ángulos menores que el dos ángulos rectos.

Otros matemáticos han ideado formas más simples de esta propiedad. Independientemente de la forma del postulado, sin embargo, siempre parece más complicado que los otros postulados de Euclides :

1. Dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Producir [extender] una línea recta finita continuamente en línea recta.
3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio].
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Durante al menos mil años, los geómetras se sintieron preocupados por la complejidad dispar del quinto postulado y creyeron que podía demostrarse como un teorema de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción , entre ellos Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), ^[1] Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII). ).

Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre cuadriláteros , incluido el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron "los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica ". Estos teoremas, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair , jugaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de desafiar el quinto postulado tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis y Saccheri.^[2] Sin embargo, todos estos primeros intentos realizados para tratar de formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado paralelo, que contenían supuestos que eran esencialmente equivalentes al postulado paralelo. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas propiedades iniciales de las geometrías hiperbólica y elíptica.

Khayyam, por ejemplo, trató de derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" ( Aristóteles ): " Dos rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos rectas convergentes diverjan en la dirección en la que se encuentran. convergen " . ^[3]Khayyam luego consideró los tres casos rectos, obtusos y agudos que pueden tomar los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri y después de probar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtusos y agudos basándose en su postulado y, por lo tanto, derivó el postulado clásico. de Euclides, que no se dio cuenta de que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), quien escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, que presentó otra hipótesis equivalente al postulado paralelo . "Él esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".^[4]^[5] Su trabajo fue publicado en Roma.en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos, entre ellos Saccheri ^[4], quien criticó tanto este trabajo como el de Wallis. ^[6]

Giordano Vitale , en su libro Euclide restituo (1680, 1686), usó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cima CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes.

En un trabajo titulado Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclides liberado de todos los defectos ), publicado en 1733, Saccheri descartó rápidamente la geometría elíptica como una posibilidad (algunos otros de los axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se puso a trabajar probando un gran número de resultados en geometría hiperbólica.

Finalmente llegó a un punto en el que creía que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Su afirmación parece haberse basado en presuposiciones euclidianas, porque no existía ninguna contradicción lógica . En este intento de probar la geometría euclidiana, descubrió involuntariamente una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta.

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como Saccheri, probar el quinto postulado. Trabajó con una figura ahora conocida como cuadrilátero de Lambert, un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyam, y luego procedió a probar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que el área del triángulo disminuye, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó más lejos esta idea. ^[7]

En ese momento, se creía ampliamente que el universo funcionaba de acuerdo con los principios de la geometría euclidiana. ^[8]

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

El comienzo del siglo XIX finalmente sería testigo de pasos decisivos en la creación de la geometría no euclidiana. Alrededor de 1813, Carl Friedrich Gauss e independientemente alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart ^[9] tenían las ideas germinales de la geometría no euclidiana elaboradas, pero ninguno publicó ningún resultado. El sobrino de Schweikart, Franz Taurinus , publicó importantes resultados de la trigonometría hiperbólica en dos artículos en 1825 y 1826, pero aunque admitía la consistencia interna de la geometría hiperbólica, todavía creía en el papel especial de la geometría euclidiana. ^[10]

Luego, en 1829-1830, el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y en 1832 el matemático húngaro János Bolyai publicaron por separado e independientemente tratados sobre geometría hiperbólica. En consecuencia, la geometría hiperbólica se denomina geometría lobachevskiana o bolyai-lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientes entre sí, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss mencionó al padre de Bolyai, cuando se le mostró el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado tal geometría varios años antes, ^[11]aunque no lo publicó. Mientras Lobachevsky creó una geometría no euclidiana al negar el postulado paralelo, Bolyai elaboró una geometría en la que tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k . Bolyai termina su trabajo mencionando que no es posible decidir a través del razonamiento matemático solamente si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; esta es una tarea de las ciencias físicas.

Bernhard Riemann , en una famosa conferencia en 1854, fundó el campo de la geometría riemanniana , discutiendo en particular las ideas ahora llamadas variedades , métrica riemanniana y curvatura . Construyó una familia infinita de geometrías no euclidianas dando una fórmula para una familia de métricas riemannianas en la bola unitaria en el espacio euclidiano . La más simple de ellas se llama geometría elíptica y se considera una geometría no euclidiana debido a su falta de líneas paralelas. ^[12]

Al formular la geometría en términos de un tensor de curvatura , Riemann permitió que la geometría no euclidiana se aplicara a dimensiones superiores. Beltrami (1868) fue el primero en aplicar la geometría de Riemann a espacios de curvatura negativa.

Terminología

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". ^[13] Se refería a su propio trabajo, que hoy llamamos geometría hiperbólica . Varios autores modernos todavía consideran sinónimos de geometría no euclidiana y geometría hiperbólica .

Arthur Cayley señaló que la distancia entre los puntos dentro de una cónica podría definirse en términos de logaritmo y la función proyectiva de relación cruzada . El método se ha denominado métrica de Cayley-Klein porque Felix Klein lo explotó para describir las geometrías no euclidianas en los artículos ^[14] de 1871 y 1873 y más tarde en forma de libro. Las métricas de Cayley-Klein proporcionaron modelos de trabajo de geometrías métricas hiperbólicas y elípticas, así como geometría euclidiana.

Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptico" (en su sistema llamó a la geometría euclidiana parabólica , un término que generalmente cayó en desuso ^[15] ). Su influencia ha llevado al uso actual del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de varias formas. ^[dieciséis]

Base axiomática de la geometría no euclidiana

La geometría euclidiana se puede describir axiomáticamente de varias formas. Desafortunadamente, el sistema original de Euclides de cinco postulados (axiomas) no es uno de estos, ya que sus pruebas se basaron en varios supuestos no declarados que también deberían haber sido tomados como axiomas. El sistema de Hilbert que consta de 20 axiomas ^[17] sigue más de cerca el enfoque de Euclides y proporciona la justificación para todas las demostraciones de Euclides. Otros sistemas, que utilizan diferentes conjuntos de términos indefinidos, obtienen la misma geometría por diferentes caminos. Sin embargo, todos los enfoques tienen un axioma que es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides, el postulado paralelo. Hilbert usa la forma del axioma de Playfair, mientras que Birkhoff, por ejemplo, utiliza el axioma que dice: "Existe un par de triángulos similares pero no congruentes". En cualquiera de estos sistemas, la eliminación de un axioma equivalente al postulado paralelo, en cualquier forma que adopte, y dejando todos los demás axiomas intactos, produce geometría absoluta . Como las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos ) no requieren el uso del postulado paralelo ni nada equivalente, todas son declaraciones verdaderas en geometría absoluta. ^[18]

Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado paralelo (o su equivalente) debe reemplazarse por su negación . Negar la forma del axioma de Playfair , ya que es un enunciado compuesto (... existe uno y solo uno ...), se puede hacer de dos maneras:

O existirá más de una línea a través del punto paralelo a la línea dada o no existirán líneas a través del punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, reemplazando el postulado paralelo (o su equivalente) con el enunciado "En un plano, dado un punto P y una recta $l que$ no pasa por P, existen dos rectas que pasan por P, que no cumplen con $l$ " y manteniendo todos los demás axiomas, produce geometría hiperbólica . ^[19]
El segundo caso no se resuelve tan fácilmente. Simplemente reemplazando el postulado paralelo con el enunciado, "En un plano, dado un punto P y una línea $l que$ no pasa por P, todas las líneas que pasan por P se encuentran con $l$ ", no da un conjunto consistente de axiomas. Esto se deduce que existen líneas paralelas en geometría absoluta, ^[20]pero esta afirmación dice que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (en una forma diferente) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para rechazar lo que se conoció como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma acerca de no tener líneas paralelas, se deben modificar algunos otros axiomas. Estos ajustes dependen del sistema de axiomas utilizado. Entre otros, estos ajustes tienen el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides desde la afirmación de que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente hasta la afirmación de que las líneas son ilimitadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Modelos de geometría no euclidiana

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180 °. La superficie de una esfera no es un espacio euclidiano, pero localmente las leyes de la geometría euclidiana son buenas aproximaciones. En un pequeño triángulo en la faz de la tierra, la suma de los ángulos es casi 180 °.

La geometría euclidiana bidimensional está modelada por nuestra noción de "plano plano ".

Geometría elíptica

El modelo más simple para la geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " grandes círculos " (como el ecuador o los meridianos de un globo ), y los puntos opuestos entre sí (llamados puntos antípodas ) se identifican (se consideran iguales). Este es también uno de los modelos estándar del plano proyectivo real . La diferencia es que como modelo de geometría elíptica se introduce una métrica que permite medir longitudes y ángulos, mientras que como modelo del plano proyectivo no existe tal métrica.

En el modelo elíptico, para cualquier línea $ly$ un punto A , que no está en $l$ , todas las líneas que atraviesan A se intersecarán con $l$ .

Geometría hiperbólica

Incluso después del trabajo de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, la pregunta seguía siendo: "¿Existe tal modelo para la geometría hiperbólica ?". El modelo de geometría hiperbólica fue respondido por Eugenio Beltrami , en 1868, quien demostró por primera vez que una superficie llamada pseudoesfera tiene la curvatura apropiada para modelar una porción del espacio hiperbólico y en un segundo artículo en el mismo año, definió el modelo de Klein , que Modela la totalidad del espacio hiperbólico, y usó esto para mostrar que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica eran equiconguentes, de modo que la geometría hiperbólica era lógicamente consistentesi y solo si la geometría euclidiana fuera. (La implicación inversa sigue de la horobola modelo de la geometría euclidiana.)

En el modelo hiperbólico, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea $ly$ un punto A , que no está en $l$ , hay infinitas líneas que atraviesan A que no intersecan $l$ .

En estos modelos, los conceptos de geometrías no euclidianas están representados por objetos euclidianos en un entorno euclidiano. Esto introduce una distorsión perceptiva en la que las líneas rectas de la geometría no euclidiana están representadas por curvas euclidianas que se doblan visualmente. Esta "flexión" no es una propiedad de las líneas no euclidianas, solo un artificio de la forma en que se representan.

Geometría tridimensional no euclidiana

En tres dimensiones, hay ocho modelos de geometrías. ^[21] Hay geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, como en el caso bidimensional; geometrías mixtas que son parcialmente euclidianas y parcialmente hiperbólicas o esféricas; versiones retorcidas de las geometrías mixtas; y una geometría inusual que es completamente anisotrópica (es decir, cada dirección se comporta de manera diferente).

Propiedades infrecuentes

Cuadrilátero de Lambert en geometría hiperbólica

Cuadriláteros de Saccheri en las tres geometrías

Las geometrías euclidianas y no euclidianas tienen naturalmente muchas propiedades similares, a saber, aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Esta similitud es el tema de la geometría absoluta (también llamada geometría neutra ). Sin embargo, las propiedades que distinguen una geometría de otras históricamente han recibido la mayor atención.

Además del comportamiento de las líneas con respecto a una perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:

Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, un ángulo recto si la geometría es euclidiana u obtusa si la geometría es elíptica. En consecuencia, los rectángulos existen (un enunciado equivalente al postulado paralelo) solo en la geometría euclidiana.
Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman ángulos de la cumbre y tienen la misma medida. Los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, ángulos rectos si la geometría es euclidiana y ángulos obtusos si la geometría es elíptica.
La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180 ° si la geometría es hiperbólica, igual a 180 ° si la geometría es euclidiana y mayor a 180 ° si la geometría es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180 ° - suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también puede expresarse como: el defecto de los triángulos en la geometría hiperbólica es positivo, el defecto de los triángulos en la geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en la geometría elíptica es negativo.

Importancia

Antes de que Beltrami, Klein y Poincaré presentaran los modelos de un plano no euclidiano, la geometría euclidiana permanecía indiscutible como modelo matemático del espacio . Además, dado que la sustancia del sujeto en la geometría sintética era una muestra principal de racionalidad, el punto de vista euclidiano representaba la autoridad absoluta.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que fue mucho más allá de los límites de las matemáticas y la ciencia. El tratamiento que dio el filósofo Immanuel Kant al conocimiento humano tuvo un papel especial para la geometría. Fue su mejor ejemplo de conocimiento sintético a priori; no derivado de los sentidos ni deducido a través de la lógica: nuestro conocimiento del espacio fue una verdad con la que nacimos. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterablemente verdadera era euclidiano. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la forma en que las matemáticas se relacionan con el mundo que la rodea, que fue el resultado de este cambio de paradigma. ^[22]

La geometría no euclidiana es un ejemplo de una revolución científica en la historia de la ciencia , en la que matemáticos y científicos cambiaron la forma en que veían a sus sujetos. ^[23] Algunos geómetras llamaron a Lobachevsky el " Copérnico de la Geometría" debido al carácter revolucionario de su trabajo. ^[24]^[25]

La existencia de geometrías no euclidianas afectó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras ^[26] y, en particular, fue uno de los factores principales que provocó un reexamen de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides . Este tema del plan de estudios se debatió acaloradamente en ese momento e incluso fue tema de un libro, Euclid and his Modern Rivals , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), más conocido como Lewis Carroll , el autor de Alicia en el país de las maravillas .

Álgebras planas

En geometría analítica, un plano se describe con coordenadas cartesianas : C = {( x, y ): x , y ∈ ℝ}. Los puntos a veces se identifican con números complejos $z = x + y ε$ donde ε ² ∈ {–1, 0, 1}.

El plano euclidiano corresponde al caso $ε 2 = -1$ ya que el módulo de $z$ está dado por

{\ Displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}

y esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre $z$ y el origen. Por ejemplo, ${z | zz * = 1}$ es el círculo unitario .

Para el álgebra plana, la geometría no euclidiana surge en los otros casos. Cuando $ε 2 = +1$ , entonces $z$ es un número complejo dividido y convencionalmente $j$ reemplaza a épsilon. Luego

{\ Displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}

y ${z | zz * = 1}$ es la hipérbola unitaria .

Cuando $ε 2 = 0$ , entonces $z$ es un número dual . ^[27]

Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de pendiente en el plano numérico dual y el ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, cada uno de ellos surge en la descomposición polar de un número complejo $z$ . ^[28]

Geometrías cinemáticas

La geometría hiperbólica encontró una aplicación en cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea de mundo y tiempo propio en la física matemática . Se dio cuenta de que la subvariedad , de los eventos en un momento del tiempo adecuado en el futuro, podría considerarse un espacio hiperbólico de tres dimensiones. ^[29]^[30] Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta subvariedad a través de su Álgebra de Física y cuaterniones hiperbólicos., aunque Macfarlane no usó lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama modelo hiperboloide de geometría hiperbólica.

Las álgebras planas no euclidianas apoyan geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número complejo dividido z = e ^{a j} puede representar un evento espaciotemporal en un momento en el futuro de un marco de referencia de rapidez a . Además, la multiplicación por z equivale a un aumento de Lorentz mapeando el marco con rapidez cero a eso con rapidez a .

El estudio cinemático hace uso de los números duales para representar la descripción clásica del movimiento en tiempo y espacio absolutos : las ecuaciones son equivalentes a un mapeo de corte en álgebra lineal: ${\ Displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}$

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.

Con números duales, la asignación es ^[31] $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$

EB Wilson y Gilbert Lewis propusieron otra visión de la relatividad especial como una geometría no euclidiana en Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912. Renovaron la geometría analítica implícita en el álgebra de números complejos divididos en geometría sintética de premisas. y deducciones. ^[32]^[33]

Ficción

La geometría no euclidiana a menudo aparece en obras de ciencia ficción y fantasía .

En 1895, HG Wells publicó el cuento El notable caso de los ojos de Davidson . Para apreciar esta historia hay que saber cómo se identifican los puntos antípodas de una esfera en un modelo del plano elíptico. En la historia, en medio de una tormenta, Sidney Davidson ve "Olas y una goleta extraordinariamente ordenada" mientras trabaja en un laboratorio eléctrico en Harlow Technical College. Al final de la historia, Davidson demuestra haber sido testigo del HMS Fulmar frente a la isla de las Antípodas .
La geometría no euclidiana a veces está relacionada con la influencia del escritor de ficción de terror del siglo XX HP Lovecraft . En sus obras, muchas cosas antinaturales siguen sus propias leyes únicas de la geometría: En Cthulhu Mythos de Lovecraft , la ciudad hundida de R'lyeh se caracteriza por su geometría no euclidiana. Está fuertemente implícito que esto se logra como un efecto secundario de no seguir las leyes naturales de este universo en lugar de simplemente usar un modelo geométrico alternativo, ya que se dice que su pura maldad innata es capaz de volver locos a quienes lo ven. ^[34]
El personaje principal de Robert Pirsig 's Zen y el arte del mantenimiento de la motocicleta mencionan Riemann geometría en múltiples ocasiones.
En Los hermanos Karamazov , Dostoievski analiza la geometría no euclidiana a través de su personaje Iván.
La novela Inverted World de Christopher Priest describe la lucha de vivir en un planeta con la forma de una pseudoesfera giratoria .
El número de la bestia de Robert Heinlein utiliza geometría no euclidiana para explicar el transporte instantáneo a través del espacio y el tiempo y entre universos paralelos y ficticios.
HyperRogue de Zeno Rogue es un juego roguelike ambientado en el plano hiperbólico , lo que permite al jugador experimentar muchas propiedades de esta geometría. Muchas mecánicas, misiones y ubicaciones dependen en gran medida de las características de la geometría hiperbólica. ^[35]
En el escenario de ciencia ficción de Renegade Legion para el juego de guerra , el juego de rol y la ficción de FASA, los viajes y las comunicaciones más rápidos que la luz son posibles mediante el uso de la geometría polidimensional no euclidiana de Hsieh Ho, publicada en algún momento a mediados de la Siglo 22.
En Flatterland de Ian Stewart, la protagonista Victoria Line visita todo tipo de mundos no euclidianos.

Ver también

Espacio hiperbólico
Esfera Lénárt
Geometría proyectiva
Crecimiento superficial no euclidiano

Notas

↑ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometría", p. 470, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría, cuya importancia fue completamente reconocida solo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades del cuadrilátero ... que consideraron asumiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos —encarnaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraban que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V.Es extremadamente importante que estos eruditos establecieron la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero.Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de probar el postulado en líneas paralelas, realizado porWitelo , los científicos polacos del siglo XIII, mientras que la revisión de Ibn al-Haytham 's libro de Óptica ( Kitab al-Manazir ) - fue, sin duda motivada por las fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivía en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la manifestación de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de Borth J. Wallis y G. Saccheri sobre la teoría de las líneas paralelas ".
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", p. 467, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , ISBN 0-415-12411-5
↑ a b Victor J. Katz (1998), Historia de las matemáticas: Introducción , p. 270–271, Addison – Wesley , ISBN 0-321-01618-1 :
"Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La importancia de este último trabajo es que fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida para el trabajo de Saccheri y, en última instancia, para el descubrimiento de la geometría no euclidiana ".
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, pág. 447–494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:
"En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se usa otra declaración en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de probar. [...] Él esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados y las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".
^ Giovanni Girolamo Saccheri de MacTutor
^ O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Consultado el 16 de septiembre de 2011 .
↑ Una notable excepción es David Hume, quien ya en 1739 consideró seriamente la posibilidad de que nuestro universo no fuera euclidiano; véase David Hume (1739/1978) Tratado de la naturaleza humana , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), págs. 51-52.
↑
En una carta de diciembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) esbozó algunas ideas sobre la geometría no euclidiana. La carta fue enviada a Gauss en 1819 por el ex alumno de Gauss, Gerling. En su respuesta a Gerling, Gauss elogió a Schweikart y mencionó su propia investigación anterior sobre la geometría no euclidiana. Ver:
- Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1900), volumen 8, páginas 180-182.
- Las traducciones al inglés de la carta de Schweikart y la respuesta de Gauss a Gerling aparecen en: Notas del curso: "Gauss y geometría no euclidiana", Universidad de Waterloo, Ontario, Canadá ; véanse especialmente las páginas 10 y 11.
- Cartas de Schweikart y los escritos de su sobrino Franz Adolph Taurinus , quien también se interesó por la geometría no euclidiana y que en 1825 publicó un breve libro sobre el axioma paralelo, aparecen en: Paul Stäckel y Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (La teoría de las líneas paralelas de Euclides a Gauss, un archivo de geometría no euclidiana), (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1895), páginas 243 y sigs.
^ Bonola, R. (1912). Geometría no euclidiana: estudio crítico e histórico de su desarrollo . Chicago: Open Court.
↑ En la carta a Wolfgang (Farkas) Bolyai del 6 de marzo de 1832, Gauss afirma haber trabajado en el problema durante treinta o treinta y cinco años ( Faber 1983 , pág. 162). En su carta de 1824 a Taurinus ( Faber 1983 , pág. 158) afirmó que había estado trabajando en el problema durante más de 30 años y proporcionó suficientes detalles para demostrar que realmente había resuelto los detalles. Según Faber (1983 , pág. 156) no fue hasta alrededor de 1813 que Gauss llegó a aceptar la existencia de una nueva geometría.
↑ Sin embargo, otros axiomas además del postulado paralelo deben cambiarse para que esta sea una geometría factible.
^ Felix Klein, Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover, 1948 (reimpresión de la traducción al inglés de la 3ª edición, 1940. Primera edición en alemán, 1908) pág. 176
↑ F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871).
^ El plano euclidiano todavía se conoce como parabólico en el contexto de la geometría conforme : consulte el teorema de Uniformización .
^ por ejemplo, Manning 1963 y Yaglom 1968
↑ Un axioma 21 apareció en la traducción francesa de Grundlagen der Geometrie de Hilbertsegún Smart 1997 , pág. 416
↑ ( Smart 1997 , pág. 366)
^ aunque sólo se postulan dos líneas, se muestra fácilmente que debe haber un número infinito de tales líneas.
^ Libro I Proposición 27 de los elementos de Euclides
^ * William Thurston . Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (explicación detallada de las ocho geometrías y la prueba de que solo hay ocho)
^ Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse", Evolutionstheorie und ihre Evolution , Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, banda 7, 1982) págs. 141-204.
↑ ver Trudeau 1987 , p. vii-viii
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↑ Esta es una cita del prefacio del traductor de GB Halsted a su traducción de 1914 de La teoría de los paralelos : "Lo que Vesalio fue para Galeno , lo que Copérnico fue para Ptolomeo, eso fue Lobachevsky para Euclides ". - WK Clifford
↑ ( Richards, 1988 )
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↑ Synthetic Spacetime , un compendio de los axiomas usados y teoremas probados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite
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Referencias

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Roberto Bonola (1912) Geometría no euclidiana , Open Court, Chicago.
Artículo de MacTutor Archive sobre geometría no euclidiana
Geometría no euclidiana en PlanetMath .
Geometrías no euclidianas de la Enciclopedia de Matemáticas de la Sociedad Matemática Europea y Springer Science + Business Media
Espacio-tiempo sintético , un compendio de los axiomas utilizados y teoremas probados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite .

[1] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008

[2] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometría", p. 470, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría, cuya importancia fue completamente reconocida solo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades del cuadrilátero ... que consideraron asumiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos —encarnaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraban que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V.Es extremadamente importante que estos eruditos establecieron la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero.Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de probar el postulado en líneas paralelas, realizado porWitelo , los científicos polacos del siglo XIII, mientras que la revisión de Ibn al-Haytham 's libro de Óptica ( Kitab al-Manazir ) - fue, sin duda motivada por las fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivía en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la manifestación de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de Borth J. Wallis y G. Saccheri sobre la teoría de las líneas paralelas ".

[3] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", p. 467, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , ISBN 0-415-12411-5

[Katz-4] Victor J. Katz (1998), Historia de las matemáticas: Introducción , p. 270–271, Addison – Wesley , ISBN 0-321-01618-1 :
"Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La importancia de este último trabajo es que fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida para el trabajo de Saccheri y, en última instancia, para el descubrimiento de la geometría no euclidiana ".

[5] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, pág. 447–494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:
"En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se usa otra declaración en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de probar. [...] Él esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados y las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".

[6] Giovanni Girolamo Saccheri de MacTutor

[7] O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Consultado el 16 de septiembre de 2011 .

[8] Una notable excepción es David Hume, quien ya en 1739 consideró seriamente la posibilidad de que nuestro universo no fuera euclidiano; véase David Hume (1739/1978) Tratado de la naturaleza humana , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), págs. 51-52.

[9] En una carta de diciembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) esbozó algunas ideas sobre la geometría no euclidiana. La carta fue enviada a Gauss en 1819 por el ex alumno de Gauss, Gerling. En su respuesta a Gerling, Gauss elogió a Schweikart y mencionó su propia investigación anterior sobre la geometría no euclidiana. Ver:
Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1900), volumen 8, páginas 180-182.
Las traducciones al inglés de la carta de Schweikart y la respuesta de Gauss a Gerling aparecen en: Notas del curso: "Gauss y geometría no euclidiana", Universidad de Waterloo, Ontario, Canadá ; véanse especialmente las páginas 10 y 11.
Cartas de Schweikart y los escritos de su sobrino Franz Adolph Taurinus , quien también se interesó por la geometría no euclidiana y que en 1825 publicó un breve libro sobre el axioma paralelo, aparecen en: Paul Stäckel y Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (La teoría de las líneas paralelas de Euclides a Gauss, un archivo de geometría no euclidiana), (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1895), páginas 243 y sigs.

[10] Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1900), volumen 8, páginas 180-182.

[11] Las traducciones al inglés de la carta de Schweikart y la respuesta de Gauss a Gerling aparecen en: Notas del curso: "Gauss y geometría no euclidiana", Universidad de Waterloo, Ontario, Canadá ; véanse especialmente las páginas 10 y 11.

[12] Cartas de Schweikart y los escritos de su sobrino Franz Adolph Taurinus , quien también se interesó por la geometría no euclidiana y que en 1825 publicó un breve libro sobre el axioma paralelo, aparecen en: Paul Stäckel y Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (La teoría de las líneas paralelas de Euclides a Gauss, un archivo de geometría no euclidiana), (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1895), páginas 243 y sigs.

[10] Bonola, R. (1912). Geometría no euclidiana: estudio crítico e histórico de su desarrollo . Chicago: Open Court.

[11] En la carta a Wolfgang (Farkas) Bolyai del 6 de marzo de 1832, Gauss afirma haber trabajado en el problema durante treinta o treinta y cinco años ( Faber 1983 , pág. 162). En su carta de 1824 a Taurinus ( Faber 1983 , pág. 158) afirmó que había estado trabajando en el problema durante más de 30 años y proporcionó suficientes detalles para demostrar que realmente había resuelto los detalles. Según Faber (1983 , pág. 156) no fue hasta alrededor de 1813 que Gauss llegó a aceptar la existencia de una nueva geometría.

[12] Sin embargo, otros axiomas además del postulado paralelo deben cambiarse para que esta sea una geometría factible.

[13] Felix Klein, Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover, 1948 (reimpresión de la traducción al inglés de la 3ª edición, 1940. Primera edición en alemán, 1908) pág. 176

[14] F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871).

[15] El plano euclidiano todavía se conoce como parabólico en el contexto de la geometría conforme : consulte el teorema de Uniformización .

[16] r ejemplo, Manning 1963 y Yaglom 1968

[17] Un axioma 21 apareció en la traducción francesa de Grundlagen der Geometrie de Hilbertsegún Smart 1997 , pág. 416

[18] ( Smart 1997 , pág. 366)

[19] unque sólo se postulan dos líneas, se muestra fácilmente que debe haber un número infinito de tales líneas.

[20] Libro I Proposición 27 de los elementos de Euclides

[21] * William Thurston . Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (explicación detallada de las ocho geometrías y la prueba de que solo hay ocho)

[22] Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse", Evolutionstheorie und ihre Evolution , Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, banda 7, 1982) págs. 141-204.

[23] ver Trudeau 1987 , p. vii-viii

[24] Bell, ET (1986). Hombres de Matemáticas . Libros Touchstone. pag. 294. ISBN 978-0-671-62818-5.El autor atribuye esta cita a otro matemático, William Kingdon Clifford .

[25] Esta es una cita del prefacio del traductor de GB Halsted a su traducción de 1914 de La teoría de los paralelos : "Lo que Vesalio fue para Galeno , lo que Copérnico fue para Ptolomeo, eso fue Lobachevsky para Euclides ". - WK Clifford

[26] ( Richards, 1988 )

[27] Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry , traducido por E. Primrose del original ruso de 1963, apéndice " Geometrías no euclidianas en el plano y números complejos", págs. 195-219, Academic Press , NY

[28] Richard C. Tolman (2004) Teoría de la relatividad del movimiento, página 194, §180 Ángulo no euclidiano, §181 Interpretación cinemática del ángulo en términos de velocidad

[29] Hermann Minkowski (1908-1909). "Espacio y tiempo" (Wikisource).

[30] Scott Walter (1999) Estilo no euclidiano de la relatividad especial

[31] Isaak Yaglom (1979) Una geometría no euclidiana simple y su base física: una explicación elemental de la geometría galileana y el principio de relatividad galileano, Springer ISBN 0-387-90332-1

[32] Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis (1912) "La variedad espacio-tiempo de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y la electromagnética" Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias 48: 387-507

[33] Synthetic Spacetime , un compendio de los axiomas usados y teoremas probados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite

[34] "La llamada de Cthulhu" .

[35] "Sitio web de HyperRogue" .