En las matemáticas , las nociones de prevalencia y la timidez son las nociones de " casi en todas partes " y " medida cero " que se adapta bien al estudio de infinito - dimensionales espacios y hacer uso de la traducción invariante medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita . El término "tímido" fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor .
Definiciones
Prevalencia y timidez
Sea V un espacio vectorial topológico real y sea S un subconjunto de V medible por Borel . Se dice que S prevalece si existe un subespacio de dimensión finita P de V , llamado conjunto de sondas , de modo que para todo v ∈ V tenemos v + p ∈ S para λ P - casi todo p ∈ P , donde λ P denota el dim ( P ) -dimensional Lebesgue medida en P . Dicho de otra manera, para cada v ∈ V , Lebesgue-casi todos los puntos de los hiperplano v + P mentiras en S .
Se dice que un subconjunto no Borel de V es prevalente si contiene un subconjunto Borel predominante.
Se dice que un subconjunto de Borel de V es tímido si su complemento es frecuente; se dice que un subconjunto de V que no es Borel es tímido si está contenido dentro de un subconjunto de Borel tímido.
Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto S como tímido si existe una medida transversal para S (que no sea la medida trivial ).
Prevalencia y timidez locales
Se dice que un subconjunto S de V es localmente tímido si cada punto v ∈ V tiene una vecindad N v cuya intersección con S es un conjunto tímido. Se dice que S prevalece localmente si su complemento es localmente tímido.
Teoremas que involucran prevalencia y timidez
- Si S es tímido, entonces también lo es cualquier subconjunto de S y cada traducir de S .
- Cada tímido Borel set S admite una medida transversal que es finita y tiene un soporte compacto . Además, esta medida puede elegirse para que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño .
- Cualquier unión finita o contable de conjuntos tímidos también es tímida.
- Cualquier grupo tímido también es tímido localmente. Si V es un espacio separable , entonces cada subconjunto localmente tímido de V también lo es.
- Un subconjunto S del espacio euclidiano n- dimensional R n es tímido si y solo si tiene la medida de Lebesgue cero.
- Cualquier prevalente subconjunto S de V es densa en V .
- Si V es de dimensión infinita, entonces todo subconjunto compacto de V es tímido.
A continuación, se considera que "casi todos" significa que la propiedad declarada se aplica a un subconjunto predominante del espacio en cuestión.
- Casi cada función continua desde el intervalo [0, 1] en la línea verdadera R es ninguna parte diferenciable ; aquí el espacio V es C ([0, 1]; R ) con la topología inducida por la norma supremum .
- Casi todas las funciones f en el espacio L p L 1 ([0, 1]; R ) tienen la propiedad de que
- Claramente, la misma propiedad es válida para los espacios de k veces funciones diferenciables C k ([0, 1]; R ).
- Para 1 < p ≤ + ∞, casi toda secuencia a = ( a n ) n ∈ N en ℓ p tiene la propiedad de que la serie
- diverge.
- Versión de prevalencia del teorema de inclusión de Whitney : Sea M una variedad compacta de clase C 1 y dimensión d contenida en R n . Para 1 ≤ k ≤ + ∞, casi todos los C k función f : R n → R 2 d 1 es una incrustación de M .
- Si A es un subconjunto compacto de R n con dimensión de Hausdorff d , m ≥ d , y 1 ≤ k ≤ + ∞, entonces, para casi todas las funciones de C k f : R n → R m , f ( A ) también tiene dimensión de Hausdorff d .
- Para 1 ≤ k ≤ + ∞, casi todas las funciones de C k f : R n → R n tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es cierto para todos los puntos del período p , para cualquier número entero p .
Referencias
- Hunt, Brian R. (1994). "La prevalencia de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . Sociedad Matemática Estadounidense. 122 (3): 711–717. doi : 10.2307 / 2160745 . JSTOR 2160745 .
- Hunt, Brian R. y Sauer, Tim y Yorke, James A. (1992). "Prevalencia: una traducción invariante" casi todos "en espacios de dimensión infinita". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : matemáticas / 9210220 . doi : 10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )