A pseudo- poliedro uniforme es un poliedro que tiene polígonos regulares como caras y tiene la misma configuración de vértice en todos los vértices pero no es vértice-transitivo : no es cierto que para cualquier par de vértices, existe una simetría del poliedro mapeo de la primera isométricamente sobre el segundo. Por tanto, aunque todos los vértices de un poliedro pseudouniforme parecen iguales, no es isogonal . Se les llama poliedros pseudo-uniformes debido a su parecido con algunos poliedros verdaderamente uniformes .
Hay dos poliedros pseudo-uniformes conocidos: el pseudorhombicuboctaedro y el pseudo-gran rombicuboctaedro . No se sabe si hay otros; Branko Grünbaum conjeturó que no las hay, pero pensó que una prueba sería "probablemente bastante complicada". [1] Ambos tienen simetría D 4d , la misma simetría que un antiprisma cuadrado . Ambos pueden construirse a partir de un poliedro uniforme girando una tapa en forma de cúpula .
Los poliedros pseudouniformes
Pseudorhombicuboctaedro
El pseudorhombicuboctaedro es el único poliedro pseudouniforme convexo. También es un sólido de Johnson (J 37 ) y también se le puede llamar girobicúpula cuadrada alargada . Su dual es el icositetraedro pseudo-deltoideo . Como sugiere el nombre, se puede construir alargando una girobicúpula cuadrada ( J 29 ) e insertando un prisma octagonal entre sus dos mitades. El sólido resultante es localmente regular a los vértices: la disposición de las cuatro caras incidentes en cualquier vértice es la misma para todos los vértices; esto es único entre los sólidos de Johnson. Sin embargo, no es un vértice transitivo y, por lo tanto, no es uno de los sólidos de Arquímedes , ya que hay pares de vértices de manera que no hay isometría del sólido que se mapea uno en el otro. Esencialmente, los dos tipos de vértices se pueden distinguir por sus "vecinos de vecinos". Otra forma de ver que el poliedro no tiene vértices regulares es observar que hay exactamente un cinturón de ocho cuadrados alrededor de su ecuador, lo que distingue los vértices del cinturón de los vértices de cada lado.
![]() Rombicuboctaedro | ![]() Secciones explotadas | ![]() Pseudo-rombicuboctaedro |
El sólido también puede verse como el resultado de girar una de las cúpulas cuadradas ( J 4 ) en un rombicuboctaedro (uno de los sólidos de Arquímedes ; también conocido como la ortobicúpula cuadrada alargada) en 45 grados. Su similitud con el rombicuboctaedro le da el nombre alternativo pseudorhombicuboctaedro . En ocasiones se le ha referido como "el decimocuarto sólido de Arquímedes".
Con caras coloreadas por su simetría D 4d , puede verse así:
pseudorhombicuboctaedro | Iicositetraedro pseudodeltoideo Doble poliedro | |
---|---|---|
![]() neto | ![]() | ![]() |
Hay 8 cuadrados (verdes) alrededor de su ecuador , 4 triángulos (rojos) y 4 cuadrados (amarillos) arriba y abajo, y un cuadrado (azul) en cada polo.
La construcción del uniforme y pseudorombicuboctaedro se puede ver en los siguientes aumentos del prisma octogonal:
![]() El prisma octogonal (coloreado con simetría D 8h ) ... | ![]() ... con uno de los octágonos aumentado con una cúpula cuadrada. | ![]() Hay dos opciones sobre la orientación de la otra cúpula cuadrada cruzada. Uno alinea las caras correspondientes (triángulos con triángulos, cuadrados con cuadrados) y produce el rombicuboctaedro. Esta construcción tiene simetría D 4h , aunque el rombicuboctaedro tiene simetría octaédrica completa. | ![]() La otra opción alinea las caras no correspondientes (triángulos con cuadrados) y produce el pseudorhombicuboctaedro . Esta construcción tiene simetría D 4d . |
Pseudo-gran rombicuboctaedro
El gran rombicuboctaedro uniforme no convexo puede verse como un prisma octagrammico con los octagramas excavados con cúpulas cuadradas cruzadas, de manera similar a cómo el rombicuboctaedro puede verse como un prisma octogonal con los octágonos aumentados con cúpulas cuadradas. La rotación de una de las cúpulas en esta construcción da como resultado el pseudo-gran rombicuboctaedro .
![]() Cúpula cuadrada cruzada | ![]() Gran rombicuboctaedro no convexo | ![]() Pseudo-gran rombicuboctaedro |
Las imágenes a continuación muestran la excavación del prisma octagrammico con cúpulas cuadradas cruzadas que se llevan a cabo paso a paso. Las cúpulas cuadradas cruzadas son siempre rojas, mientras que los lados cuadrados del prisma octagrammico están en los otros colores. Todas las imágenes están orientadas aproximadamente de la misma manera para mayor claridad.
![]() El prisma octagrammico (coloreado con simetría D 8h ) ... | ![]() ... con uno de los octagramas (aquí, el superior) excavado con cúpula cuadrada cruzada. Esto puede denominarse cúpula cuadrada cruzada retroelongada o prisma octagrammico aumentado , y es isomorfo a la cúpula cuadrada alargada de Johnson . | ![]() Hay dos opciones sobre la orientación de la otra cúpula cuadrada cruzada. Uno alinea las caras correspondientes (triángulos con triángulos, cuadrados con cuadrados) y produce el gran rombicuboctaedro no convexo. Esta construcción tiene simetría D 4h , aunque el gran rombicuboctaedro no convexo tiene simetría octaédrica completa . | ![]() La otra opción alinea las caras no correspondientes (triángulos con cuadrados) y produce el pseudo-gran rombicuboctaedro (o pseudocuasirrombicuboctaedro). Esta construcción tiene simetría D 4d . |
El pseudo gran rombicuboctaedro tiene un solo "cinturón" de cuadrados alrededor de su ecuador, y se puede construir girando una de las cúpulas cuadradas cruzadas en un gran rombicuboctaedro no convexo en 45 grados. Esto es análogo al pseudorhombicuboctahedron.
Duales de los poliedros pseudouniformes
Los duales de los poliedros pseudo-uniformes tienen todas las caras congruentes , pero no transitivas: sus caras no se encuentran todas dentro de la misma órbita de simetría y, por lo tanto, no son isoédricas . Esto es una consecuencia de que los poliedros pseudo-uniformes tienen la misma configuración de vértice en cada vértice, pero no son transitivos de vértice . Así lo demuestran los diferentes colores utilizados para las caras en las imágenes de los poliedros duales pseudouniformes de este artículo, que denotan diferentes tipos de caras.
Icositetraedro pseudodeltoideo
Pseudo-gran icositetraedro deltoidal
Referencias
- ^ Grünbaum, Branko (2009), "Un error perdurable" (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89-101, doi : 10.4171 / EM / 120 , MR 2520469. Reimpreso en Pitici, Mircea, ed. (2011). The Best Writing on Mathematics 2010 . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 18–31..