Cúpula pentagonal (ejemplo) | |
Símbolo de Schläfli | { n } || t { n } |
Caras | n triángulos , n cuadrados , 1 n -gon , 1 2 n -gon |
Bordes | 5 n |
Vértices | 3 n |
Grupo de simetría | C n v , [1, n ], (* nn ), orden 2n |
Grupo de rotacion | C n , [1, n ] + , ( nn ), orden n |
Doble | ? |
Propiedades | convexo |
En geometría , una cúpula es un sólido formado al unir dos polígonos , uno (la base) con el doble de aristas que el otro, mediante una banda alterna de triángulos isósceles y rectángulos . Si los triángulos son equiláteros y los rectángulos son cuadrados , mientras que la base y su cara opuesta son polígonos regulares , las cúpulas triangular , cuadrada y pentagonal cuentan entre los sólidos de Johnson y pueden formarse tomando secciones del cuboctaedro , rombicuboctaedro , y rombicosidodecaedro , respectivamente.
Una cúpula puede verse como un prisma donde uno de los polígonos se ha colapsado por la mitad al fusionar vértices alternos.
A una cúpula se le puede dar un símbolo Schläfli extendido { n } || t { n }, que representa un polígono regular {n} unido por un paralelo de su truncamiento , t {n} o {2n}.
Las cúpulas son una subclase de prismatoides .
Su doble contiene una forma que es una especie de soldadura entre medio de un n -sided trapezoedro y una 2n -sided pirámide .
Ejemplos de
norte | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
Nombre | {2} || t {2} | {3} || t {3} | {4} || t {4} | {5} || t {5} | {6} || t {6} |
Código corto | 2c | 3c | 4c | 5c | 6c |
Cúpula | Cúpula digonal | Cúpula triangular | Cúpula cuadrada | Cúpula pentagonal | Cúpula hexagonal (plana) |
Poliedros uniformes relacionados | Prisma triangular | Cubocta- edro | Rhombi- cubocta- hedron | Rhomb- icosidodeca- hedron | Rhombi- trihexagonal alicatado |
Los tres poliedros mencionados anteriormente son las únicas cúpulas convexas no triviales con caras regulares: la " cúpula hexagonal " es una figura plana, y el prisma triangular podría considerarse una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento de línea y un cuadrado). Sin embargo, las cúpulas de polígonos de mayor grado pueden construirse con caras triangulares y rectangulares irregulares .
Coordenadas de los vértices
La definición de la cúpula no requiere que la base (o el lado opuesto a la base, que se puede llamar la parte superior) sea un polígono regular, pero es conveniente considerar el caso donde la cúpula tiene su simetría máxima, C n v . En ese caso, la parte superior es un n -gon regular , mientras que la base es un 2 n -gon regular o un 2 n -gon que tiene dos longitudes de lados diferentes alternando y los mismos ángulos que un 2 n -gon regular . Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de modo que la base se encuentre en el plano xy , con la parte superior en un plano paralelo al plano xy . El eje z es el eje de n pliegues, y los planos de espejo pasan a través del eje z y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o los ángulos del polígono superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos del espejo bisecan los lados del polígono superior y la mitad bisecan los ángulos, mientras que si n es impar, cada plano del espejo biseca un lado y un ángulo del polígono superior). pueden designarse V 1 a V 2 n , mientras que los vértices del polígono superior pueden designarse V 2 n +1 a V 3 n . Con estas convenciones, las coordenadas de los vértices se pueden escribir como:
- V 2 j −1 : ( r b cos [2π ( j - 1) / n + α], r b sin [2π ( j - 1) / n + α], 0)
- V 2 j : ( r b cos (2π j / n - a), r b sin (2π j / n - α), 0)
- V 2 norte + j : ( r t cos (π j / n ), r t sin (π j / n ), h )
donde j = 1, 2, ..., n .
Dado que los polígonos V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 , etc. son rectángulos, esto impone una restricción a los valores de r b , r t y α. La distancia V 1 V 2 es igual a
- r b {[cos (2π / n - α) - cos α] 2 + [sin (2π / n - α) - sin α] 2 } 1/2
- = r b {[cos 2 (2π / n - α) - 2cos (2π / n - α) cos α + cos 2 α] + [sin 2 (2π / n - α) - 2sin (2π / n - α) sin α + sin 2 α]} 1/2
- = r b {2 [1 - cos (2π / n - α) cos α - sin (2π / n - α) sin α]} 1/2
- = r b {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]} 1/2
mientras que la distancia V 2 n +1 V 2 n +2 es igual a
- r t {[cos (π / n ) - 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1/2
- = r t {[cos 2 (π / n ) - 2cos (π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1/2
- = r t {2 [1 - cos (π / n )]} 1/2.
Estos deben ser iguales, y si este borde común se denota por s ,
- r b = s / {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]} 1/2
- r t = s / {2 [1 - cos (π / n )]} 1/2
Estos valores deben insertarse en las expresiones para las coordenadas de los vértices dadas anteriormente.
Cúpulas de estrellas
n / d | 4 | 5 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|
3 | {4/3} | {5/3} | {7/3} | {8/3} |
5 | - | - | {7/5} | {8/5} |
n ⁄ d | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|
2 | Cuploide triangular cruzado | Cuploide pentagrammico | Cuploide heptagrammico |
4 | - | Cuploide pentagonal cruzado | Cuploide heptagrammico cruzado |
Existen cúpulas de estrellas para todas las bases { norte/D} Donde 6 / 5 < n / d <6 y d es impar. En los límites, las cúpulas se derrumban en figuras planas: más allá de los límites, los triángulos y los cuadrados ya no pueden abarcar la distancia entre los dos polígonos. Cuando d es par, la base inferior {2 norte/D} se vuelve degenerado: podemos formar un cuploide o semicúpula retirando esta cara degenerada y en su lugar dejando que los triángulos y cuadrados se conecten entre sí aquí. En particular, el tetrahemihexaedro puede verse como un {3/2} -cuploide. Las cúpulas son todas orientables , mientras que los cuploides son todos no orientables. Cuándo norte/D> 2 en un cuploide, los triángulos y cuadrados no cubren toda la base, y en la base queda una pequeña membrana que simplemente cubre el espacio vacío. Por lo tanto, los cuploides {5/2} y {7/2} que se muestran arriba tienen membranas (no rellenas), mientras que los cuploides {5/4} y {7/4} que se muestran arriba no.
La altura h de un { norte/D} -cupola o cuploid viene dado por la fórmula . En particular, h = 0 en los límites de norte/D = 6 y norte/D = 6/5, y h se maximiza en norte/D= 2 (el prisma triangular, donde los triángulos están en posición vertical). [1] [2]
En las imágenes de arriba, a las cúpulas de las estrellas se les ha dado un esquema de color consistente para ayudar a identificar sus caras: la base norte/D-gon es rojo, la base 2n/D-gon es amarillo, los cuadrados son azules y los triángulos son verdes. Los cuploides tienen la base norte/D-gon rojo, los cuadrados amarillos y los triángulos azules, ya que la otra base ha sido retirada.
Anticupla
Ejemplo pentagonal | |
Símbolo de Schläfli | s { n } || t { n } |
Caras | 3 n triángulos 1 n -gon , 1 2 n -gon |
Bordes | 6 n |
Vértices | 3 n |
Grupo de simetría | C n v , [1, n ], (* nn ), orden 2 n |
Grupo de rotacion | C n , [1, n ] + , ( nn ), orden n |
Doble | ? |
Propiedades | convexo |
Un n -gonal anticupola se construye a partir de un habitual 2 n de base -gonal, 3 n triángulos como dos tipos, y un habitual n superior -gonal. Para n = 2, la cara superior del digón se reduce a un solo borde. Los vértices del polígono superior están alineados con los vértices del polígono inferior. La simetría es C n v , orden 2 n .
Una anticúpola no se puede construir con todas las caras regulares, [ cita requerida ] aunque algunas pueden hacerse regulares. Si el n -gon y los triángulos superiores son regulares, el n -gon de base 2 no puede ser plano y regular. En tal caso, n = 6 genera un hexágono regular y triángulos equiláteros circundantes de un mosaico hexagonal chato , que puede cerrarse en un polígono de volumen cero con la base de un 12-gon simétrico con forma de hexágono más grande, con pares adyacentes de colineales bordes.
Dos anticúpola se pueden aumentar juntas en su base como una bianticúpola .
norte | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ... |
---|---|---|---|---|---|
Nombre | s {2} || t {2} | s {3} || t {3} | s {4} || t {4} | s {5} || t {5} | s {6} || t {6} |
Imagen | Digonal | Triangular | Cuadrado | Pentagonal | Hexagonal |
Transparente | |||||
Neto |
Hipercupolas
Las hipercupolas o cúpulas poliédricas son una familia de policoras convexas no uniformes (aquí figuras de cuatro dimensiones), análogas a las cúpulas. Las bases de cada uno son un sólido platónico y su expansión . [3]
Nombre | Cúpula tetraédrica | Cúpula cúbica | Cúpula octaédrica | Cúpula dodecaédrica | Cúpula de baldosas hexagonales | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Schläfli | {3,3} || rr {3,3} | {4,3} || rr {4,3} | {3,4} || rr {3,4} | {5,3} || rr {5,3} | {6,3} || rr {6,3} | |||||
Índice de segmentochora [3] | K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
circunradio | 1 | raíz cuadrada ((3 + raíz cuadrada (2)) / 2) = 1.485634 | raíz cuadrada (2 + raíz cuadrada (2)) = 1.847759 | 3 + raíz cuadrada (5) = 5.236068 | ||||||
Imagen | ||||||||||
Células de la tapa | ||||||||||
Vértices | dieciséis | 32 | 30 | 80 | ∞ | |||||
Bordes | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
Caras | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
Células | dieciséis | 1 tetraedro 4 prismas triangulares 6 prismas triangulares 4 pirámides triangulares 1 cuboctaedro | 28 | 1 cubo 6 prismas cuadrados 12 prismas triangulares 8 pirámides triangulares 1 rombicuboctaedro | 28 | 1 octaedro 8 prismas triangulares 12 prismas triangulares 6 pirámides cuadradas 1 rombicuboctaedro | 64 | 1 dodecaedro 12 prismas pentagonales 30 prismas triangulares 20 pirámides triangulares 1 rombicosidodecaedro | ∞ | 1 mosaico hexagonal ∞ prismas hexagonales ∞ prismas triangulares ∞ pirámides triangulares 1 mosaico rombitrihexagonal |
Relacionados uniforme polychora | runcinated de 5 celdas | tesseract runcinated | runcinated de 24 celdas | runcinated 120 celdas | panal de baldosas hexagonales runcinated |
Ver también
- Orthobicupla
- Gyrobicupola
- Rotonda
Referencias
- ^ "cúpulas" . www.orchidpalms.com . Consultado el 21 de abril de 2018 .
- ^ "semicupólas" . www.orchidpalms.com . Consultado el 21 de abril de 2018 .
- ↑ a b Convex Segmentochora Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, números 1-4, 139-181, 2000
- Johnson, NW Convex Polyhedra with Regular Faces. Lata. J. Math. 18, 169-200, 1966.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cupola" . MathWorld .
- Segmentotopos