σ -álgebra

En el análisis matemático y en la teoría de la probabilidad , un σ-álgebra (también σ-campo ) en un conjunto X es una colección ${\displaystyle \Sigma }$de subconjuntos de X que incluye al propio X , está cerrado bajo complemento y está cerrado bajo uniones contables .

(Para obtener una lista de la notación lógica matemática utilizada en este artículo, consulte Notación en probabilidad y estadística y / o Lista de símbolos lógicos ).

La definición implica que también incluye el subconjunto vacío y que está cerrado bajo intersecciones contables .

El par ${\displaystyle (X,\Sigma )}$se llama espacio medible o espacio de Borel.

Un σ-álgebra es un tipo de álgebra de conjuntos . Un álgebra de conjuntos solo necesita cerrarse bajo la unión o intersección de un número finito de subconjuntos, que es una condición más débil. ^[1]

El uso principal de σ-álgebras está en la definición de medidas ; específicamente, la colección de aquellos subconjuntos para los que se define una medida dada es necesariamente un σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como base para la integración de Lebesgue , y en la teoría de la probabilidad , donde se interpreta como la colección de eventos a los que se les pueden asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de expectativa condicional .

En estadística , las (sub) σ-álgebras son necesarias para la definición matemática formal de una estadística suficiente , ^[2] particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.

Si ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\},}$ una posible σ-álgebra en ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ donde ${\displaystyle \varnothing }$es el conjunto vacío . En general, un álgebra finita es siempre un σ-álgebra.

Si ${\displaystyle \left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$es una partición contable de${\displaystyle X}$ entonces la colección de todas las uniones de conjuntos en la partición (incluido el conjunto vacío) es un σ-álgebra.

Un ejemplo más útil es el conjunto de subconjuntos de la línea real formada comenzando con todos los intervalos abiertos y agregando todas las uniones contables, intersecciones contables y complementos relativos y continuando este proceso (por iteración transfinita a través de todos los ordinales contables ) hasta el cierre relevante. propiedades se logran - el σ-álgebra producida por este proceso se conoce como el álgebra de Borel en la línea real, y también se puede concebir como el σ-álgebra más pequeño (es decir, "más grueso") que contiene todos los conjuntos abiertos, o equivalentemente que contiene todos los conjuntos cerrados. Es fundamental medir la teoría y, por lo tanto, la teoría de la probabilidad moderna., y una construcción relacionada conocida como la jerarquía de Borel es relevante para la teoría descriptiva de conjuntos .

Motivación

Hay al menos tres motivadores clave para las σ-álgebras: definir medidas, manipular límites de conjuntos y gestionar información parcial caracterizada por conjuntos.

Medir

Una medida en${\displaystyle X}$es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de${\displaystyle X}$; se puede pensar que esto hace precisa una noción de "tamaño" o "volumen" para los conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjuntos sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjuntos .

A uno le gustaría asignar un tamaño a cada subconjunto de${\displaystyle X,}$pero en muchos entornos naturales esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que, cuando el tamaño en consideración es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la línea real, existen conjuntos para los que no existe tamaño, por ejemplo, los conjuntos Vitali . Por esta razón, se considera en cambio una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de${\displaystyle X.}$Estos subconjuntos se denominarán conjuntos medibles. Están cerrados bajo operaciones que uno esperaría para conjuntos medibles; es decir, el complemento de un conjunto mensurable es un conjunto mensurable y la unión contable de conjuntos mensurables es un conjunto mensurable. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades se denominan σ-álgebras.

Límites de conjuntos

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura , involucran límites de secuencias de conjuntos . Para ello, el cierre bajo uniones e intersecciones contables es primordial. Los límites establecidos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite superior de una secuencia ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$ cada uno de los cuales es un subconjunto de ${\displaystyle X,}$ es
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$$
• El límite mínimo de una secuencia ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$ cada uno de los cuales es un subconjunto de ${\displaystyle X,}$ es
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$$
• Si, de hecho,
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n},}$$
  entonces la ${\textstyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ existe como ese conjunto común.

Sub σ-álgebras

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando está involucrada la expectativa condicional , uno se ocupa de conjuntos que representan solo una parte de toda la información posible que se puede observar. Esta información parcial se puede caracterizar con una σ-álgebra más pequeña que es un subconjunto de la σ-álgebra principal; Consiste en la colección de subconjuntos relevantes y determinados únicamente por la información parcial. Un simple ejemplo basta para ilustrar esta idea.

Imagina que tú y otra persona están apostando en un juego que implica lanzar una moneda repetidamente y observar si sale Cara (${\displaystyle H}$) o Colas (${\displaystyle T}$). Dado que tú y tu oponente sois infinitamente ricos, no hay límite para la duración del juego. Esto significa el espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$ debe consistir en todas las posibles secuencias infinitas de ${\displaystyle H}$ o ${\displaystyle T}$:

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

Sin embargo, despus de ${\displaystyle n}$lanzamientos de la moneda, es posible que desee determinar o revisar su estrategia de apuestas antes del próximo lanzamiento. La información observada en ese punto se puede describir en términos de las 2 ⁿ posibilidades para la primera${\displaystyle n}$voltea. Formalmente, dado que necesita usar subconjuntos de${\displaystyle \Omega ,}$ esto se codifica como σ-álgebra

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}.}$$

Observa que entonces

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },}$$

donde ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ es la σ-álgebra más pequeña que contiene todas las demás.

Definición y propiedades

Definición

A lo largo de, ${\displaystyle X}$ será un conjunto y ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$denotará su conjunto de poder . Un subconjunto${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$se llama σ-álgebra si tiene las siguientes tres propiedades: ^[3]

1. ${\displaystyle \Sigma }$ está cerrado bajo complementación en ${\displaystyle X}$: Si ${\displaystyle S}$ es un elemento de ${\displaystyle \Sigma }$entonces también lo es su complemento ${\displaystyle X\setminus S.}$
   • En este contexto, ${\displaystyle X}$se considera el conjunto universal .
2. ${\displaystyle \Sigma }$ contiene ${\displaystyle X}$como elemento :${\displaystyle X\in \Sigma .}$
   • Suponiendo que (1) se cumple, esta condición es equivalente a ${\displaystyle \Sigma }$que contiene el conjunto vacío :${\displaystyle \varnothing \in \Sigma .}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo uniones contables : Si${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$ son elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ entonces también lo es su unión ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \cdots .}$
   • Suponiendo que (1) y (2) se cumplen, de las leyes de De Morgan se sigue que esta condición es equivalente a${\displaystyle \Sigma }$estar cerrado bajo intersecciones contables : Si${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$ son elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ entonces también lo es su intersección ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap \cdots .}$

De manera equivalente, un σ-álgebra es un álgebra de conjuntos que se cierra bajo uniones contables.

El conjunto vacio ${\displaystyle \varnothing }$ pertenece a ${\displaystyle \Sigma }$porque por (1) ,${\displaystyle X}$ es en ${\displaystyle \Sigma }$y así (2) implica que su complemento, el conjunto vacío, también está en${\displaystyle \Sigma .}$ Además, dado que ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$satisface también la condición (3) , se sigue que${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ es la σ-álgebra más pequeña posible en ${\displaystyle X.}$ La mayor σ-álgebra posible en ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle 2^{X}:={\mathcal {P}}(X).}$

Los elementos del σ-álgebra se denominan conjuntos medibles . Un par ordenado${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ donde ${\displaystyle X}$ es un conjunto y ${\displaystyle \Sigma }$ es una σ-álgebra sobre ${\displaystyle X,}$se llama espacio medible . Una función entre dos espacios medibles se denomina función medible si la preimagen de cada conjunto medible es medible. La colección de espacios mensurables forma una categoría , con las funciones mensurables como morfismos . Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones desde un σ-álgebra hasta${\displaystyle [0,\infty ].}$

A σ-álgebra es tanto un π -system y un sistema Dynkin (λ-sistema). Lo contrario también es cierto, según el teorema de Dynkin (abajo).

Teorema π-λ de Dynkin

Este teorema (o el teorema de clase monótono relacionado ) es una herramienta esencial para probar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Aprovecha la naturaleza de dos clases de conjuntos más simples, a saber, las siguientes.

Un π -sistema ${\displaystyle P}$ es una colección de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ que está cerrado en un número finito de intersecciones, y

un sistema Dynkin (o sistema 𝜆)${\displaystyle D}$ es una colección de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ eso contiene ${\displaystyle X}$y está cerrado por complemento y por uniones contables de subconjuntos disjuntos .

El teorema π -𝜆 de Dynkin dice, si${\displaystyle P}$es un sistema π y${\displaystyle D}$ es un sistema Dynkin que contiene ${\displaystyle P}$ luego el σ-álgebra ${\displaystyle \sigma (P)}$ generado por${\displaystyle P}$ está contenido en ${\displaystyle D.}$ Dado que ciertos sistemas π son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos en${\displaystyle P}$ disfrutar de la propiedad en consideración y, por otro lado, demostrar que la colección ${\displaystyle D}$de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema Dynkin también puede ser sencillo. El teorema π -𝜆 de Dynkin implica entonces que todos los conjuntos en${\displaystyle \sigma (P)}$ disfrutar de la propiedad, evitando la tarea de comprobar si hay un conjunto arbitrario en ${\displaystyle \sigma (P).}$

Uno de los usos más fundamentales del teorema π -𝜆 es mostrar la equivalencia de medidas o integrales definidas por separado. Por ejemplo, se utiliza para equiparar una probabilidad de una variable aleatoria.${\displaystyle X}$con la integral de Lebesgue-Stieltjes típicamente asociada con el cálculo de la probabilidad:

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$ para todos ${\displaystyle A}$ en el álgebra σ de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

donde ${\displaystyle F(x)}$es la función de distribución acumulativa para${\displaystyle X,}$ definido en ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ tiempo ${\displaystyle \mathbb {P} }$es una medida de probabilidad , definida en un σ-álgebra${\displaystyle \Sigma }$de subconjuntos de algún espacio muestral ${\displaystyle \Omega .}$

Combinando σ-álgebras

Suponer que ${\textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ es una colección de σ-álgebras en un espacio ${\displaystyle X.}$

• La intersección de una colección de σ-álgebras es una σ-álgebra. Para enfatizar su carácter como σ-álgebra, a menudo se denota por:
  $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

  Boceto de prueba
  Dejar ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$denotar la intersección. Ya que${\displaystyle X}$ está en cada ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$no está vacío. Cierre por complemento y uniones contables para cada${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ implica que lo mismo debe ser cierto para ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ Por lo tanto, ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ es un σ-álgebra.

• La unión de una colección de σ-álgebras no es generalmente un σ-álgebra, ni siquiera un álgebra, pero genera una σ-álgebra conocida como unión , que normalmente se denota
  $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$
  Un sistema π que genera la unión es
  $${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$

  Boceto de prueba

  Por el caso ${\displaystyle n=1,}$ se ve que cada ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}},}$ asi que $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$ Esto implica $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$ by the definition of a σ-algebra generated by a collection of subsets. On the other hand, $${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$ which, by Dynkin's π-𝜆 theorem, implies $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

σ-álgebras para subespacios

Suponer ${\displaystyle Y}$ es un subconjunto de ${\displaystyle X}$ y deja ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ser un espacio medible.

• La colección ${\displaystyle \{Y\cap S:S\in \Sigma \}}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle Y.}$
• Suponer ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$es un espacio medible. La colección${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle X.}$

Relación con σ-ring

Una σ-álgebra ${\displaystyle \Sigma }$es solo un anillo σ que contiene el conjunto universal${\displaystyle X.}$^[4] Un anillo σ no necesita ser un álgebra σ, ya que, por ejemplo, los subconjuntos medibles de la medida de Lebesgue cero en la línea real son un anillo σ, pero no un álgebra σ, ya que la línea real tiene una medida infinita y, por lo tanto, no puede ser obtenido por su unión contable. Si, en lugar de la medida cero, uno toma subconjuntos mensurables de la medida finita de Lebesgue, esos son un anillo pero no un anillo σ, ya que la línea real se puede obtener por su unión contable pero su medida no es finita.

Nota tipográfica

Las σ-álgebras a veces se indican con letras mayúsculas caligráficas o con el tipo de letra Fraktur . Por lo tanto${\displaystyle (X,\Sigma )}$ puede denotarse como ${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ o ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Casos y ejemplos particulares

Σ-álgebras separables

Un σ-álgebra separable (o un σ-campo separable ) es un σ-álgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}}$que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ por ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$y una medida dada ${\displaystyle \mu }$ (y con ${\displaystyle \triangle }$siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[5] Tenga en cuenta que cualquier σ-álgebra generada por una colección contable de conjuntos es separable, pero no es necesario que se mantenga lo contrario. Por ejemplo, el σ-álgebra de Lebesgue es separable (ya que cada conjunto medible de Lebesgue es equivalente a algún conjunto de Borel) pero no se genera de manera contable (ya que su cardinalidad es mayor que el continuo).

Un espacio de medida separable tiene una pseudométrica natural que lo hace separable como un espacio pseudométrico . La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica de los dos conjuntos. Tenga en cuenta que la diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener medida cero; por lo tanto, la pseudometría tal como se define arriba no necesita ser una métrica verdadera. Sin embargo, si los conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero se identifican en una única clase de equivalencia , el conjunto de cocientes resultante se puede medir correctamente mediante la métrica inducida. Si el espacio de medida es separable, se puede mostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Ejemplos simples basados ​​en conjuntos

Dejar ${\displaystyle X}$ ser cualquier conjunto.

• La familia que consta solo del conjunto vacío y el conjunto ${\displaystyle X,}$llamada σ-álgebra mínima o trivial sobre${\displaystyle X.}$
• El conjunto de poder de${\displaystyle X,}$llamado el σ-álgebra discreta .
• La colección ${\displaystyle \left\{\varnothing ,X,A,X\setminus A\right\}}$ es una σ-álgebra simple generada por el subconjunto ${\displaystyle A.}$
• La colección de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ que son contables o cuyos complementos son contables es un σ-álgebra (que es distinta del conjunto de potencias de ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle X}$es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los singletons de${\displaystyle X.}$ Nota: "contable" incluye finito o vacío.
• La colección de todas las uniones de conjuntos en una partición contable de${\displaystyle X}$ es un σ-álgebra.

Deteniendo el tiempo σ-álgebras

Un tiempo de parada ${\displaystyle \tau }$ puede definir un ${\displaystyle \sigma }$-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$, la llamada ${\displaystyle \sigma }$-Álgebra de τ-pasado, que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio${\displaystyle \tau }$ en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar sobre el experimento es repetirlo arbitrariamente y a menudo hasta el momento ${\displaystyle \tau }$ es ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$. ^[6]

σ-álgebras generadas por familias de conjuntos

σ-álgebra generada por una familia arbitraria

Dejar ${\displaystyle F}$ ser una familia arbitraria de subconjuntos de ${\displaystyle X.}$ Entonces existe una σ-álgebra única más pequeña que contiene cada conjunto en ${\displaystyle F}$ (aunque ${\displaystyle F}$puede o no ser en sí mismo un σ-álgebra). De hecho, es la intersección de todas las σ-álgebras que contienen${\displaystyle F.}$ (Ver las intersecciones de σ-álgebras arriba.) Esta σ-álgebra se denota ${\displaystyle \sigma (F)}$y se llama σ-álgebra generada por${\displaystyle F.}$

Luego ${\displaystyle \sigma (F)}$ consta de todos los subconjuntos de ${\displaystyle X}$ que se puede hacer a partir de elementos de ${\displaystyle F}$por un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección. Si${\displaystyle F}$ está vacío, entonces ${\displaystyle \sigma (F)=\{X,\varnothing \},}$ya que una unión e intersección vacías producen el conjunto vacío y el conjunto universal , respectivamente.

Para un ejemplo simple, considere el conjunto ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ Luego, la σ-álgebra generada por el subconjunto único ${\displaystyle \{1\}}$ es ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$Por un abuso de notación , cuando una colección de subconjuntos contiene solo un elemento,${\displaystyle A,}$ uno puede escribir ${\displaystyle \sigma (A)}$ en lugar de ${\displaystyle \sigma (\{A\})}$ si es claro que ${\displaystyle A}$ es un subconjunto de ${\displaystyle X}$; en el ejemplo anterior${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ en lugar de ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ De hecho, usando ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ significar ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$ también es bastante común.

Hay muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Algunos de estos se presentan aquí.

σ-álgebra generada por una función

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ es una función de un conjunto ${\displaystyle X}$ a un conjunto ${\displaystyle Y}$ y ${\displaystyle B}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle Y,}$entonces la σ-álgebra generada por la función ${\displaystyle f,}$ denotado por ${\displaystyle \sigma (f),}$ es la colección de todas las imágenes inversas ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ de los conjuntos ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle B.}$ eso es,

$${\displaystyle \sigma (f)=\{f^{-1}(S):S\in B\}.}$$

Una función ${\displaystyle f:X\to Y}$ de un conjunto${\displaystyle X}$ a un conjunto ${\displaystyle Y}$es medible con respecto a un σ-álgebra${\displaystyle \Sigma }$ de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle \sigma (f)}$ es un subconjunto de ${\displaystyle \Sigma .}$

Una situación común, y entendida por defecto si ${\displaystyle B}$ no se especifica explícitamente, es cuando ${\displaystyle Y}$es un espacio métrico o topológico y${\displaystyle B}$es la colección de sets de Borel en${\displaystyle Y.}$

Si ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}$ es una función de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ luego ${\displaystyle \sigma (f)}$ es generado por la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos / rectángulos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\{f^{-1}((a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \}\right).}$$

Una propiedad útil es la siguiente. Asumir${\displaystyle f:X\to S}$ es un mapa medible de ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ para ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ y ${\displaystyle g:X\to T}$ es un mapa medible de ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ para ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ Si existe un mapa medible ${\displaystyle h:T\to S}$ desde ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ para ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ tal que ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ para todos ${\displaystyle x,}$ luego ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ Si ${\displaystyle S}$ es finito o numerablemente infinito o, más generalmente, ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$es un espacio Borel estándar (por ejemplo, un espacio métrico completo separable con sus conjuntos Borel asociados), entonces lo contrario también es cierto. ^[7] Ejemplos de espacios Borel estándar incluyen${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con sus conjuntos Borel y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ con el cilindro σ-álgebra que se describe a continuación.

Σ-álgebras de Borel y Lebesgue

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico : el σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, por los conjuntos cerrados ). Tenga en cuenta que esta σ-álgebra no es, en general, todo el conjunto de potencias. Para ver un ejemplo no trivial que no es un conjunto Borel, consulte el conjunto Vitali o conjuntos no Borel .

En el espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$otra σ-álgebra es importante: la de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue . Esta σ-álgebra contiene más conjuntos que la σ-álgebra de Borel en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y se prefiere en la teoría de la integración , ya que proporciona un espacio de medida completo .

Producto σ-álgebra

Dejar ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ y ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$Ser dos espacios medibles. El σ-álgebra para el espacio de producto correspondiente ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$se llama el producto σ-álgebra y se define por

$${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Observa eso ${\displaystyle \left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}}$es un sistema π .

El σ-álgebra de Borel para ${\displaystyle R^{n}}$se genera por medio de rectángulos infinitos y por rectángulos finitos. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Para cada uno de estos dos ejemplos, la familia de generación es un π -system .

σ-álgebra generada por conjuntos de cilindros

Suponer

$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f{\text{ is a function from }}\mathbb {T} {\text{ to }}\mathbb {R} \}}$$

es un conjunto de funciones de valor real en ${\displaystyle \mathbb {T} }$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ denotar los subconjuntos de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Para cada ${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {T} }$ y ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$un subconjunto de cilindros de${\displaystyle X}$ es un conjunto finitamente restringido definido como

$${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\}.}$$

Para cada ${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {T} ,}$

$${\displaystyle \{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$$

es un sistema π que genera un σ-álgebra${\textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$ Entonces la familia de subconjuntos

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$

es un álgebra que genera el cilindro σ-álgebra para${\displaystyle X.}$Esta σ-álgebra es una subálgebra de la σ-álgebra de Borel determinada por la topología del producto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ prohibido para ${\displaystyle X.}$

Un caso especial importante es cuando ${\displaystyle \mathbb {T} }$ es el conjunto de números naturales y ${\displaystyle X}$es un conjunto de secuencias con valores reales. En este caso, basta con considerar los juegos de cilindros

$${\displaystyle C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty })\cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\},}$$

para cual

$${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$$

es una secuencia no decreciente de σ-álgebras.

σ-álgebra generada por variable aleatoria o vector

Suponer ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$es un espacio de probabilidad . Si${\textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ es medible con respecto al σ-álgebra de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ luego ${\displaystyle Y}$se llama variable aleatoria (${\displaystyle n=1}$) o vector aleatorio (${\displaystyle n>1}$). La σ-álgebra generada por${\displaystyle Y}$ es

$${\displaystyle \sigma (Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$$

σ-álgebra generada por un proceso estocástico

Suponer ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$es un espacio de probabilidad y${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ es el conjunto de funciones de valor real en ${\displaystyle \mathbb {T} }$. Si${\textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ es medible con respecto al cilindro σ-álgebra ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{X})}$ (ver arriba) para ${\displaystyle X,}$ luego ${\displaystyle Y}$se llama proceso estocástico o proceso aleatorio . La σ-álgebra generada por${\displaystyle Y}$ es

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma (\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\}),}$$

la σ-álgebra generada por las imágenes inversas de conjuntos de cilindros.

Ver también

• δ- anillo
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos.
• Unir (álgebra sigma)
• 𝜆-sistema (sistema Dynkin)
• Función medible  : función para la que se puede medir la preimagen de un conjunto medible
• π -system  - Familia de conjuntos no vacíos donde la intersección de dos miembros cualesquiera es nuevamente un miembro
• Anillo de conjuntos
• Espacio muestral
• 𝜎-ideal
• anillo 𝜎
• 𝜎 aditividad

Referencias

1. "Probabilidad, estadística matemática, procesos estocásticos" . Aleatorio . Universidad de Alabama en Huntsville, Departamento de Ciencias Matemáticas . Consultado el 30 de marzo de 2016 .
2. Billingsley, Patrick (2012). Probabilidad y medida (edición de aniversario). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
3. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.
4. Vestrup, Eric M. (2009). La Teoría de Medidas e Integración . John Wiley e hijos. pag. 12. ISBN 978-0-470-31795-2.
5. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de medida espacios compactos separables" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. Si ${\displaystyle \mu }$ es una medida de Borel en ${\displaystyle X}$, el álgebra de medidas de ${\displaystyle (X,\mu )}$ es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo ${\displaystyle \mu }$-conjuntos nulos. Si${\displaystyle \mu }$es finito, entonces tal álgebra de medida es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que${\displaystyle \mu }$es separable si y solo si este espacio métrico es separable como espacio topológico.
6. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y tiempos de parada sigma-álgebras". Estadísticas y letras de probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .
7. Kallenberg, Olav (2001). Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.). Springer . pag. 7 . ISBN 978-0-387-95313-7.

• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 49 (5ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .

Enlaces externos

• "Álgebra de conjuntos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Sigma Algebra en PlanetMath .